Equations différentielles M´ethode de la variation de la constante PDF

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M´ethode de la variation de la constante
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L1 Portail BECV, Cours de Math´ematiques

Universit´e de Rennes 1, 2018-2019

Feuille 10 : Equations diff´ erentielles 2 : M´ ethode de la variation de la constante On rappelle la ”m´ethode de la variation de la constante”. Une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle f ′ (x) + a(x)f (x) = b(x) est donn´ee par f0 (x) = c(x)e−A(x) o` u A est une primitive de la fonction a et o` u c est une primitive de la fonction b(x)eA(x) . Exercice 1. (Question de cours) Donner une solution particuli`ere, puis toutes les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes. On pourra appliquer la m´ethode de la variation de la constante. 1. f ′ (x) + f (x) = e−x 2. f ′ (x) + f (x) = ex 3. f ′ (x) − xf (x) = x

Exercice 2. Donner une solution particuli`ere, puis toutes les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes. On pourra appliquer la m´ethode de la variation de la constante. 1. f ′ (x) + f (x) = xe−x 2. f ′ (x) + f (x) =

1 1+ex

3. f ′ (x) + f (x) =

1 1+e2x

Pour les deux derni`eres, utiliser au cours du raisonnement la m´ethode de reconnaissance de primitives. Exercice 3. On ´etudie l’´equation diff´erentielle (E) : f ′ (x) − f (x) = −4xe−x . On commence par chercher une solution particuli`ere. On va utiliser deux mani`eres diff´erentes. 1. Premi`ere mani`ere : appliquer la m´ethode de la variation de la constante. Au cours du raisonnement, on pourra utiliser une int´egration par parties. 2. Deuxi`eme mani`ere : chercher une solution particuli`ere sous la forme f0 (x) = (α1 x + α0 )e−x . 3. Donner toutes les solutions de (E). 4. Donner la solution qui v´erifie f (0) = 1. Quelle sa limite lorsque x tend vers +∞ ? 5. Donner la solution qui v´erifie limx→+∞ f (x) = 0. Etudier cette solution : d´eriv´ee, tableau de variations, limites en −∞, trac´e du graphe.

Exercice 4. (*) Donner toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle 2

(E) : f ′ (x) − 2f (x) = (2x2 − 1)ex . On pourra s’inspirer de la deuxi`eme mani`ere de l’exercice 3....