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Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Método de Cholesky • Introducción En matemática, la factorización de Cholesky toma su nombre por el matemático André Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triangulo de Cholesky de la matriz original positiva. Es manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales lineales y se deriva de la Factorización de LU con una pequeña variación. Tanto la descomposición de LU como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Cuando es aplicable las descomposiciones de Cholesky es dos veces mas eficiente que la descomposición de LU.

•

DEFINICION

Este método sirve para resolver ecuaciones de tipo Ax=b, siempre y cuando la matriz cumpla las siguientes condiciones: 1. Debe ser simétrica es decir → 𝐴 = 𝐴𝑇 2. Debe ser definida positiva es decir → A >0 3. Debe ser una matriz Hermitiana → es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta. Si se cumple esto A puede ser definida como

𝐴 = 𝐿 ∗ 𝐿′ Donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales estrictamente positiva y 𝐿′ representa la conjugada traspuesta de L. Esta es la descomposición de Cholesky.

•

CALCULO DE LA FACTORIZACION DE CHOLESKY PASOS

1. Tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones Ax=b y los ubicamos en forma de matriz A y b 2. Luego se debe partir de la igualdad 𝐴 = 𝐿 ∗ 𝐿′ 3. Se encuentran las matriz triangular L y la matriz triangular L’ y se calculan los coeficientes de la matriz L (Tabla) 4. Teniendo los coeficientes de la matriz L automáticamente tenemos L’ 5. A continuación, por medio de la igualdad 𝐿′ ∗ 𝑦 = 𝑏 hallamos la matriz y. 6. Teniendo la matriz y es posible hallar nuestras incógnitas x es decir hallar la matriz x por medio de la igualdad 𝐿 ∗ 𝑥 = 𝑦

• Ejercicio Dado el sistema de ecuaciones

10𝑥1 + 7𝑥2 + 8𝑥3 + 7𝑥4 = 32 7𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 + 5𝑥4 = 23 8𝑥1 + 6𝑥2 + 10𝑥3 + 9𝑥4 = 33 7𝑥1 + 5𝑥2 + 9𝑥3 + 10𝑥4 = 31

Resuelva el sistema por el método de factorización de Cholesky Paso 1 armar la matriz A y el vector solución inicial b

A=

10 7 8 7

7 8 7 5 6 5 6 10 9 5 9 10

32 b= 23 33 31 A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10] b=[32;23;33;31]

Matriz de coeficiente técnicos a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

Paso 2 ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])

L11 L21 L31 L41

L=

0 L22 L32 L42

0 0 L33 L43

0 0 0 L44

ENCONTRAR LA MATRIZ TRANSPUESTA (MATRIZ [L]) =LT

L11 0 0 0

LT=

L21 L22 0 0

L31 L32 L33 0

L41 L42 L43 L44

Paso 3

GENERALIZANDO FORMULAS A USAR PARA LA SUSTITUCIÓN 𝑙11 = √𝑎11

Esta sirve para la primera posición

2 𝑙𝑖𝑖 = √𝑎𝑖𝑖 − ∑ 𝑖−1 𝑘=1 𝑙𝑖𝑘

𝑙𝑖1 = 𝑙𝑖𝑗 =

L=

𝑎𝑖1

Esta sirve para encontrar las diagonales Esta sirve para encontrar la primera columna

𝑙11 𝑎

𝑗−1 𝑖𝑗−∑ 𝑘=1𝑙𝑖𝑘 ∗𝑙𝑗𝑘

𝑙𝑗𝑗

3.16227766 2.21359432 2.529822128 2.213594362

0 0.316227766 1.264911402 0.316227766

Esta sirve para el resto de las posiciones

0 0 1.41421353023 2.121332038

0 0 0 0.70710667

Formulas a usar para la sustitución 3,16227766

2,21359436

2,52982213 2,21359436

0,31622777

1,26491106

1,41421356

0,31622777

2,12132034

0,70710678

SE ARMA LA MATRIZ L Y LT(transpuesta) 32 b= 23 33 31

32 23 33 31

3,16227766 0 0 0 L= 2,21359436 0,31622777 0 0 2,52982213 1,26491106 1,41421356 0 2,21359436 0,31622777 2,12132034 0,70710678

3,16227766 2,213592213 2,52982213 2,21359436 L’= 0 0,31622777 1,26491106 0,31622777 0 0 1,41421356 2,12132034 0 0 0 0,70710678 L=[3.16227766 0 0 0;2.21359436 0.31622777 0 0;2.52982213 1.26491106 1.41421356 0;2.21359436 0.31622777 2.12132034 0.70710678] Lt=[3.16227766 2.213592213 2.52982213 2.21359436 ; 0 0.31622777 1.26491106 0.31622777 ; 0 0 1.41421356 2.12132034; 0 0 0 0.70710678]

SE PRUEBA 𝑨 = 𝑳 ∗ 𝑳𝑻 Paso 4 L*y=b

×

=

y1 y= y2 y3 y4

32 b= 23 33 31

Entonces organizamos las ecuaciones y despejamos las variables y1,y2,y3,y4 3,16227766*y1=32 y1=32/3,16227766=10,1192885 2,21359436*y1 + 0,31622777*y2 =23 y2=(23-2,21359436*10,1192885)/ 0,31622777=1,89736664 2,52982213*y1 +1,26491106*y2 +1,41421356*y3 =33 y3=(33-(2,52982213*10,1192885)-( 1,26491106*1,89736664))/ 1,41421356=3,53553387 2,21359436*y1 0,31622777*y2 2,12132034*y3 0,70710678*y4 = 31 y4=(31-(2,21359436*10,1192885)-(0,31622777*1,89736664)(2,12132034*3,53553387))/0,70710678=0,70710692

10,1192885 y= 1,89736664

3,53553387 0,70710692

Paso 6 𝐿′ ∗ 𝑥 = 𝑦

× =

x1 x= x2 x3 x4

10,1192885 y= 1,89736664 3,53553387 0,70710692

0,70710678x4=0,70710692 x4=0,70710678/0,70710692=0,99999≈1 1,41421356x3+2,12132034x4=3,53553387 x3=(3,53553387-(2,12132034*1))/ 1,41421356≈1 0,31622777x3+1,26491106x2+0,31622777x1=1,89736664 x2=(1,89736664-(1,26491106*1)-(0,31622777*1))/3,16227766≈1 3,16227766x1+2,21359436x2+2,52982213x3+2,21359436x4=10,1192885 x1=(10,1192885-(2,21359436*1)-( 2,52982213*1)-( 2,21359436*1))/3,16227766≈1

1 x= 1 1 1

Se remplazan los resultados en las ecuaciones originales para comprobar el sistema Algoritmo del método 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Pedir la matriz simétrica al Usuario Comprobar que sea definida positiva, simétrica (todas) Pedir el vector b al Usuario Encontrar la matriz L Encontrar la matriz Lt Resolver el sistema L*c = b

7. Resolver el sistema Lt*x = c 8. Imprimir la solución al sistema de ecuaciones, osea imprimir x...