Esame 19 Luglio 2018, domande+risposte PDF

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Fisica I Cognome: A Nome: Torino, 19 luglio 2018 N. matr: Solo per gli studenti che hanno seguito il corso per la prima volta quest'anno  si prega di indicare una sola scelta: In caso di esito positivo della prova scritta desidero sostenere la prova orale nel corso dell'appello di  luglio  settem...

Description

Fisica I Cognome:

A Nome:

Torino, 19 luglio 2018

N. matr:

Solo per gli studenti che hanno seguito il corso per la prima volta quest’anno – si prega di indicare una sola scelta: In caso di esito positivo della prova scritta desidero sostenere la prova orale nel corso dell’appello di  luglio  settembre  gennaio/febbraio Prego di non fissare la mia prova orale il ............................... a causa di .............................................................................. (compilare questa parte solo in presenza di serie ragioni che impediscano la partecipazione alla prova orale nella data indicata)

La risoluzione corretta del primo quesito costituisce una soglia necessaria per poter accedere alla correzione dei quesiti successivi del problema 1

Un corpo di dimensioni trascurabili e massa m = 2 kg si trova all’interno di una guida di sezione semicircolare e raggio R = 2m. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra corpo e piano sono rispet1 tivamente µs = 10 e µd ' 0. Il corpo è inizialmente fermo nel punto A, nella posizione caratterizzata dall’angolo θ0, contato a partire dalla verticale (si veda la figura). a) Disegnare il diagramma di corpo libero e determinare la reazione vincolare normale N e la forza di attrito statico fs in A. [2] che può avere θ0 affinché il corpo non si muova. [2] b) Determinare il massimo valore θmax 0 Si supponga di spostare il corpo in una nuova posizione C, caratterizzata dall’angolo θ1 > θmax 0 , e di lasciarlo poi libero di scendere partendo da fermo dalla posizione C. Siqsa che quando il corpo passa per il punto B corrispondente a θ = 0 la sua velocità ha modulo vB =

4 5

gR = 4 m/s.

c) Determinare in funzione di θ la velocità della massa m quando passa per il punto generico P caratterizzato dall’angolo θ, e la corrispondente reazione vincolare N della guida. [4]

d) Determinare il valore N (θ = 0) della reazione vincolare quando la massa passa per B, e il valore di cos θ1. [3] [Si sostituiscano i valori numerici solo all’ultimo passaggio, e si approssimi l’accelerazione di gravità mediante g =10 m/s2]

] a) Il diagramma di corpo libero è:

Le condizioni di equilibrio statico sono: N = m g cosθ fs = m g sinθ b) Usando la condizione di Coulomb:  π π ¡ 6θ6 2 2 1 max jθj 6 arctanµs = θ0 = arctan 10

jfsj = jm g sinθj 6 µs m g cosθ ) jtanθj 6 µs

)



c) Usando la conservazione dell’energia: 1 m v2 ¡ m g R cosθ = ¡m g R cosθ1 2 p 2 g R (cosθ ¡ cosθ1) v(θ) = v2 = m g cosθ + 2 m g (cosθ ¡ cosθ1) N (θ) = m g cosθ + m R = 3 m g cosθ ¡ 2 m g cosθ1 d) Sostituendo θ = 0: vB = v(θ = 0) =

p

2 g R (1 ¡ cosθ1) =

NB = N (θ = 0) = 3 m g ¡ 2 m g cosθ1 =

r

4 gR 5

)

9 mg = 9N 5

cosθ1 =

3 5

)

θ1 = arccos

3 5

Fisica I Cognome:

Nome:

A

Torino, 19 luglio 2018

N. matr:

La risoluzione corretta del primo quesito costituisce una soglia necessaria per poter accedere alla correzione dei quesiti successivi del problema

Una sottile asta omogenea AO di lunghezza d e massa Ma può ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo estremo O (si veda la figura). Ipotizzando che l’asta venga lasciata libera di cadere da ferma quando forma un angolo θ0 con la verticale, quando passa per la posizione verticale essa urta in modo elastico, con il suo estremo A, contro una massa puntiforme m p, inizialmente ferma su di un piano orizzontale. Dopo l’urto la massa m p si muove in direzione orizzontale. Trascurando l’attrito tra la massa m p e il piano orizzontale e conoscendo il massimo angolo θmax, (rispetto alla verticale) raggiunto dall’asta dopo l’urto, determinare: a) Tutte le quantità dinamiche conservate nell’interazione, motivando la risposta; [2] b) il modulo della velocità angolare dell’asta un attimo prima dell’urto; [3] c) il modulo della velocità angolare dell’asta un attimo dopo l’urto; [3] d) il modulo della velocità della massa m p un attimo dopo l’urto. [3] Dati: d = 10 m, Ma = 9 kg, θ0 = 90°, m p= 0.5 kg, θmax = 60°, momento di inerzia di un’asta omogenea di massa m e di lunghezza d rispetto ad un asse perpendicolare ad essa e passante per il 1 suo centro di massa: ICM =12 m d2. [Si sostituiscano i valori numerici solo all’ultimo passaggio, e si approssimi l’accelerazione di gravità mediante g =10 m/s2]

a) Si conservano energia e momento angolare rispetto al polo O. b) Velocità angolare subito prima e subito dopo l’urto: !i, ! f 1 1 ma d2 = (9 kg) (10 m)2 = 300 kg m2 3 3 m p d2 = (0.5 kg) (10 m)2 = 50 kg m2 m p d2 1 = I 6 r p ma g d d 1 d 2 (1 ¡ cos θ0) = 3 s −1 ¡ma g cosθ0 = ¡ma g + I !i ) !i = I 2 2 2 I =

c) 1 d d = ¡ma g cosθmax I ! f2 ¡ ma g 2 2 2 r r 3 −1 ma g d s '1.2 s−1 !f = (1 ¡ cosθmax) = 2 I d) 1 1 1 I !i2 = I !f2 + m p vf2 2 2 2 I !i = I ! f + m p d v f mp 2 v I f m d mp d v f ) ! f = !i ¡ p v f !i = ! f + I rI ! p 3 I m ) vf = (! ¡ !f) ' (60 m) 3¡ s−1 ' 30 mp d i 2 s 3 I m oppure: v f2 = (!2i ¡ ! f2 ) = (600 m)2 s −1 ) v f ' 30 s 2 mp oppure:   mp 2 mp d mp d 2 2 2 !f + vf + 2 ! f v f = ! 2f + v I I I f ! )

)

2

!i2 = ! 2f +

m p m2p d2 v f2 ¡ 2 I I   m d2 1 ¡ pI 5 p −1 m p d2 1 vf = 3 s '1.2 s−1 1¡ !f = 2 !i = mp d 7 I 2d 1+ I p m 2d 120 m ' 30 3 vf = !i = m p d2 s s 7 1+

mp d ! f vf = I )

I

L’esercizio si sarebbe potuto risolvere anche in altri modi (ad esempio nel punto d si sarebbe potuto usare la conservazione dell’energia) ottenendo gli stessi risultati numerici nei limiti della precisione richiesta, perché i dati forniti erano ridondanti.

Fisica I Cognome:

A

Nome:

Torino, 19 luglio 2018

N. matr:

La risoluzione corretta del primo quesito costituisce una soglia necessaria per poter accedere alla correzione dei quesiti successivi del problema

Si considerino n = 5 moli di gas perfetto monoatomico che compie una trasformazione reversibile in cui il volume segue la legge V (T ) = a T 2, con a = 10−6 m3/K2. Nella trasformazione la temperatura del gas passa dal valore iniziale Ti = 600 K al valore finale T f = 400 K. Si calcoli: a) il valore delle variabili termodinamiche nello stato di equilibrio iniziale e in quello finale; [2] b) il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione; [3] c) il calore scambiato dal gas con l’ambiente nella trasformazione; [3] d) la variazione di entropia del gas tra lo stato iniziale e quello finale. [3] [Si usi la seguente approssimazione per la costante dei gas: R = 8J /K ] nRT V

Sol: lungo la trasformazione p =

nR = aT , dV = 2aT dT , da cui

2 a) Vi = 0.36m3, pi = 3 × 105 Pa; V f = 0.16m3; p f = 105 Pa . Rf b) W = i pdV = 2n R (T f ¡ Ti) = ¡16000 J c) Q = n (CV + 2R) (T f ¡ Ti) = ¡28000J T d) ∆S = n (CV + 2R) lnTif = 140ln(2/3) J /K

a) Ti ,

Vi = a Ti2,

Tf ,

V f = a T f2,

nR a Ti nR pf = a Tf

pi =

b)

Z

V = aT2 dV = a 2 T dT nR a 2 T dT = 2 n R dT p dV = Za T

fin

Tf

p dV = in

Ti

2 n R dT = 2 n R (Tf ¡ Ti) = ¡ 16000 J,

cV =

3 R 2

c) Q = ∆U + L = n cV (Tf ¡ Ti) + 2 n R (Tf ¡ Ti) = n (cV + 2 R) (T f ¡ Ti) = ¡ 28000 J d) ∆S =

Z

fin in

δQ = T

Z

fin in

T J n (cV + 2 R) dT = n (cV + 2 R) log f = 140 log 23 T Ti K...