Eq Differentiel - Fiche révision équation différentielles PACES PDF

Preview

Summary

Fiche révision équation différentielles PACES...

Description

UE4

Lyon-Est UE4 Fiche de cours n°2 (Séance 1) Equations différentielles

+Annales classées corrigées

1

UE4

 : notion tombée une fois au concours  : notion tombée deux fois au concours  : notion tombée trois fois et plus au concours 1. Définitions Soit y  t  une fonction de la variable t .

dy  t  y dt d2 y t  2   dérivée seconde (= d’ordre 2) : y  t   y  t   dt 2 d n y t  n dérivée nième (= d’ordre n) : y   t   dt n dérivée première (= d’ordre 1) : y  t  

Notations

 ne pas confondre la dérivée d’ordre n : y  n  et y élevé à la puissance n : y n Equation différentielle (ED)

équation dont l’inconnue y  t  est une fonction de la

Système différentiel

comporte plusieurs ED liées entre elles (qui dépendent les unes des autres)

Exemple :

5 y ''– sin  t  y  1

variable t et qui fait intervenir au moins une dérivée de y

Exemple :  y1  2 y1  3 y2   y2   y1  2 y2

Caractéristiques des ED et systèmes d’ED : ED

Système d’ED

Ordre

Ordre de la plus haute dérivée.

Ordre de l’ED qui a la plus haute dérivée

Linéaire

Une ED linéaire ne contient pas de termes non linéaires (par exemple des puissances, des produits ou des quotients) de y , y , y ...

Un système est linéaire si les ED sont linéaires en y1 , y2 , ... et ne contiennent aucun terme mixte (pas de produit croisé entre les différentes yi et leur dérivée)

Coefficients

Coefficients constants : ne dépendent pas de la variable t

Système à cofficients constants : toutes les ED sont à coefficients constants

Termes situés devant yi , yi , yi

Coefficients non constants : dépendent de la variable t

Système à coefficients non constants : au moins une des ED est à coefficients non constants.

Il peut être constant ou fonction de la variable t .

Un système est « avec second membre » si au moins une des ED du système comporte un second membre.

Second membre Regroupe l’ensemble des termes de l’ED qui ne comportent ni y , ni y , ni y , ...

Objectif : trouver les fonctions y  t  qui vérifient l’ED (ou les fonctions y 1 t  , y 2 t  ,... qui vérifient le système différentiel)

2

UE4

L’expression y  t  qui vérifie l’ED est la solution générale de l’ED. Elle est définie à une ou plusieurs constante(s) arbitraires(s) près ; il y a donc une famille de solutions. Exemple :

y  y  0

t On peut vérifier que toutes les fonctions y t   e sont solutions, pour tout  

 Le nombre de constantes arbitraires est égal à l’ordre de l’ED. Pour calculer la (ou les) constante(s) arbitraire(s), on a besoin d’autant de conditions initiales que de constantes. On obtient alors une unique solution appelée solution recherchée. Exemple : avec y 0   3

y  y  0

0 On doit avoir y 0   e    3

Donc la solution recherchée est y  t   3et 2. Résolution des ED linéaires du premier ordre sans second membre Caractéristique

Equation

Solution Solution générale : y t  K. eG t 

Cas 1

Cas 2 (cas particulier du cas 1)

Coefficient non constant

y  g  t   y

y '  a y avec a  coefficient constant

une constante et la condition initiale

y(0)  y 0



où K est une constante à déterminer en fonction de la condition initiale sur l’ED, et G une primitive de la fonction g at Solution recherchée : y t   y0 .e



On obtient une fonction exponentielle. Si a et y 0 sont de même signe, exponentielle croissante, sinon exponentielle décroissante

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction f  t  a tn  n  1

t 1 

1 t

Primitive F  t  at t n 1 n 1 ln t

et sin t

et  cos t 

cos t 

sin  t 

3

UE4

Remarque : on pourra toujours vérifier une solution générale (ou une solution particulière) proposée dans un item en remplaçant la fonction proposée dans l’équation pour regarder si l’équation est vérifiée. 

3. Application en épidémiologie : On considère une maladie contagieuse qui touche une population de considère plusieurs groupes :

n individus. On

- les « susceptibles » d’attraper la maladie Modèle SI Modèle SIR - les « infectés » qui sont malades et contagieux - les « retirés » qui sont morts ou mis en quarantaine ou immunisés. On souhaite déterminer le nombre de malades à chaque instant ainsi que le nombre de personnes à vacciner. Modèle

Modèle SI : 2 groupes (S et I)

Schéma du problème

k  taux de contamination Hypothèse : la population reste constante S (t )  I (t )  n

Formulation mathématique du problème

 dS  dt   k  S  I avec S (0)  S0   dI  k  S  I avec I (0) I 0  dt

Modèle SIR : 3 groupes (S, I et R)

k  taux de contamination r  taux de retrait v  taux de vaccination Hypothèse : la population reste constante S (t )  I (t )  R t   n

 dS  dt  k  S  I  v  S avec S (0)  S 0   dI   k  S  I  r  I avec I (0)  I 0  dt  dR avec R (0)  0  dt  r  I  v  S 

I croit puis décroit, s’il atteint une certaine Remarque sur la solution du système

S décroit jusqu’à 0 I croit jusqu’à n Toute la population devient infectée

valeur on parle de pic épidémique (on pourra jouer sur les conditions initiales pour abaisser la valeur maximale de I notamment en diminuant S0). L’introduction de la vaccination (termes en v dans le système) permet d’éviter l’épidémie

Remarque : On peut complexifier le modèle SIR pour mieux représenter les phénomènes observés : si on prend en compte la natalité ou la mortalité (pour une autre cause que la maladie étudiée), la population n’est plus constante. 4

UE4

4. Application en pharmacocinétique : On administre à un patient un principe actif et on étudie la concentration plasmatique C du principe actif au cours du temps dans le compartiment d’intérêt (compartiment central). Mode d’administration

par voie intraveineuse (IV) en bolus (= de façon instantanée)

par voie orale (= per os = PO), en 1 prise

Schéma du problème Le patient reçoit une dose D du produit (par un volume de distribution V ), qui sera éliminé du compartiment central avec une constante d’élimination ke

Le patient reçoit une dose D du produit, qui sera absorbé dans le compartiment central avec une constante d’absorption k a et éliminé avec une constante d’élimination k e

Dans les deux cas, on parle de modèle mono-compartimental car le compartiment d’absorption (administration par voie orale) n’est pas considéré comme un compartiment ( = compartiment « virtuel »)

Formulation mathématique du problème

C' t   k eC t   0 

C(0)  C0 

D V

C(t)  C0eke t Modèle mono-exponentiel décroissant

dCa D   ka Ca avec Ca= dt V dC  ka Ca  keC avec C  0   0  dt Ca (t ) et C (t ) Modèle bi-exponentiel pour Modèle mono-exponentiel pour

C (t ) 

Ca  t 

Solutions

Temps T particulier

Temps de demi-vie du principe actif :

C(T )  C0 / 2

Temps Tmax tel que :

C (T )  Cmax

5

UE4

ANNALES CLASSEES CORRIGEES

CONCOURS 2013 QCM 1 A) Soit y une fonction de t plusieurs fois dérivable sur Soit l'équation : 4ty  2cos(t )  y '  5 y Cette équation différentielle est linéaire, du 3ème ordre, à coefficients non constants et avec second membre (3)

B) Soit y une fonction de x plusieurs fois dérivable sur Soit l'équation : ln( x)  y '' 3 x2 y  sin( x) Cette équation différentielle est linéaire, du 2ème ordre, à coefficients non constants et avec second membre C) Soit y une fonction de t plusieurs fois dérivable sur Soit l'équation : cos(t )  y  5ty '  2t Cette équation différentielle est linéaire, du 2ème ordre, à coefficients non constants et avec second membre 2

D) Soit y une fonction de x dérivable sur Soit l'équation : y '

y 0 x

La solution générale de cette équation différentielle est :

 1/x2 )

y ( x)  e (

avec  

E) Soit y une fonction de t dérivable sur Soit l'équation : y ' 3 y  0 et la condition initiale : y(0)  2 La solution recherchée de cette équation différentielle avec prise en compte de la condition initiale est : y( t)  2 e3t

6

UE4

CONCOURS 2012 QCM 1 Parmi les propositions suivantes, indiquer la (ou les) proposition(s) vraie(s). A) Soit y une fonction de x plusieurs fois dérivable sur 2 (2)

(3)

Soit l’équation : 4 x y  2 y  2 x  0 Cette équation différentielle est linéaire, du 3ème ordre, à coefficients non constants et sans second membre. B) Soit y une fonction de 2

Soit l’équation : 2

d y dt

2

t plusieurs fois dérivable sur  4y

dy  3ty  2t dt

Cette équation différentielle est linéaire, du 2ème ordre, à coefficients non constants et avec second membre. C) Soit y une fonction de x plusieurs fois dérivable sur (2)

3

Soit l’équation : 2 y  x y  4cos( x) Cette équation différentielle est linéaire, du 2ème ordre, à coefficients non constants et avec second membre. D) Soit y une fonction de t dérivable sur Cette fonction vérifie : 3 y ' 2 y  0 et y(0)  3 La solution recherchée de cette équation différentielle avec prise en compte de la condition initiale est une exponentielle décroissante E) Soit y une fonction de x dérivable sur 4

Soit l’équation y ' x y  0 4 x3 La solution générale de cette équation différentielle est : y ( x)   e avec  

7

UE4

QCM 2 On administre à un patient un principe actif (PA) selon 2 schémas d’administration : voie intraveineuse (IV) en bolus et voie orale en une prise. A) Dans le cas d’un modèle mono-compartimental pour une administration du PA en IV bolus, l’équation différentielle traduisant la variation de la concentration plasmatique C au cours du temps est linéaire, du 1er ordre, à coefficients constants et sans second membre B) Dans le cas d’un modèle mono-compartimental pour une administration du PA en IV bolus, la concentration initiale plasmatique est C(0)  0 C) Dans le cas d’un modèle mono-compartimental pour une administration du PA par voie orale en 1 prise, la concentration Ca dans le compartiment d’absorption (virtuel) évolue selon une exponentielle décroissante D) Dans le cas d’un modèle mono-compartimental pour une administration du PA par voie orale en 1 prise, la concentration C dans le compartiment central évolue selon une courbe bi-exponentielle E) Dans le cas d’un modèle mono-compartimental pour une administration du PA par voie orale en 1 prise, la concentration initiale dans le compartiment d’absorption (virtuel) est Ca (0)  0 et la concentration initiale dans le compartiment central est C(0)  0

8

UE4

CONCOURS 2011 QCM 1 (item C modifié car hors-programme) Soit y une fonction de x, plusieurs fois dérivable sur R. Parmi les propositions suivantes, indiquer la (ou les) proposition(s) vraie(s) A. Soit l’équation : y’+cos(x)×y = 2x Cette équation différentielle est linéaire, du 1er ordre, à coefficients non constants, avec second membre. B. Soit l’équation : 3xy’+y2 = 4 Cette équation différentielle est linéaire, du 2ème ordre, à coefficients non constants, avec second membre. C. Soit l’équation : y × y’ + 3x = 0 Cette équation différentielle est non linéaire, du 1er ordre, à coefficients constants, avec second membre. D. Soit l’équation : 3y(2) + 4y’+y = x + 2 Une solution particulière de cette équation complète est du type : yPC = Ax + B (A et B étant des réels). E. Soit l’équation : y’+ 4y = cos(2x) Une solution particulière de yPC = Acos(2x) (A étant un réel).

cette

équation

complète

est

du

type :

9

UE4

CORRECTION

Concours 2013

Concours 2012

Concours 2011

QCM 1 : B

QCM 1 : C QCM 2 : A, C, D

QCM 1 : A, C, D

10...