Explicación de las Ecuaciones de Maxwell PDF

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Profesor Netfone...

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Explicación de las Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen la relación entre la electricidad y el magnetismo. Se expresan de la siguiente forma:

Para entender este lenguaje matemático se requiere conocer cálculo diferencial (vectorial). Pero, y a pesar de ello, es probable que pocos entiendan el verdadero significado de las ecuaciones de Maxwell y el porqué de su importancia. James Clerk Maxwell fue un Físico Escoces que vivió a mediados del siglo XIX. Se interesó en la incipiente nueva ciencia de la electricidad y magnetismo y en las intrigantes relaciones que ambos temas mostraban entre sí. Relaciones que se iban desvelando de entre los primeros trabajos de científicos como los realizados por Hans Christian Ørsted, Michael Faraday y André-Marie Ampere. El primero, Ørsted, había notado en 1820 que la aguja magnetizada de una brújula cambiaba su dirección cuando en su cercanía se inducía una corriente eléctrica activada por el prendido y apagado de un circuito eléctrico. Esta observación fue sorpresiva en un momento que nadie sospechaba que la electricidad y el magnetismo podían estar relacionados. Ampere pronto supo del descubrimiento de Ørsted, y en el plazo de una semana ya había formulado una teoría matemática que describía el proceso. El consideró que una corriente eléctrica podía generar un campo magnético, y que alternando el prendido y apagado de la corriente significaba que cambiaba el campo magnético (de no estar presente a estarlo y viceversa). Este cambio en el campo magnético alteraba la aguja magnetizada de la brújula. Mientras tanto Faraday trabajó en la idea contraria, que un campo magnético cambiante podía causar un flujo de corriente eléctrica en un cable. Probó su teoría y la usó para inventar una dinamo eléctrica, que es un generador de electricidad esencialmente similar a los usados hoy en día en las estaciones generadoras de Luz. Dos aspectos importantes en este asunto, y ¡Ni siquiera hemos llegado a Maxwell! 1

Maxwell formalizó y extendió el trabajo de Ampere y de Faraday, combinando sus descubrimientos en un conjunto de ecuaciones interrelacionadas que describen todos los aspectos implícitos de la electricidad y el magnetismo conocidos en ese momento. Las ecuaciones de Maxwell forman la base de la teoría electromagnética, aprendida por generaciones de estudiantes de física, y sustentan todo lo que sabemos y podemos hacer con el electromagnetismo. Primera Ecuación de Maxwell

La primera ecuación nos dice en palabras que “La divergencia del campo eléctrico es igual a la densidad de carga dividida entre εo." Correcto…pero ¿Qué significa eso? εo (Épsilon subíndice cero) es solo un número y regresaremos a ello en un momento. El Campo Eléctrico es, en grandes términos, una medida de la influencia eléctrica que existe en algún lugar. La Divergencia es una medida matemática de cuanto de algo viene de alguna parte. Por ejemplo, cuando abrimos un grifo de agua, el agua brota. Matemáticamente la divergencia de agua a la salida de la llave es un número positivo. La divergencia de agua en la salida del desagüe es un número negativo. Más aún, mientras no esté sacando más agua fuera del Sistema (llenando un vaso o algo) de lo que se está recibiendo, la divergencia del recipiente es cero, lo cual significa que se está sacando exactamente la misma agua del sistema que la que se está recibiendo de la llave.

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La divergencia (que se expresa como un triángulo invertido – Nabla – y un punto en la ecuación) del campo eléctrico E, indica cuanto campo eléctrico está viniendo de algún lugar. Y es igual a la densidad de carga eléctrica (símbolo griego ρ, "rho") en el mismo lugar, dividida por el número εo. Está bien, ahora ya sabemos lo que dice la ecuación, pero ¿Que significa exactamente? La cantidad de campo eléctrico que viene de una región del espacio es igual a la carga eléctrica total en esa región del espacio (dividida por εo).

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La carga Eléctrica es una propiedad de las partículas subatómicas, como los electrones y protones. Si en una región del espacio existen más protones que electrones la carga total es positiva y por ende el campo eléctrico de esa región será positivo. Los protones son como las llaves (grifos) para el campo eléctrico. Por otro lado los electrones son como los desagües del campo eléctrico. Si en una región del espacio existen más electrones que protones, la carga total será negativa, y el campo eléctrico resultante en la región es negativa – en otras palabras, el campo eléctrico “ va hacia” esa región, en lugar de que “sale” de ella. De hecho se puede pensar del campo eléctrico como un flujo de agua, excepto que en realidad nada se mueve. Sin embargo, si se adhiere una carga eléctrica, digamos un protón, en un campo eléctrico, este será llevado por el campo, lejos de la fuente de suministro y hacia el punto de “desagüe”. – es decir, lejos del área de cargas positivas y hacia las regiones de carga negativa. En cambio un electrón, siendo de carga negativa, es transportado en la dirección contraria, lejos del desagüe (cargas negativas) y hacia la llave (cargas positivas). Esto explica algo de lo que se ha aprendido en los salones de clase, porque las cosas con la misma carga eléctrica se repelen entre sí, mientras que las cosas con cargas opuestas se atraen una a la otra. 4

Ahora, ¿Qué hay con respecto al término εo? Este número es conocido como la permitividad en el espacio. La Permitividad eléctrica ε se define como la constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. Es una constante, pero su valor depende de que unidades se usen para describir la carga y el campo eléctrico. (Si eso parece extraño, piense en un coche circulando a velocidad constante, pero esta puede ser de 50 millas por hora o 80 Kilómetros por hora, dependiendo de que unidades se utilicen para medirlo). En estas unidades la permitividad en el espacio εo tiene un valor de aproximadamente 0.0000000000088541878176. −12 2 2 ε 0 =8. 85418781762 x 10 C / N . m Recuerde ese número. Segunda Ecuación de Maxwell

La segunda ecuación de Maxwell es más simple. Lo único nuevo que se necesita saber es que la letra B representa el campo magnético. Sabiendo eso y recordando lo aprendido antes se puede leer la ecuación como “La divergencia del campo magnético es igual a cero”. Expliquemos ahora qué significa esto: Para los campos magnéticos no existen cosas que actúen como llaves (fuentes) ni desagües (pozos). Los campos magnéticos no vienen de algún lado ni van hacia otro. Pero ciertamente existen. ¿Cómo es eso posible? Existen campos magnéticos entre el Polo Norte magnético y el Polo Sur magnético (No en la misma forma que los campos eléctricos donde fluyen los protones hacia los electrones) en este caso no hay movimiento. En los imanes siempre existe un Polo Norte y un Polo Sur. Si se corta una barra de imán por la mitad, no se va a obtener una mitad Norte y otra mitad Sur, sino que en ambas mitades aparecen los lados norte y sur. Los campos magnéticos no circulan del Polo Norte para dirigirse hacia el Polo Sur. Lo que ocurre es que el campo magnético sale del imán por su polo norte y está presente a través del espacio y llegando al polo sur se regresa por el interior del imán hacia su polo norte, de donde vuelve a surgir. Los campos magnéticos circulan en ciclos (bucles), nunca empiezan, ni nunca terminan. 5

Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. Esta es la razón por la cual si se parte en dos un magneto no se termina el ciclo separando las dos partes, la mitad que contiene el Polo Norte original todavía tiene el polo norte del que salió parte del campo magnético que busca el otro extremo conformándolo en un nuevo Polo Sur. En palabras diferentes, los polos magnéticos simples o monopolos no existen. Un monopolo sería el equivalente magnético a un electrón o protón, una partícula de donde un campo magnético emerge o se desvanece del espacio. Por ahora no existe ninguna razón teórica que explique por qué los monopolos magnéticos debieran de existir. Simplemente no lo hacen, a pesar de que muchos científicos lo vienen buscando desde hace años. Si por fin lo encontraran, esto no significaría ningún desastre en la Física. Solo tendríamos que ajustar el término 0 por un valor de densidad de carga magnética en la segunda ecuación de Maxwell, en forma similar a la primera Ecuación. (…y los científicos ya están preparados para esa contingencia) Así pues los Monopolos Magnéticos están siendo excelentes candidatos para convertirse en partículas exóticas en las historias de ciencia Ficción.

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Tercera Ecuación de Maxwell

La tercera ecuación que establece que “El rotacional del campo eléctrico E es igual al valor negativo de la variación del Campo Magnético B respecto al tiempo (derivada temporal del Campo magnético)”. Del lado izquierdo el término E representa (∇ el xCampo Eléctrico. El vector Nabla seguido de x ) representa la operación matemática conocida como rotacional, que es exactamente como suena. El rotacional del campo eléctrico es una medida de cuanta rotación posee, cuantas vueltas da en círculos. En términos de nuestra analogía del agua fluyendo, si se observa un rio se aprecia que la mayoría de la corriente no tiene remolinos (rotaciones), porque fluye dentro de su cauce en el sentido de la corriente. Pero en algunos puntos, sin embargo, el agua produce pequeños remolinos. En estos puntos, el rotacional del flujo de agua es diferente a cero. Se puede medir el rotacional del flujo de agua si se inserta un sensor de vueltas en él. Si gira el rotacional este tendrá un valor diferente de cero; si no se mueve el rotacional es cero. 7

Enunciamos la Tercera Ley de Maxwell como “El rotacional del campo eléctrico es igual al valor negativo de la variación de cambio del Campo Magnético respecto al tiempo”. Representamos la variación de cambio del Campo Magnético (∂B) con respecto al tiempo (∂t). La variación de cambio expresa exactamente lo que dice; que tan rápido el campo magnético cambia. Si el campo magnético no varía, entonces la variación de cambio es cero y el campo eléctrico no rota. Si el campo magnético varía, entonces el campo eléctrico es menor, la variación de cambio es negativa y la rotación del campo eléctrico es positiva. Si el campo magnético se fortalece, la variación de cambio es positiva, y la rotación del campo eléctrico es negativa, lo cual significa que rota en la dirección opuesta. ¿Cómo se produce el debilitamiento o fortalecimiento de un campo magnético? Estamos hablando de campos magnéticos en algún punto del espacio. Si el campo magnético en ese lugar es cero y acercamos un imán, se fortalecerá el campo magnético, Si, por el contrario, alejamos el imán se debilitará el campo magnético. Básicamente si movemos dos imanes cerca generamos campos magnéticos cambiantes, generar campos magnéticos cambiantes generara rotaciones en el campo eléctrico. Ahora expliquemos que significa un campo eléctrico en rotación. Las Rotaciones en el campo eléctrico empujan a las cargas eléctricas alrededor en círculos. ….pero, espere un momento, Cargas eléctricas…alrededor…en 8

círculos, estamos hablando de una corriente eléctrica. Ahora re-fraseemos la oración. “mover, imanes, alrededor, genera, corrientes, eléctricas”. Esta es la base del innovador invento de Faraday: El generador eléctrico. Él pensó que si tenía dos alambres y movía imanes a su alrededor generaría una corriente eléctrica (Electricidad). Si se utiliza una máquina de vapor, o una corriente de agua que mueva los imanes por uno, se logra una estación eléctrica de carbón o una estación hidroeléctrica. Sin James Clerk Maxwell, sus predecesores y su ecuación, nuestras vidas serían muy, muy diferentes. Es de esperar que con esto se ponga de manifiesto la relevancia de estas ecuaciones.

Pero todavía nos falta una ecuación más por analizar. Cuarta Ecuación de Maxwell

"El rotacional del campo magnético B es igual a μo multiplicado por la letra J, mas μo multiplicado por εo y multiplicado por la relación de cambio del campo eléctrico. El nuevo término J indica la densidad de corriente, lo cual se 9

explicará en un minuto. Esta ecuación requiere un poco más de explicación, así que vamos paso por paso. De hecho, vamos a empezar con los bucles del campo magnético. ¿Qué tan rizado es un campo magnético? Bueno, ya hemos visto que las líneas del campo magnético siempre circundan en lazos, de su polo norte al polo sur, y después de regreso al polo norte por dentro del imán. Sí, eso significa que es un bucle (lazo cerrado). Como más fuerte sea el campo magnético, más apretados son sus lazos - y más rizados son. De hecho, la calidad del bucle de un campo magnético es básicamente la medida de qué tan fuerte es. De esta forma la calidad (fuerza) del bucle de un campo magnético es igual a μo multiplicado por la densidad de la corriente J, más otros parámetros, a los que vamos a llegar en un momento. La densidad de corriente J nos dice cuanta corriente eléctrica está presente en algún lugar. En otras palabras, lo que nos quiere decir esta parte de la ecuación es que si se encuentra una corriente eléctrica, siempre existirá un campo magnético curvándose alrededor de él. Imagine un alambre transportando una corriente eléctrica, al envolver su puño alrededor del alambre curvando sus dedos alrededor de él, la curvatura de sus dedos estaría en la misma forma que las líneas del campo magnético, estarían formando lazos alrededor del cable. Así es como los electroimanes funcionan, tienen muchos cables y cuando se hace circular corriente eléctrica a través de ellos generan un campo magnético. Todo el cableado eléctrico instalado en cualquier casa también está generando campos magnéticos, por débiles que sean. Similarmente a εo, el término μo (Letra griega mu subíndice 0) es una constante que simboliza la permeabilidad magnética o permeabilidad del espacio libre (vacío) y ajusta el valor dimensional de la ecuación. La Permeabilidad magnética μo es la capacidad de una sustan cia o medio para atraer y hacer pasar a través de sí los campos magnéticos El campo magnético se mide en Teslas y la densidad de corriente en Amperes por metro cuadrado, μo es igual a 0.000001256637061. La Permeabilidad magnética del vacío es:

Recuerde también este valor. Observamos que la cuarta ecuación es al campo magnético lo que la primera ecuación es al campo eléctrico. La primera ecuación nos dice que la cantidad de campo eléctrico depende de la cantidad de carga eléctrica y esta cuarta 10

ecuación nos dice que la cantidad de campo magnético depende de la cantidad de la corriente eléctrica.

Ahora, ¿Qué hay respecto al último término de la ecuación, donde aparece μo multiplicando a εo y a la relación de cambio del campo eléctrico?

Por ahora esto no debe representar mucha dificultad para entenderse. Si existe un campo eléctrico que se fortalece o debilita, ello genera un campo magnético. Este último término de la ecuación es el mayor y mejor logro de Maxwell. Vamos a ir de la mano en las implicaciones de esto.

Si tiene un campo eléctrico cambiante (alterno). Entonces tiene un campo eléctrico que oscila de positivo a negativo y viceversa. Esto generará un campo magnético. Y, lo que es más, debido a que este ritmo de cambio del campo eléctrico tiene que alternar para permitir un oscilante ir y venir, entonces el campo magnético no será constante, y cambiará con el tiempo.

Recordemos lo que nos dice la tercera ecuación; Si se tiene un campo magnético cambiante se generará un campo eléctrico.

Según la cuarta ecuación el campo magnético oscilante generará un campo eléctrico oscilante, dicho campo eléctrico oscilante y según la tercera ecuación generará un campo magnético oscilante, el cual a su vez, y según la cuarta ecuación, generará un campo eléctrico,….y así hasta la eternidad.

¡La cereza del pastel! Su más perdurable legado a nuestro entendimiento de la física de la naturaleza. Lo que este término nos dice es que al haberse

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generado un campo magnético ya no se requiere una corriente eléctrica. Lo que se requiere es un campo eléctrico cambiante.

La medición de la velocidad de la onda Se pueden hacer algunas operaciones simples con la tercera y cuarta ecuación si se asume que la densidad de corriente J es cero (indicando que no existen corrientes eléctricas). No entraremos en Algebra, pero nos quedaría lo siguiente:

Como se puede ver, estas ecuaciones son idénticas, con la diferencia de que una se refiere solo a los campos eléctricos E, mientras que la otra se refiere al campo magnético B. En esencia lo que estas dos ecuaciones nos dice es que 12

un campo eléctrico que cambia en el tiempo (término de la derecha) genera un campo eléctrico que cambia en el espacio (término de la izquierda) en una forma determinadamente precisa. Similarmente acontece para el campo magnético. De hecho estas ecuaciones describen la velocidad de la ondulación de los campos eléctricos y magnéticos, que se propagan en el espacio a través de ondas. Con estas ecuaciones y a través de algunos desarrollos matemáticos se obtiene la velocidad a la cual estas ondas atraviesan el espacio. La velocidad depende de los valores de εo y μo. resultando:

Imagínese que Usted es James Clerk Maxwell, en 1865, formulando su teoría de electricidad y magnetismo y escribiendo sus cuatro ecuaciones por primera ocasión en la historia. Escribe los términos de estas ecuaciones basándose en los experimentos con baterías eléctricas, pedazos de alambre e imanes. Y se da cuenta de que necesita definir algunas constantes (ε o and μo) para que las ecuaciones calcen adecuadamente. Puede medir los valores de estas constantes usando las mismas baterías, alambre e imanes y así lo hace. Por un momento los números no tienen ningún sentido, son solo constantes que la naturaleza parece utilizar. Conforme a sus estimaciones y criterio pueden tomar cualquier valor, pero decide adoptar los números y utilizarlos en sus ecuaciones. Aplicando un poco de algebra a sus nuevas ecuaciones pronto observa que puede generar una ecuación que solo se refiera al campo eléctrico, y otra casi idéntica que solo se refiera al campo magnético. Las resuelve y se da cuenta que estas ecuaciones describen el movimiento de las ondas de los campos eléctricos y magnéticos. Hace los cálculos necesarios para calcular la velocidad de dichas ondas y constata que esta expresión depende de los valores que había obtenido para εo and μo.

Así es que procede a hacer los cálculos; Toma los valores medidos para εo y μo, La respuesta es un valor de velocidad, con unidades que expresan velocidad (en este caso de metros por segundo) y la respuesta es muy cercana a 300 000 000 metros por segundo. James Clerk Maxwell, reconoció de inmediato lo que este valor representaba; La velocidad de la Luz. (reemplazando los valores recordados más arriba de εo y μo se obtiene 299 792 458 metros por segundo). ¿De dónde surgió esta expresión? 13

Usted, como James Clerk Maxwell en 1865, conocen el trabajo de Isaac Newton y otros científicos de la época de que la luz blanca está compuesta por la mezcla de múltiples colores; y de que los materiales transparentes como el vidrio desvían los rayos de luz y pueden ser usados para enfocarlos en imágenes, como los telescopios; y que la luz se difracta a través de pequeños orificios y alrededor de los bordes afilados. Este efecto de difracción solo puede ser explicado asumiendo que la luz está hecha de algún tipo de ondas, Pero nadie en el mundo sabía de qué tipo de ondas estaban hablando. Cuando se encontraba escribiendo sus ecuaciones, Usted pensaba en términos de electricidad y magnetismo. La luz era lo último que pasaba por su mente, no tenía la menor idea (y nadie más la tenía) de que la ...