Elementos de la Matemática 2019 PDF

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ELEMENTOS DE LA MATEMATICA Y FISICA 2019 CURSO INTRODUCTORIO...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

“INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MATEMÁTICA” LIC. EN KINESIOLOGÍA Y FISIATRÍA

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Docente: Lehne Guillermo Enrique

FundamentDFLyQ La im porta tan cia ia de l a física en en Kin inesi ología y fi si atrí a radi dica en que, es una ci encia que cue nta ta con una na e st ruc ucttur ura d e conoc ocim i ent oss plausi ble les d e ser apl icad o s en fo for maa prác tic c a . i Basa da en ón, en la la i ndaga ció iónn y ob observac aciió n, e sta dis isci pli na se convie r te e n r eal al ida dad en ent os bá idisc iplili na que a bar arca d ifere nte tes se segm gme bá si c os d e cada da unaa de la las pa parte s q uee una m ultltid on nen, lo s or igi ellac com ppo lo cu all muc ucha ha s vec ecees gi na, a, u n a fragm ent aci ón no rre aci ona daa y pro roduce la co una vi sión a t omi i s t a y e s t an n ca a , p o r e s t e m ot ti i v o e s n e ce e s a ri i o ma a n te e n er r e n to o d o mo om m e n to unaa m a ac e o o c r m t e t om ari a quee d éé cu ent nterdi scipliin l na pe rsp ndo q u e s e de be ve spec ect iva int nta dee unn mu ndo ve r c omo mo unn t odo do y e ntrela ess si la zado enn u naa co compl plej i dad ad, p ara ra l a cual al a vece cess ess ne ne ces esa rio io t oma ma r di feren tte sist em as de obse cttuurra a y fun serva ci ónn qu quee perm rmiitan an de de velar su es estru ruc uncionam am ie nto to. L a vis o con isión fí si ca e s t an ant igu a com o el el pensa mi ento to h u mano no y jun un tto on l a quí uí mica ollogí n y c r ean gro gía, a, a rgu gu m ent nt aan an un ba al q uee el fu tur uroo profesi ona l en salud , roun und al backkg y l a b iio ra a op u praxi s. L a mate rá recurri ri r p aar optitim iza z arr ssu uaj e qu e as asi ste a t odas l ass te mát ática ca es e l len gua podrá ennci o cia s en ell marco de l e stu dio io dee l a p r opi pie dad adess dee l a ma ter eria , laa ene rgí gía, a, el t iem ppo e st as ciie y suss i nte te rac accio iones.

Bibliografía: - Rizzotto M. Elementos de la Matemática. 2010. UNSL - Martinez Valenzuela R.; Mini M.; Pérez N.; Bajuk B.; Pekolj M.; Berraondo M.; Matemáticas para ingresantes, 4° Ed. 2008. UNSL. - Resnik, R.; Halliday, D.; Krane K. 2001. Física Vol. 1. ° Edición. Compañia Editiorial Continental México. - Giancoli, Douglas C.; Física, Principios con aplicaciones ° Edición. . Prentice Hall. México.

Contenidos - Elementos de la Matemática, Radicación, -Funciones lineales, cuadráticas y logarítmica. Magnitudes y MediciRQHV,Cinemática, Dinámica, Trabajo y energía. Momento de una fuerza. - Hidrostática\ Fluidos

Elementos de la Matemática Desde tiempos inmemorables, el hombre en sus comienzos adquirió la idea de número natural y a partir de allí, a lo largo de muchos siglos y de un arduo trabajo, se llegó a la idea que actualmente se tiene de número. Con los cuales se pueden expresar cantidades y medidas, además de operar con ellos. Clasificación de los números: EƷŵĞƌŽƐ ŶĂƚƵƌĂůĞƐ ĞŶƚĞƌŽƐ ƌĂĐŝŽŶĂůĞƐ ŝƌƌĂĐŝŽŶĂůĞƐ ƌĞĂůĞƐ ŝŵĂŐŝŶĂƌŝŽƐLJĐŽŵƉůĞũŽƐ NATURALES El conjunto de los números naturales, que representamos con , lo obtenemos contando a partir del uno: uno, dos, tres, y así siguiendo (1, 2, 3, ...). Características de los números naturales 1. Es un conjunto infinito. 2. Tiene primer elemento, no tiene último elemento. 3. Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un consecutivo. 4. Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor. 5. Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural. el conjunto es discreto. Los números naturales pueden ser representados, imaginando una recta horizontal

ENTEROS La resta en el conjunto de los números naturales siempre es posible cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. Para resolver este problema necesitamos ampliar el campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números naturales, llamados números enteros negativos. Obtenemos el conjunto de los números enteros: ……-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Pueden representarse en la recta numérica como sigue:

RACIONALES Nos vemos en la necesidad de ampliar nuevamente nuestro campo numérico, puesto que conlos números enteros podemos “contar” pero no siempre “medir”. Para expresar medidas necesitamos números que representen “partes de la unidad”, de aquí surge la idea de número fraccionario: la mitad, la tercera parte, las dos quintas partes,...de una unidad.

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El conjunto de los números enteros unido al conjunto de todas las fracciones constituye el conjunto de los números racionales, al que denotamos por Q. a

Definición: Un número racional b es el cociente de dos números enteros a y b, con 0≠b , siendo a el numerador y b el denominador. En la recta numérica, para representar por ejemplo siete octavos es, como menor que uno, dividimos la unidad en ocho partes iguales, contamos siete de ellas a partir del cero, obteniendo así el punto de la recta que representa al número

Expresión decimal de los números fraccionarios

Números Periódicos Muchas veces, en una fracción, al dividir el numerador por el denominador no se obtiene un decimal exacto, sino un número periódico. Se denomina periodo al conjunto de números que se repite después de la coma. Se distinguen entre puros y mixtos. Por ejemplo: 2 a) = 0,666... = 0,6 (puro) El periodo es 6 3 b)

34 = 0,343434... = 0,34 99

(puro)

El periodo es 34

c)

49 = 5,444... = 5,4 9

(puro)

El periodo es 4

d)

3442 = 3,4767676... = 0,476 990

(mixto)

El periodo es 76

Como puede verse en los ejemplos anteriores, un número es periódico puro cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras periódicas. En cambio, se dice periódico mixto cuando no inmediatamente después de la coma hay una o más cifras periódicas.

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Operaciones algebraicas Ejemplo: Hallar el resultado de la siguiente expresión 11 1 ⎧ 2 5 ⎡ 3 1 ⎛ 7 4 ⎞ − − ⎨ − − − − ⎜ + −1 ⎟ + 15 3 ⎩ 5 6 ⎢⎣ 4 2 ⎝ 30 5 ⎠

1 ⎤⎫ ⎬ −1 = 4 ⎥⎦ ⎭

El modo de proceder es como sigue: primero se suprime el paréntesis, luego el corchete y luego la llave, siguiendo la regla de los signos. Es decir, si el paréntesis está precedido por un signo + entonces no cambia el signo de los términos que se encuentran dentro del paréntesis. Si el paréntesis está precedido por un signo – entonces cambia el signo de todos los términos que se encuentran dentro del paréntesis. Lo mismo vale para el corchete y la llave. 11 1 ⎧ 2 5 ⎡ 3 1 7 4 1⎤ ⎫ − − ⎨ − − ⎢ − − − + 1+ ⎥ ⎬ −1 = 15 3 ⎩ 5 6 ⎣ 4 2 30 5 4⎦ ⎭

1⎫ 11 1 ⎧ 2 5 3 1 7 4 − − ⎨ − − + + + −1 − ⎬ − 1 = 4⎭ 15 3 ⎩ 5 6 4 2 30 5 1 11 1 2 5 3 1 7 4 − − + + − − − + 1 + −1 = 4 15 3 5 6 4 2 30 5 1 ⎞ ⎛1 2 1 7 4 ⎞ ⎛ 11 5 3 ⎜ + + + 1+ ⎟ − ⎜ + + + + + 1 ⎟ = 4 ⎠ ⎝ 3 5 2 30 5 ⎠ ⎝ 15 6 4 107 98 9 3 − = = 30 30 30 10

Pasaje de términos. Despejando la incógnita Muchas veces tenemos una ecuación que contiene una incógnita, que solemos llamar x , y necesitamos conocerla. Lo que queremos entonces es aprender a despejar la x . Es decir, obtener una ecuación que diga explícitamente a qué es igual x. Se conoce este tema dentro de la matemática como “pasaje de términos”. Existe un mito detrás de todo esto, ya que, por algún motivo, los estudiantes se asustan al escuchar dicha frase. Es algo realmente muy sencillo y además divertido. Debemos pensar que es un juego, y como todo juego, tiene sus reglas. Entonces, solo tenemos que aprender sus reglas y jugarlo. No es más difícil que aprender a jugar al truco o al póker. Mientras más se los juega, mejor se los aprende. Lo haremos utilizando ejemplos y proponiendo una serie de pasos. Pero antes daremos unas reglas a tener en cuenta.

Regla N° 1: Los términos están separados por signos + y -. El signo de cada término es el que figura delante del mismo. Por ejemplo, en la expresión 2 + 3

3 5

−

5x − 2 = 4

2 − 3x 2

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5x −2 3 2 2 − 3x y − , + en el en el primer miembro; y + 3 4 5 2 5x − 2 está implícito un paréntesis en el numerador. Lo que segundo. En el término − 4 (5 x − 2) , es decir, todo lo que está arriba de la línea de quebrado estamos diciendo es − 4 2− 3 x . está dividido por 4. Lo mismo sucede con el término 2 los términos son: +

Regla N° 2: Las únicas operaciones permitidas entre términos son: suma y resta. Regla N° 3: Cuando pasamos un término de un miembro a otro, cambia su signo. Por ejemplo, en la expresión anterior, si queremos dejar en el primer miembro solamente el tercer término, obtenemos

−

5x − 2 4

=

2 −3x 2

−

2 3

−

3 5

Si no queremos que aparezca el signo (-) delante del término entonces cambiamos de signo a todos los términos, tanto del primer miembro como del segundo. Así queda 5x − 2 4

=

−

2 − 3x 2

+

2 + 3

3 5

Observar que lo que en realidad hemos fue multiplicar por -1 en ambos miembros. Regla N° 4: Las únicas operaciones permitidas dentro de un término son: multiplicación, división, potenciación y radicación. Cuando realicemos cualquiera de estas operaciones debemos tener un solo término en el miembro origen, sin importar lo que hay en el miembro destino. Regla N° 5: Si tenemos un factor que está multiplicando, al cambiarlo de miembro pasa dividiendo a todo el miembro, y viceversa. Regla N° 6: Si en un término tenemos un factor que está elevado a una potencia, la potencia pasa al otro miembro como raíz de todo el miembro, y viceversa. Ejemplo: Despejar la x en la expresión (3)

2 − 5 − 6x = 3x

Paso número 1: Identificar el o los términos. Los términos están separados por signos + y -. En nuestra ecuación identificamos 4 términos: 2 , − 5 y − 6 x en el primer miembro, y 3 x en el segundo. Paso número 2: Identificar los términos donde se encuentra la En este caso − 6 x y 3 x . 2 − 5 − 6 x = 3x

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.

Paso número 3: Pasar al primer miembro los términos que contienen la , y pasar al segundo miembro aquellos que no la contienen. Las únicas operaciones entre términos son la suma y la resta. Cuando cambiamos un término de miembro cambia su signo. Así obtenemos

− 6x

− 3x

= − 2 + 5

Paso número 4: Si es conveniente, cambiar de signo a todos los términos. En general, uno prefiere tener signos + en lugar de signos -. En este caso es conveniente cambiar de signo en ambos miembros. Así 6x

+ 3x

= 2 − 5

Paso número 5: Sumar términos. Puesto que las únicas operaciones entre términos son de suma y resta, entonces procedemos a sumar aquellos que podamos. En este caso, 6 x y 3 x puden sumarse. Es como decir 6 pesos más 3 pesos es igual a 9 pesos, 6 tomates más 3 tomates es igual a 9 tomates. Y por otro lado, los del segundo miembro, debo 5 pesos, pago 2 pesos, sigo debiendo 3 pesos. Así obtenemos

9x =

− 3

Paso número 6: Despejar la x . Las operaciones que aparecen dentro de un término son: multiplicación, división, potenciación y radicación. En este ejemplo tenemos un término en el primer miembro y uno en el segundo. Debemos dejar solamente la x en el primer miembro, nos molesta el 9 . El 9 está multiplicando, pasa al segundo miembro dividiento. Así x =

−

3 9

Paso número 7: Simplificar. Siempre que se pueda es conveniente simplificar. Así, en nuestro ejemplo obtenemos 1 3 Paso número 8: Verificación. Siempre es conveniente verificar si nuestro resultado es correcto. El modo de hacerlo es ir a la ecuación (3), reemplazar la por el valor que acabamos de hallar, y verificar que el primer miembro es igual al segundo. Así

x =

−

2 −

5 −

! 1 1 6⎛⎜ − ⎞⎟ = 3 ⎛⎜ − ⎞⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Colocamos el signo ! sobre el signo = porque aún no hemos terminado de hacer la verificación (también podemos usar el signo ?). Sumando obtenemos 2 −

5 +

!

2 = − 1

y finalmente

− 1 = − 1 Pag 5 de 39

Ejercicios 1) Representar los siguientes números en la recta numérica −3 ; 0 ; 5; − 6;

1 8 6 ;− ; ; 3 3 5

2) Convertir las siguientes fracciones en números decimales 8 5 25 2 − ; − ; ; − ; 2 4 7 3 3) Convertir los siguientes números decimales en fracciones 0,3 ; − 1,25 ; − 3,6 ; 0,25 ; 7,3 ; − 9,6 ; 0,01 ; − 0,1

4) Convertir los siguientes números periódicos en fracciones     E) 4,5 F) 3,84 G)72,25 D) 1,7  H ) 0,346

  432,741 H)

) Realice las siguientes operaciones con fracciones

5 8

D)

9 1 −1 + 8 2

Res puesta:

E)

3 1 1 10 ⋅ + ⋅2 − : 2 4 2 3 3

Respuesta: −

F)

3 1 1 1 1 1 : − ⋅3 + : − 2 2 3 5 5 2

Res puesta:

2 5 1 3 1 2 2 1 G) − : − ⋅ + ⋅ − : 5 2 3 4 4 3 3 3 −1

2

2 1 1 H) ⎛⎜ ⎞⎟ :⎜⎛ ⎟⎞ − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ −1

−2

⎛ 1⎞ ⋅ 2 + 0.1 :⎜ ⎟ ⎝ 10⎠ 2

−1

5 2

R espuesta: −

673 300

Respuesta: −

401 27

−1

⎛ 1⎞ 1 −1 13 ⎟ ⋅ + (0.2) −2 ⋅ 25 −1 + 3 1 ⋅ I) − ⎜ 4 ⎜ 4⎟ 2 2 ⎝ ⎠

( )

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5 8

Respuesta: 2



) Calcular el valor de las siguientes expresiones 5⎤ ⎡2 1 3 8 1 a) 1 + ⎢ − + ⎛⎜ − + 2 ⎞⎟ − ⎥ ⎣ 3 2 4 ⎝ 9 3 ⎠ 6⎦

Respuesta:

9 4

b)

4 2⎛ 10 ⎞ ⎡ 1 ⎛ 4 5⎞ ⎤ + ⎜ 5− ⎟ + ⎢ ⎜ 2 + − ⎟ − 1 ⎥ 3 5⎝ 3 ⎠ ⎣2⎝ 5 3⎠ ⎦

Respuesta:

47 30

c)

29 ⎡ 4 ⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 2 1⎞ 1 ⎤ 7 − ⎢ ⎜ − ⎟ − ⎜ + 1− ⎟ + ⎥ − 30 ⎣ 5 ⎝ 6 8 ⎠ ⎝ 3 2⎠ 4 ⎦ 5

Respuesta:

7 60

d)

5 ⎛1 4 ⎞ ⎧ 1 ⎡ 3 4⎛ 21 7 ⎞ 1 ⎤⎫ ⎜ + 1 − ⎟ − ⎨ − ⎢ + ⎜ − ⎟ − ⎥⎬ 4 ⎝5 5 ⎠ ⎩ 8 ⎣ 4 7⎝ 8 5 ⎠ 2 ⎦ ⎭

Respuesta:

53 40

3 8 ⎧ 1 ⎡5 3 15 ⎤⎫ e) 1+ ⎛⎜ − ⎞⎟ − ⎨− − ⎢ − 1 + ⎛⎜ − 10 − ⎞⎟ − 1 ⎥ ⎬ 5⎝ 4 ⎠ ⎦⎭ ⎝ 4 ⎠ 3 ⎩ 2 ⎣8

Respuesta: −

81 8

) Calcular las siguientes expresiones 1 2 1 ⋅ 1 20 10 a) −3: 2 + 5 1 1 10 10 2 ⎛3 1⎞2 3 1 ⎜ − ⎟ + 4 3 3 ⎠ ⋅ 3+ 4 2 b) ⎝ 1 2 ⎛ 1⎞ − ⎜ 1− ⎟ : 5 2 5 ⎝ 6⎠ 2 2+

Respuesta:

237 10

Respuest a: 37

3 1 5 + − ⎛3 5 ⎞ c) 4 2 8 ⎜ + ⎟ 1 ⎝2 2 ⎠ 16 1 3 − 5 4

Respuesta: − 22

−1

1 ⎛3 ⎞ ⎜ ⎟ − 6 ⎝5 ⎠ G) 3 1 3 3 −1 + 4 8

H)

3

⋅

10 −2

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2 ⎠

Resp ues ta: 2 + 3

15 1 − 4 5 : 71 1 3 1 20 − 3: 2 100 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝10 ⎠

Respuesta: 0

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3

) Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones 1 1 a) x : = − 5 2

Respuesta: x = −

3 x+2 = x 2

Respuesta: x = 4

b)

1 4 c) 3 = x 5

Respuesta: x =

1 1 1 − 3=3 5 x 1 4

5 12

−2 + G)

Respuesta: x = −

1 − 0,5 x 6 H) = 1 ⎛ 2 ⎞2 0,3 − 2 ⎜⎝1 − 3 ⎠⎟

Respuesta: x =

1 10

1 25

3 5

)UDFFLRQHV\SRUFHQWDMH (Q OD YLGD GLDULD HV KDELWXDO HQ QXHVWUR OHQJXDMH HO XVR GH ORV WpUPLQRV SRUFHQWDMHSRUFLHQWRFRPRWDPELpQHOFiOFXORGHHOORV (Q HO VLJXLHQWH GLDJUDPD PRVWUDPRV ODV GLIHUHQWHV PDQHUDV GH H[SUHVDU XQD SDUWHGHXQWRGR Porcentaje: el 40% de 80 (Recordar que el 40% significa tomar 40 partes de 100)

Simplificación

40 ⋅ 80 = 32 100

División

2 ⋅ 80 = 32 5

0.4 ⋅ 80 = 32

Fracción

Número decimal

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Ejemplo 1: ¿Cuánto es el 15% de 38?.

15 ⋅ 38= .0 15⋅ 38= .5 7 100 3

Otra forma:

15 3 ⋅ 38 114 = = 5. 7 ⋅ 38 = 100 20 20 20

5.7 representa el 15% de 38. Ejemplo 2: ¿Qué parte del total representa el 25% de una cantidad C, 25 1 25 % de C= C= C 100 4 Representa la cuarta parte de esa cantidad C

IRRACIONALES Algunos decimales no son exactos ni periódicos. Recordemos de geometría al número π que se usa para calcular longitudes de circunferencias y áreas de círculos, para el cual la aproximación más usual es 3.1416. La representación decimal de este número continúa interminablemente sin repetición. Gracias a la tecnología que ahora tenemos, una computadora calculó π como decimal hasta cien cifras, he aquí algunas: π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279........

Los pitagóricos fueron quienes descubrieron los números irracionales al aplicar el Teorema de Pitágoras (capítulo 5) en un triángulo cuyos catetos eran iguales a la unidad. Cuando calcularon la hipotenusa se encontraron que medía 2 y que no era un número natural. Para ellos los números naturales constituían el principio de todas las cosas, por esta causa, mantuvieron el descubrimiento de los irracionales en el más estricto secreto. En los libros elementales de matemática encontraremos la demostración de que 2 no es un racional. Con éste número se pueden generar infinitos números irracionales, la forma es de 2 sumarle a 2 un número racional: 1 + 2 , − 7 + 2 , 2 − , etc. 3 Otra manera de obtener números irracionales es escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no presenten periodicidad: 0.1234567891011121314151617181920...., -2.16716781678916711672.... El nombre de “irracional” proviene del hecho de que no se puede expresar como razón de dos enteros. Las raíces cuadradas de los números naturales que no son exactas como 2 , 5 , 7 , .... se representan exactamente aplicando el Teorema de Pitágoras en la recta numérica. En la siguiente figura representamos 2 .

2

0

1

1

2

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EJERCICIO: 1− 5

Representar en la recta real 3 , 5 , − 2 + 5 , 2 3 ,

NÚMEROS REALES números irracionales, constituyen el conjunto de

Los números racionales junto con los números reales (R).

números reales

⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪racionales⎪ enteros ⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ fraccionarios ⎩ ⎪ ⎪irracionales ⎩

⎧naturales ( enteros positivos ) ⎪ ⎨cero ⎪enteros negativos ⎩

Existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta: a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa, por ello decimos que los números reales cubren la recta. A continuación daremos las propiedades fundamentales de las operaciones en los números reales. Sean a , b y c números reales:

•

La suma satisface las siguientes propiedades: a) Asociativa: a + ( b + c ) =( a + b ) + c ;

b) Conmutativa: a + b = b + a ; c) Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a ; d) Existencia del elemento opuesto: ∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R / a + ( − a) = (− a) + a = 0

•

El a) b) c)

producto satisface las siguientes propiedades: Asociativa: a ⋅( b ⋅ c ) =( a ⋅ b ) ⋅ c ; Conmutativa: a ⋅ b = b ⋅ a ; Existencia de elemento neutro: ∃ 1∈ R / a ⋅ 1 = 1⋅ a = a ;

d) Existencia del elemento recíproco o inverso: ∀ a ∈ R, a ≠ 0 , ∃ a −1 ∈ R / a ⋅ a -1 = a-1 ⋅ a = 1 ; e) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c )

•

La diferencia o resta se define a partir de la definición de suma: a - b = a + (-b) , ∀ a , b ∈R

•

El cociente se define a partir de la definición de producto: b ≠ 0 , a...