Ensayo de las Ecuaciones de Navier-Stokes PDF

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Ecuaciones de Navier-StokesLas ecuaciones de Navier-Stokes, nombradas en honor a Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas. Estas ecuaciones de balance surgen de aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de un fluido, junto con la ...

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Ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes, nombradas en honor a Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, describen el movimiento de sustancias fluidas viscosas. Estas ecuaciones de balance surgen de aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de un fluido, junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso difusor, es decir proporcional al gradiente de velocidad, y un término de presión, de este modo describiendo un flujo viscoso. La principal diferencia entre estas ecuaciones y las menos complicadas ecuaciones de Euler para un flujo no viscoso es que las ecuaciones de Navier-Stokes no son ecuaciones de conservación, sino más bien un sistema de disipación. Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles ya que describen el comportamiento de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería. Pueden ser utilizadas para modelar el tiempo, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala. Las ecuaciones de Navier-Stokes en sus formas más completo y simplificado ayudan con el diseño de aviones y coches, el estudio del flujo de sangre, el diseño de las centrales eléctricas, el análisis de la contaminación, y muchas otras cosas. Junto con las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones de Navier-Stokes pueden ser utilizadas para modelar y estudiar la rama interdisciplinaria llamada magnetohidrodinámica. Las ecuaciones de Navier-Stokes son también de gran interés en un sentido puramente matemático, dada su amplia gama de usos prácticos. Una de las razones que más genera interés y asombro, a pesar de su amplia gama de usos, es que aún no se ha demostrado que en tres dimensiones siempre existen soluciones, o que, si las hay, entonces son suaves, es decir, que no contienen ninguna singularidad matemática. La solución de las ecuaciones de Navier-Stokes se caracteriza por ser un flujo de velocidad, es decir, un campo, ya que se define en cada punto en una región del espacio y un intervalo de tiempo. Una vez calculado el campo de velocidad, otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura, se pueden encontrar. Esto difiere enormemente de lo que normalmente se ve en la mecánica clásica, donde las soluciones son típicamente trayectorias de posición de una partícula o desviación de un proceso continuo. El estudio de la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque visualizarlo resulta mucho más complejo, y al estar dada la respuesta por un campo vectorial uno puede computar muchísimas trayectorias, como consecuencia de ser un campo. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales en caso general y en casi todas las situaciones reales permanecen de este modo. En algunos casos, tales como el flujo unidimensional y el flujo de Stokes, o flujo progresivo, las ecuaciones pueden simplificarse a formas lineales. La no linealidad hace que la mayoría de los problemas sean difíciles o imposibles de resolver y es el principal contribuyente a la turbulencia que estas ecuaciones modelan. La no linealidad se debe a la aceleración convectiva, que es una aceleración asociada con el cambio en la velocidad sobre la posición. Por lo tanto, cualquier flujo de convección, sea turbulento o no, implicará no

linealidad. Un ejemplo de flujo de convección, aunque laminar, es decir, no turbulento, sería el paso de un fluido viscoso a través de una tobera convergente pequeña. Este tipo de flujos, resolubles o no, a menudo pueden ser estudiados y entendidos. Hasta la fecha la relatividad y la turbulencia son los fenómenos que más han causado polémica y asombro en la historia de la física moderna, y una de las propiedades de las ecuaciones de Navier-Stokes es que permiten modelar en cierto modo la turbulencia. La turbulencia es el comportamiento caótico dependiente del tiempo visto en muchos flujos. En general se cree que se debe a la inercia del fluido en su conjunto: la culminación dependiente del tiempo y la aceleración convectiva; por lo tanto, los flujos donde los efectos de inercia son pequeños tienden a ser laminares. Muchos científicos han llegado a creer que las ecuaciones de Navier-Stokes describen la turbulencia correctamente, aunque esto sigue siendo un misterio. La solución numérica de las ecuaciones de NavierStokes para un flujo turbulento es extremadamente difícil, y debido a las significativamente distintas escalas de longitudes mezcladas que están implicados en el flujo turbulento, la solución estable del flujo requiere una resolución tan detallada y extensa que el tiempo requerido para los respectivos cálculos se hace significativamente inviable para el cálculo o simulación numérica directa. Junto con ecuaciones suplementarias y condiciones de frontera bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes modelan con precisión el movimiento de un fluido, e incluso los flujos turbulentos en promedio parecen estar de acuerdo con las observaciones del mundo real. No obstante, las ecuaciones de Navier-Stokes trabajan bajo la premisa que el fluido que está siendo estudiado es un medio continuo, es decir, es infinitamente divisible y no está compuesto de partículas tales como átomos o moléculas, y no se está moviendo a velocidades relativistas. Esto crea una limitante: A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, los fluidos reales hechos de moléculas discretas producirán resultados diferentes de los fluidos de medios continuos modeladas por las ecuaciones de Navier-Stokes. Otra limitación es simplemente la naturaleza compleja de las ecuaciones. Existen formulaciones para las familias de fluidos comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a las familias menos comunes tiende a resultar en formulaciones extremadamente complicadas y a menudo crea problemas que tienen a ser temas de investigación. Por esta razón, estas ecuaciones son generalmente utilizadas para fluidos newtonianos donde el modelo de viscosidad es lineal. En conclusión, se puede decir que a pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que, si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar....