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Escalas para graficar funciones...

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INFORME DE LABORATORIO N° 3 Escalas para graficar funciones David R. Avellaneda Bernal¹, Karen Julieth Gallo Naranjo² (202114940) ([email protected]), Andres Felipe Mesa Chaparro² (20214935) ([email protected]), Cristian S. Pérez Molano³ (201920711) ([email protected]),Luis Miguel Rodriguez Barreto (202022264) ([email protected]) 1.Profesor del Laboratorio de Física I, Facultad de Ciencias, Escuela de Física, U.P.T.C. – Tunja 2.Estudiantes de Laboratorio de Física I, Facultad de ingeniería, Escuela de civil , U.P.T.C. – Tunja 3.Estudiante de Laboratorio de Física I, Facultad de Ingeniería, Escuela de Transporte y Vías, U.P.T.C - Tunja 4.Estudiante de Laboratorio de Física I, Facultad de Ingeniería, Escuela de Sistemas y Computación, U.P.T.C Tunja

Resumen La práctica número 3 se basó en las funciones como la lineal y la exponencial, y un acercamiento a la forma gráfica de la función exponencial explicando formas diferentes de graficarlas para mejorar un análisis. Para realizar el laboratorio y elaborar su respectivo informe fue necesario revisar el material suplementario de laboratorio “Escalas para graficar funciones” en donde se nombra la definición de una función, se exponen los tipos que se pueden presentar; se explica como pueden ser graficadas en las hojas milimetradas, logarítmicas y semilogarítmicas, esta información proporcionada por la guía permite el correcto desarrollo de esta actividad, además fue de vital importancia tener a la mano 9 monedas de diferente tamaño y unas hojas milimetradas, logarítmicas y semilogaritmicas o en su defecto se pueden realizar a mano donde se tabularon los datos de medidas de las monedas. El desarrollo de la guía presenta tres partes principales, en la primera se presentan las características de cada una de las tres hojas, en la segunda se explica cómo realzar a mano una hoja logarítmica con ayuda de la calculadora a partir de la función y= log x asignando valores a x, y en la tercera parte se realiza una gráfica de una medición de 9 monedas diferentes en los tres tipos de hojas mencionadas siendo el radio (r) su variable independiente y perímetro (P) su variable dependiente. El resultado principal obtenido fue en las hojas, se evidencio que la milimetrada maneja la misma escala para los dos ejes (escala lineal común) lo cual hacía que la exponencial se viera como una curva que puede crecer o decrecer, en la logarítmica no se encontraba algún patrón en la escala de alguno de los ejes, sin embargo se destaca que convierte gráficas no lineales de la forma exponencial en lineales, de la semilogarítmica se observa que es una combinación de los anteriores, pues en el eje de las abscisas maneja una escala igual como el de la milimetrada, y en el eje de las ordenadas se tiene el mismo patrón indefinido de la logarítmica. La conclusión principal a la que llegamos es que el aprendizaje sobre la utilización de los tipos de hojas nombradas anteriormente en el bosquejo de la gráfica de una función facilita el análisis o la interpretación de dicha función cuando presenta una gran diferencia en el rango,esto es cuando la desigualdad de las medidas es muy elevada. frente al poco dominio del tema de la actividad, se presentaron errores mínimos de malinterpretación de la información dada en la guía como; una discusión acerca del análisis de la escala manejada en la hoja logarítmica pues en la guia falta ahondar un poco mas al respecto, pero al final con la

ayuda de un video de youtube se salió de esa incertidumbre, otro problema que tuvimos fue un error por parte de un integrante en la toma de medidas de las moneda pues por medio de una aplicación de celular para medir objetos se realizó la medición sin haber calibrado la escala del instrumento lo cual provocó que los datos fueran irreales, sin embargo no se presentó mayor dificultad en el desarrollo de esta práctica. Palabras claves: funciones, variables, escalas, gráficas. Abstract Practice number 3 was based on functions such as linear and exponential, and an approach to the graphical form of the exponential function explaining different ways of graphing them to improve an analysis. To carry out the laboratory and prepare its respective report, it was necessary to review the supplementary laboratory material "Scales to graph functions" where the definition of a function is named, the types that can be presented are exposed; It is explained how they can be graphed in millimeter, logarithmic and semi-logarithmic sheets, this information provided by the guide allows the correct development of this activity, it was also vitally important to have 9 coins of different sizes and some millimeter, logarithmic and semi logarithmic or, failing that, they can be done by hand where the data of the measurements of the coins were tabulated. The development of the guide presents three main parts, the first one presents the characteristics of each of the three sheets, the second explains how to highlight a logarithmic sheet by hand with the help of the calculator from the function y = log x assigning values to x, and in the third part a graph is made of a measurement of 9 different currencies in the three types of sheets mentioned, with the radius (r) being its independent variable and perimeter (P) its dependent variable. The main result obtained was in the leaves, it was evident that the millimeter handles the same scale for the two axes (common linear scale) which made the exponential look like a curve that can increase or decrease, in the logarithmic it was not found Some pattern on the scale of any of the axes, however it stands out that it converts non-linear graphs of the exponential form into linear ones, from the semi-logarithmic it is observed that it is a combination of the previous ones, since on the abscissa axis it handles a scale the same as that of the millimeter, and on the ordinate axis there is the same indefinite pattern of the logarithmic. The main conclusion we reached is that learning about the use of the types of leaves named above in the sketch of the graph of a function facilitates the analysis or interpretation of said function when it presents a large difference in the range, that is when the inequality of the measures is very high. Faced with little mastery of the topic of the activity, there were minimal errors of misinterpretation of the information given in the guide as; a discussion about the analysis of the scale handled in the logarithmic sheet because in the guide it is necessary to delve a little more about it, but in the end with the help of a youtube video we got out of that uncertainty, another problem we had was an error due to part of a member in taking measurements of the currency because by means of a cell phone application to measure objects the measurement was carried out without having calibrated the scale of the instrument which caused the data to be unreal, however there was no greater difficulty in the development of this practice.

Keywords: functions, variables, scales, graphs.

Introducción Cuando realizamos el bosquejo de la gráfica de una función, y queremos analizar el comportamiento de sus variables a lo largo del recorrido, se observa que en algunos puntos la función es tan pequeña o tan grande que no puede ser vista, por lo tanto esto afectaría en posibles observaciones de la curva en la gráfica. La presentación de datos en una escala que convenga puede ser útil cuando los datos cubren una amplia gama de valores, por ejemplo la escala logarítmica los reduce a un rango más manejable. La compresión de una gráfica; es de vital importancia ya que nos permite evaluar el comportamiento de resultados obtenidos por una serie de mediciones que pueden ser trazables para aumentar su comprensión; la mayoría de gráficas connotan en una serie de resultados que se convierten en ambigüedades cuando se desconoce la creación o el manejo de una gráfica, con el fin de buscar una alternativa para el conocimiento y aplicación de gráficas es importante definir y hacer un buen manejo de la escala que se va a emplear, para esto se usan hojas milimetradas,semilogarítmicas y logarítmicas cuya aplicación incita a la creación y manejo de escalas para aumentar la comprensión de gráficas definiendo valores. Objetivos Interpretar adecuadamente la representación gráfica de un conjunto de datos estableciendo las relaciones funcionales entre dos magnitudes físicas. - Continuar con el progreso en la calidad del contenido del informe. - Hacer gráficas en papel milimetrado. - Linealizar una gráfica utilizando papel logarítmico y semilogarítmico. - Realizar un análisis en cuanto a los beneficios que otorga en la observación de una gráfica exponencial en las hojas puestas para la actividad. Marco teórico Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los elementos de un segundo conjunto. [1] Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta. Una función se puede representar de dos formas, la primera es en una ecuación f(x) y la segunda en una gráfica donde relaciona dos variables una dependiente de la otra en un plano cartesiano, en cuanto a los tipos son varios sin embargo solo se analizaran dos. Función lineal: Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma: f(x)= m.x + n (1) siendo m ≠0. m es la pendiente de la función, n es la ordenada (en el origen) de la función. La gráfica de una función lineal es siempre recta

.

[2]

Imagen 1. ejemplo de gráfica de una función lineal

Función exponencial: En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes. 𝑥

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f(x)= y= 𝑎 (2), siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

[3] Imagen 2. forma general de la función exponencial.

Tipos de escalas para graficar Existen dos tipos de escalas para graficar datos experimentales, la escala con divisiones iguales y la escala logarítmica. Estas escalas se presentan combinadas por pares en tres tipos de papel, como se describe a continuación. [4] a. Papel milimetrado: En este caso, se tienen escalas iguales en el eje vertical y el eje horizontal, donde una división generalmente corresponde a un milímetro, de ahí su nombre. Cuando no se obtiene una línea recta al graficar los datos de un experimento, es necesario graficar en otro tipo de escala. [4]

Imagen 3. hoja milimetrada.

b. Papel semilogarítmico ó semilog: En este tipo de papel se tiene un eje con divisiones iguales como en papel milimetrado, mientras que el otro eje tiene una escala logarítmica, por ello se le da el nombre de semilogarítmico o semi log como se le denomina comúnmente. Esta escala aparece por ciclos, de tal manera que si se inicia en 1, el primer ciclo termina en 10, dando lugar a que el segundo ciclo se inicie en 10 y termine en 100. Si el primer ciclo se inicia en 10, terminará en 100 y el segundo terminará en 1000. Observe que las divisiones en un ciclo no son iguales. La decisión de si el ciclo se inicia en 0.1, 1, 10, etc. depende de los datos experimentales que se quieren graficar. Debe quedar claro que en este tipo de papel la escala ya está dada y no es posible cambiarla como en papel milimetrado donde, dependiendo de los datos, es posible elegir determinado número de divisiones, como la unidad de la cantidad que se desea graficar. Por otro lado, no hay que hallar el logaritmo de los datos, sino que cuando se grafica directamente un valor la escala lo convierte en su logaritmo. Es decir, si en papel milimetrado se grafica el punto (a, b), al llevarlos al papel semilog queda graficado el punto (a, log b) si se toma el eje horizontal para escalas iguales y el eje vertical para la escala logarítmica. Esta combinación de escalas se emplea para funciones de la forma y = b10mx, donde x et y son las cantidades a graficar. [4]

Imagen 4. hoja logarítmica.

c. Papel logarítmico o Log Log: En este caso, las escalas horizontal y vertical son logarítmicas y se procede en la misma forma que en el eje logarítmico del papel semilog. Esta combinación de escalas se utiliza para funciones de la forma (2) , donde x y y son las cantidades a graficar. [4]

Imagen 5. hoja semilogaritmica.

¿Qué se busca con los cambios de escala? La respuesta es simple, solo se busca obtener una gráfica que sea más fácil de analizar, como lo es cuando se obtiene una línea recta, donde su ecuación es de la forma de (1). [5] Procedimiento experimental Para el correcto desarrollo del laboratorio, cuyo fin es dar a entender las distintas formas de graficar una funcion para que con esto se pueda mejorar el análisis, se necesitan elementos de trabajo los cuales son mostrados en la imagen 3, imagen 4, y la imagen 5, también los siguientes instrumentos escuadra, curvıgrafo, calculadora, esferos de colores. Con la ayuda de estos objetos se podrá realizar diferentes representaciones gráficas de una función, dependiendo de qué hoja se use. Metodología Parte 1: Características y manejo de diferentes rayados En esta parte se exponen todos los caracteres (propiedades, manejo de escalas x y y; posibilidad de rotación de hoja y conjunto(s) numérico que puede contener) de cada una de las hojas en donde se graficara.

Resultados Parte 1: Caracterısticas y manejo de diferentes rayados Papel milimetrado Propiedades: El papel milimetrado es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según una distancia determinada (normalmente 1 mm en la escala regular). La cuadrícula primaria: formada por cuadrados de 1 mm de lado La cuadrícula secundaria: agrupa cinco cuadrados. Es decir, tiene 5 mm de lado La cuadrícula terciaria: de 10 mm de lado Escalas en x y y: En este caso, se tienen escalas iguales en el eje vertical y el eje horizontal, donde una división generalmente corresponde a un milímetro, de ahí su nombre. Por ejemplo, en una escala 1:10 cada milímetro del plano equivale a 1 cm. Por tanto, si quieres dibujar un objeto que mide 1m de lado solo tendrás que contar 10cm (100 cuadritos pequeños)

Imagen 6. cuadrantes hoja milimetrada

Posibilidad de rotación: puede rotar a cualquier dirección sin perder su escala.

Conjuntos numéricos que puede contener el papel milimetrado: reales Papel logarítmico Propiedades: el papel logarítmico es un papel donde ambos ejes de coordenadas son logarítmicos, este papel respeta las potencias de 10 y está dividida en segmentos de los logaritmos de 1 a 10.

Imagen 7. imagen de la explicación de la secuencia en la hoja logarítmica

Manejo de escalas en x y y: en este caso se tomarían el menor punto tanto en x como en y de referencia para agregar o quitar ceros ya sea el caso. Escala comparativa entre milimétrica y logarítmica

Imagen 8. vista del cambio de escala

Conjuntos numéricos que puede contener el papel milimetrado: reales positivos

Papel semilogarítmico Propiedades del papel semilogarítmico: es un papel donde en el eje y tiene una escala logarítmica y usa las potencias de 10 y en el eje x una milimétrica. Este tipo de representación permite también evaluar las tasas de crecimiento de una variable que evoluciona con el tiempo. Cualquiera que sea el nivel de la variable, si la tasa de crecimiento no cambia, se representará con segmentos de igual pendiente. Se pueden también comparar las tasas de crecimiento haciendo abstracción de los efectos de escala.

Imagen 9. se evidencia que la escala en los ejes es diferente

Manejo de escalas en x y y: en este caso el eje x manejara la misma escala que el milimetrado, mientras el eje y trabajara con la escala logarítmica Conjuntos numéricos que puede contener el papel milimetrado: reales

Parte 2. Construcción del papel logarítmico. a. Complete la siguiente tabla de datos. x (cm)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y = log x

NE

0

0.3

0.47

0.6

0.69

0.77

0.84

0.9

0.95

1

tabla 1. datos para graficar en la hoja milimetrada.

Estos datos se verifican en la gráfica lineal de la figura 5 para evidenciar que la escala es correcta para que la gráfica de la función sea inscrita en una hoja milimetrada.

Imagen 10. gráfica lineal para verificar escalas.

b. Este punto es opcional si no se cuenta con una hoja logarítmica, por lo cual se elabora a mano un rótulo logarítmico. c. En una hoja de papel logarıtmico, ubique los datos de la tabla 2, usando diferentes colores para cada par ordenado, así como diferentes escalas en el papel. x (u.a)

0.1

3

525

2400

8200

95000

y (u.a)

540

2500

450

820

0.00630

20

Tabla 2. puntos a graficar en la hoja logarítmica.

la imagen de la gráfica en la hoja logarítmica está en anexos.

Parte 3: Identificación de comportamientos lineales y potenciales. Para resumir los pasos 1,2 y 3 se obtiene la medición del diámetro y perímetro de 9 monedas diferentes, cabe aclarar que para la medición se escogieron monedas nuevas y viejas del peso colombiano y se realizó con una cinta métrica. Denominación (peso colombiano)

Diámetro (mm) 𝑑 ± ∆𝑑

Perímetro (mm) 𝑃 ± ∆𝑃

50

17±0.1

53.1±0.1

50

21±0.1

66±0.1

100

20±0.1

62.9±0.1

100

22±0.1

69.2±0.1

200

22±0.1

69.1±0.1

200

24±0.1

75.4±0.1

500

23±0.1

72.3±0.1

500

23±0.1

72.3±0.1

1000

26±0.1

81.7±0.1

Tabla 3. resultado de la medición de 9 monedas diferentes.

4. Ya sea con los datos del laboratorio 1 o para los datos de la tabla 3, calcule el radio y área de cada circunferencia y registrarlo en la tabla 4. Denominación (peso colombiano)

Radio (mm) 𝑟 ± ∆𝑟

Área (𝑚𝑚 ) 𝐴 ± ∆𝐴

50

8.5±0.1

225.67±0.1

100

10±0.1

314.5± 0.1

50

10.5± 0.1

346.5± 0.1

100

11±0.1

380.6±0.1

200

11±0.1

380.6±0.1

2

500

11.5±0.1

415.72±0.1

500

11.5±0.1

415.72±0.1

200

12±0.1

452.4±0.1

1000

13±0.1

531±0.1

Tabla 4. registro del cálculo de áreas y perímetros de las monedas

5. Teniendo en cuenta las normas para graficar ubique en papel milimetrado los pares ordenados (r, P) y (r, A) consignados en las tablas 3 y 4.

imagen 11. gráfica A vs r

Imagen 12. Gráfica P vs r

b. Use el papel logarıtmico para graficar la relación P en función de r y A en función de r.

Imagen 13. Gráfica P en función de r

Imagen 13. Gráfica A en función de r

c. Finalmente, use el papel semilogarıtmico para observar la representación gráfica de los pares ordenados (r, P) y (r, A)