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Matematica 30062 EserciziBarbara GattiFabrizio IozziVersione: 6 settembre 2020ii Indice Multiple choice Vero-Falso Domande aperte Capitolo 7. Algebra lineare Multiple choice Vero-Falso Domande aperte Capitolo 8. Risposte Parte 2. Soluzioni Parte 1EserciziCapitolo 1Strutture Multiple choice Esercizio...

Description

Matematica 30062 Esercizi

Barbara Gatti Fabrizio Iozzi Versione: 6 settembre 2020

Indice

Parte 1. Esercizi Capitolo 1. Strutture

3

1.1. Multiple choice

3

1.2. Vero-Falso

7

1.3. Domande aperte

8

Capitolo 2. Funzioni 2.1. Multiple choice

9 9

2.2. Vero-Falso

12

2.3. Domande aperte

13

Capitolo 3. Successioni

15

3.1. Multiple choice

15

3.2. Vero-Falso

17

3.3. Domande aperte

18

Capitolo 4. Serie numeriche

21

4.1. Multiple choice

21

4.2. Vero-Falso

22

4.3. Domande aperte

23

Capitolo 5. Limiti e continuit` a

25

5.1. Multiple choice

25

5.2. Vero-Falso

28

5.3. Domande aperte

29

Capitolo 6. Calcolo differenziale

33 i

ii

Indice

6.1. Multiple choice

33

6.2. Vero-Falso

37

6.3. Domande aperte

39

Capitolo 7. Algebra lineare

43

7.1. Multiple choice

43

7.2. Vero-Falso 7.3. Domande aperte

47 49

Parte 2. Soluzioni Capitolo 8. Risposte

55

Parte 1

Esercizi

Capitolo 1

Strutture

1.1. Multiple choice Esercizio 1.1. Si considerino x, y ∈ Rn . Allora: a) |x · y| ≥ kxk · kyk b) |x · y| ≤ kxk · kyk

c) |x · y| = kxk · kyk d) nessuna delle precedenti

   3 −1 Esercizio 1.2. Siano dati i vettori x =  −3  e y =  2 . Allora: 2 −1 

a) 2x + 3y ≤ 0

b) 2x + 3y ≥ 0

c) 2x + 3y ≫ 0 d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.3. Si consideri A = {x ∈ R2 : 1 < kxk ≤ 2}. Allora: a) (2,0) `e un punto interno di A b) (1,1) `e un punto interno di A c) A `e un compatto d) A `e convesso Esercizio 1.4. Se A ⊆ R `e aperto e B ⊆ R `e un compatto, allora A ∩ B `e: a) un compatto b) aperto c) limitato d) chiuso 3

4

1. Strutture

Esercizio 1.5. Sia A ⊆ R un insieme aperto e non vuoto. Allora A non pu` o essere: a) l’unione di due insiemi aperti

b) l’intersezione di due insiemi compatti c) l’unione di due insiemi limitati d) l’intersezione di due insiemi aperti Esercizio 1.6. A, B ⊆ R sono chiusi e non vuoti. Allora necessariamente: a) A ∩ B 6= ∅

b) A ∩ B `e aperto c) A ∩ B `e chiuso

d) A ∪ B `e aperto

Esercizio 1.7. A, B ⊆ R2 sono insiemi convessi tali che A ∩ B 6= ∅. Allora necessariamente: a) A ∩ B `e convesso

b) A ∪ B non `e convesso c) A ∩ B non `e convesso

d) A ∪ B `e convesso



 1 1 Esercizio 1.8. Si considerino gli intervalli An = − , , n = 1, 2, . . . . Se n 2n allora:

B = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...,

a) B = ∅   1 b) B = −1, 2 c) B = {0} d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.9. A ⊆ R `e un insieme limitato non vuoto. Allora sicuramente: a) A `e convesso

b) A ha un massimo c) ∃ b ∈ R tale che b < x, ∀ x ∈ A d) nessuna delle precedenti    0 −1 Esercizio 1.10. Si considerino i vettori x =  2  e y =  2 . Si ha: −1 0 

a) x ≤ y

b) x ≪ y c) x < y d) x and y non sono confrontabili

1.1. Multiple choice

5

Esercizio 1.11. Quale dei seguenti insiemi `e un intorno del punto x0 ∈ Rn di raggio r > 0? a) {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ r} b) {x ∈ Rn : kx − x0 k < r} c) {x ∈ Rn : kx − x0 k = r}

d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.12. Quale dei seguenti insiemi `e convesso in R2 ? a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1}

b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1}

c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} d) nessuna delle precedenti

Esercizio 1.13. Quale dei seguenti insiemi `e un intorno di +∞? a) {x ∈ R : |x| < 1}

b) {x ∈ R : x > −1}

c) {x ∈ R : |x| > 1}

d) {x ∈ R : x < −1}

Esercizio 1.14. L’insieme [−1, 1) `e: a) chiuso e convesso b) chiuso e limitato c) aperto e convesso d) nessuna delle precedenti ∁  Esercizio 1.15. Siano A e B due sottoinsiemi di R. Allora A ∩ B ∁ = a) A∁ ∩ B

b) A∁ ∪ B

c) A ∪ B d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.16. Sia A = {x ∈ R : |x + 1| ≤ 2}. Allora A: a) `e un intervallo chiuso e limitato

b) `e un intervallo chiuso e illimitato c) `e un intervallo aperto e limitato d) non `e un intervallo Esercizio 1.17. Sia A = {x ∈ R : x > 0, ln x < ln 12 }, allora A `e: a) un intorno di −∞

b) un intorno di +∞ c) l’insieme vuoto

6

1. Strutture

d) un intervallo limitato Esercizio 1.18. In R3 la distanza tra il punto (−3, 4, 2) e l’origine `e: √ a) 29 b) 9 c) 29 d) 3   Esercizio 1.19. Considera A = (x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 | ≤ 4, |x2 | ≤ 3 . Allora A `e rappresentato da: a) un rettangolo chiuso

b) un sottoinsieme illimitato del piano c) un rettangolo aperto d) un cerchio Esercizio 1.20. Quale dei seguenti insiemi non `e un compatto? a) {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : 3 ≤ kxk ≤ 5}

b) {x ∈ R : |x| ≤ 1} c) {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : |x1 | ≤ 1}

d) {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 5}

Esercizio 1.21. Considera l’insieme A = [0, 10) ∪ {12} allora:

a) I punti interni di A sono (0, 10) ∪ {12} e i punti di frontiera di A sono {0, 10}

b) I punti interni di A sono [0, 10] e i punti di frontiera di A sono {0, 12}

c) I punti interni di A sono (0, 10) e i punti di frontiera di A sono {0, 10, 12} d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.22. Considera A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ |x|} e B = {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [0, 4]} allora A ∩ B `e: a) chiuso e illimitato b) chiuso e limitato c) chiuso e non convesso d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.23. Sia A ⊆ Rn convesso e a, b ∈ A. Quale dei seguenti vettori non appartiene necessariamente ad A? a) a + b b) 12 a + 21 b c) 25 a + 53 b d) nessuna delle precedenti Esercizio 1.24. Quale dei seguenti insiemi non `e un aperto di R2 ? a) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0}

1.2. Vero-Falso

7

b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6= 0} c) {(x, y) ∈ R2 : xy < 1}

d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}

1.2. Vero-Falso Esercizio 1.25. Si considerino gli insiemi A = {(x, y) ∈ R2 : y = 0, 1 < x < 2} e B = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1, 1 < x < 2}. Allora: a) A e B sono aperti in R2

b) A e B sono convessi in R2 c) A ∪ B `e chiuso in R2 d) Il punto x0 = (2, 0) `e di accumulazione per A e per B Esercizio 1.26. Dati A ⊆ Rn e x0 ∈ Rn , allora: a) se x0 ∈ A ed `e un punto di frontiera, allora x0 `e un punto isolato

b) se x0 6∈ A ed `e un punto di frontiera, allora x0 [ un punto di accumulazione] c) Se A [ chiuso e convesso, allora A e` compatto d) Se A non `e aperto n´e chiuso, allora A non `e convesso Esercizio 1.27. Si considerino gli insiemi A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 x2 < 0}, Bn = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x12 + x22 ≤ n1 }, con n ∈ N, n > 0. Allora, a) A `e aperto b) Bn `e chiuso per ogni n c) A ∩ Bn `e convesso per ogni n T d) Bn = ∅ n

Esercizio 1.28. I seguenti insiemi sono limitati: a) A = [1, 2) ∪ [100, 120] b) B = {2 + 31n , n ∈ N}

c) C = {x ∈ R : 1 ≤ ex ≤ 2}

d) D = {x ∈ R : ln(x + 5) ≤ 0}

Esercizio 1.29. Si consideri l’insieme A = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 2}. Allora: a) A∁ = {(x, y) ∈ R2 : x + y > 2}

b) L’insieme dei punti di frontiera di A `e {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2} c) L’insieme dei punti di frontiera di A `e {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2} d) L’insieme dei punti interni di A `e uguale ad A

e) A `e chiuso Esercizio 1.30. Sia A ⊆ R2 e sia x0 un punto di accumulazione di A. Allora possiamo affermare con certezza che a) x0 `e punto interno di A

8

1. Strutture

b) x0 `e punto di frontiera di A c) x0 `e punto isolato di A d) x0 ∈ A

Esercizio 1.31. Siano A = (2, 10) e B = (0, +∞) sottoinsiemi di R. Allora: a) A ∩ B `e un intervallo aperto e limitato

b) A ∪ B ∁ `e un intervallo chiuso e illimitato c) A ∪ B `e un intervallo aperto e illimitato

d) A∁ ∩ B `e un intervallo chiuso e illimitato     1 0 Esercizio 1.32. Siano x =  1  e y =  −1  vettori di R3 . Allora: 0 −1   2 a) 2x − y =  3  1 b) x ≫ y

c) kxk = kyk =

√ 2

d) x ≥ y

e) x · y = −1

1.3. Domande aperte Esercizio 1.33. Si considerino A, B ⊆ Rn . Dimostrare che A ∩ B = ∅ se e solo se A ⊆ B ∁.   2 ∈ R2 . Determinare e disegnare gli insiemi costituiti Esercizio 1.34. Sia x = 2 dai vettori a) y ∈ R2 : kx − yk < 2

b) w ∈ R2 : kx + wk ≥ 2 c) z ∈ R2 : kx + wk = 2

Esercizio 1.35. Siano A e B due insiemi aperti non vuoti e sia C = A ∩ B . Dimostrare che C e` un insieme aperto. Esercizio 1.36. Nel piano R2 si definisca una funzione ρ dei punti P 1 = (x1 , y1 ) e P 2 = (x2 , y2 ) come ρ(P 1 , P 2 ) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 | a) Calcolare ρ[(1, 2), (3, 6)].

b) Mostrare che ρ soddisfa le 3 propriet`a della distanza euclidea: (a) ρ(P 1 , P 2 ) ≥ 0 e ρ(P 1 , P 2 ) = 0 ⇔ P 1 = P 2 (b) ρ(P 1 , P 2 ) = ρ(P 2 , P 1 ) (c) ρ(P 1 , P 2 ) ≤ ρ(P 1 , P 3 ) + ρ(P 3 , P 2 )

Esercizio 1.37. Dimostrare che A ⊆ Rn e` chiuso se e solo se A∁ `e aperto.

Capitolo 2

Funzioni

2.1. Multiple choice ( −|x + 1| x < 0 Esercizio 2.1. Sia f : R → R definita da f (x) = |x − 1| x≥0 Allora f ha esattamente: a) un punto di massimo globale b) due punti di massimo globale c) nessun punto di massimo globale d) tre punti di massimo globale Esercizio 2.2. Sia data una funzione f : R → R. Siamo certi che f abbia un massimo nel caso in cui f sia: a) strettamente concava b) strettamente decrescente c) limitata d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.3. Sia f : A ⊆ R2 → R definita da f (x, y) = immagine di f `e:

p

4 − x2 − y 2 . L’insieme

a) un cerchio di raggio uguale a 4 b) un cerchio di raggio uguale a 2 c) B = [0, 4] d) B = [0, 2] Esercizio 2.4. La funzione f : R → R `e monotona crescente e tale che f (x) > 2 per ogni x ∈ R. Allora f `e sicuramente: a) suriettiva 9

10

2. Funzioni

b) iniettiva c) limitata d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.5. La funzione f : R → R `e strettamente concava in R. Se x < y , allora il segmento che congiunge i punti (x, f (x)) e (y, f (y)) a) si trova al di sotto del grafico della funzione b) si trova in parte al di sopra ed in parte al di sotto del grafico della funzione c) si trova al di sopra del grafico della funzione d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.6. Se f : R → R `e definita da f (x) = 2x + 3 e g : R → R ha un massimo in x = 1, allora: a) f (g(x)) ha un minimo in x = 1 b) f (g(x)) ha un massimo in x = 1 c) f (g(1)) = 5 d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.7. Sia A il dominio naturale di f (x) = di g(x) =

√ √ x+3 . x−3

Allora:

q

x+3 , x−3

sia B il dominio naturale

a) A ⊂ B b) A = B c) B ⊂ A d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.8. Sia f (x) = e4x. Allora f −1 (x) = a)

1 e4x

b) ln 4x c) 14 ln x d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.9. Per una f : R → R vale f (x) < 3 per ogni x ∈ R. Allora f : a) non `e suriettiva b) `e limitata c) `e invertibile d) `e iniettiva Esercizio 2.10. Siano date le funzioni f (x) = 3x2 , g(x) = e2x. Allora g(f (x)) = a) e2x3x2 2

b) e6x c) 3e4x d) nessuna delle precedenti

11

2.1. Multiple choice

( −x2 Esercizio 2.11. Per la funzione f (x) = −1

x 6= 0 il punto x = 0 `e: x=0

a) di massimo locale ma non globale b) di minimo locale ma non globale c) di massimo globale d) di minimo globale Esercizio 2.12. Le curve di livello della funzione f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) sono: a) rette b) parabole c) esponenziali d) circonferenze Esercizio 2.13. Sia f : R → R definita da f (x) =

√ 3 2x − 1. Allora f −1 (−1) =

a) 0

b) −1 c) 1 d) non esiste ( x+1 x>0 Esercizio 2.14. Sia f : R → R definita da f (x) = . In x0 = 0 la e−x x≤0 funzione f ha un punto di a) massimo con valore 0 b) minimo con valore 1 c) minimo con valore 0 d) nessuna delle precedenti Esercizio 2.15. Il dominio naturale di f (x, y) = a) chiuso e limitato

p

xy 3 `e:

b) aperto e limitato c) chiuso e illimitato d) aperto e illimitato Esercizio 2.16. Sia f : R2 → R definita da f (x, y) = x2 − ey . La curva di livello 3 di f `e: a) y = x2 − 3

b) y = ln(x2 − 3)

c) y = ln x2 − 3 d) nessuna delle precedenti

Esercizio 2.17. Sia f (x, y) = x2 + y 2 ; quale affermazione `e falsa? a) f `e illimitata

12

2. Funzioni

b) f `e convessa c) f ha un minimo d) f `e strettamente positiva Esercizio 2.18. Data f (x, y) = x2 − y 2 , gli zeri di f sono tutti quei punti tali che a) y = x

b) y = x oppure y = −x

c) y = −x d) x = 0 e y = 0

2.2. Vero-Falso Esercizio 2.19. Sia f (x) = x2 − 1 e sia g(x) : R → R strettamente crescente. `E quindi certo che: a) max g(f (x)) si trova in x = 0 b) g(f (x)) `e strettamente crescente c) g(f (x)) `e suriettiva d) g(f (x)) non `e iniettiva Esercizio 2.20. Sia f : A ⊆ R2 → R definita da f (x, y) = ln(xy − 1). Allora: a) il dominio naturale di f `e un insieme illimitato A ⊆ R2

b) f (x, y) `e iniettiva

c) f (x, y) `e suriettiva d) la curva di livello 1 di f `e una linea retta Esercizio 2.21. Sia f : R → R, definita da f (x) = x2 + 2x + 3. Allora: a) La funzione f `e suriettiva b) La funzione f `e iniettiva c) L’immagine di f `e un insieme limitato inferiormente d) La funzione f ha massimo globale e) La funzione f ha minimo globale f ) La funzione f `e concava Esercizio 2.22. Sia f (x) = 3x − 2 e sia g : R → R. Allora:

a) Se g ha un minimo in x = 1, allora f (g(x)) ha un minimo in x = 1

b) Se g `e illimitata allora f (g (x)) `e illimitata c) Se g `e limitata allora f (g(x)) `e limitata d) Se g `e iniettiva allora f (g (x)) `e iniettiva Esercizio 2.23. Sia f (x) = |x − 2|, g : R → R monotona strettamente crescente e h(x) = g(f (x)). Allora: a) h(x) `e strettamente decrescente per x < 2 b) g(f (x)) ha un massimo in x = 2

13

2.3. Domande aperte

c) h(3) = h(1) d) h(0) = 0 Esercizio 2.24. Siano f, g : R → R definite da f (x) = 1 − x e g(x) = x5 . Allora: a) f (g (x)) = 1 − x5 b) f (f (x)) = x

c) f (g (x)) = g(f (x)) d) f `e strettamente decrescente e) g `e illimitata f ) f `e limitata g ) g `e invertibile Esercizio 2.25. Sia f : R → R definita da f (x) =

( x+1 x≤0 . Allora: |x − 1| x > 0

a) f (x) > 0 su (−1, +∞) b) f `e limitata e suriettiva c) f (x) = 12 ha 3 soluzioni d) f ha punto di massimo globale in x = 1 Esercizio 2.26. Data la funzione f (x, y) = |xy|, allora: a) f (x, y) ha un minimo

b) f (x, y) ha un unico punto di minimo c) f (x, y) = |x| · |y|

d) f (x, y) ≥ 0 for every (x, y) e) f (x, y) `e illimitata Esercizio 2.27. Data la funzione f (x, y) = 1 − x2 y 2 , allora: a) f (R2 ) = [1, +∞)

b) f `e limitata inferiormente c) f (x, y) ≤ 1 per ogni (x, y ) ∈ R2 d) f possiede infiniti punti di massimo globale Esercizio 2.28. Sia f : R3 → R definita da f (x) = k3xk, allora: a) f (R3 ) = (0, +∞)

b) f `e iniettiva c) f `e convessa d) x = 0 `e un punto di minimo globale

2.3. Domande aperte Esercizio 2.29. Siano date due funzioni f : A ⊆ R → R e g : B ⊆ R → R. Sia h(x) = g(f (x)). Si dimostrino le seguenti affermazioni, se sono vere; altrimenti, si fornisca un controesempio:

14

2. Funzioni

i. se h `e iniettiva, allora sia f sia g sono iniettive; ii. se h `e iniettiva, allora f `e iniettiva; iii. se h `e suriettiva, allora sia f sia g sono suriettive; iv. se h `e suriettiva, allora g `e suriettiva. Esercizio 2.30. Sia f : A → B una funzione iniettiva.

(a) Si consideri la funzione f : R → R definita da f (x) = x sin x. Trovare l’immagine di f . Discutere il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = b, nel caso in cui b varia in R. √ (b) Si consideri f : R → R definita da f (x) = 2x − 1 + x2 . La funzione f `e invertible in R? Nel caso lo sia, la funzione inversa f −1 `e definita in R?

Esercizio 2.31. Si consideri f (x) : A ⊆ R → R. Dimostrare che se f `e strettamente crescente in A, allora f −1 esiste ed `e strettamente crescente in f (A). Esercizio 2.32. Si considerino le funzioni f, g : R → R definite da f (x) = x2 ( x x>0 g(x) = 1−x x≤0

(1) Si dica se f e g sono convesse o concave nel loro dominio. (2) Si consideri la funzione h(x) = f (g (x)). Si scriva la sua definizione esplicita e se ne tracci il grafico. Si dica se h ha massimi o minimi, globali o locali. (3) Si consideri la funzione k(x) = g(f (x)). Si scriva la sua definizione esplicita e se ne tracci il grafico. Si dica se h ha massimi o minimi, locali o globali. Esercizio 2.33. Dimostrare che se le funzioni f, g : R → R sono entrambe monotone allora la funzione f (x) · g(x) `e monotona, oppure fornire un controesempio. Esercizio 2.34. Siano f : A ⊆ R → R, g : B ⊆ R → R e f (A) ⊆ B. Si dimostri che se f e g sono iniettive allora g(f (x)) `e iniettiva. Si dimostri che l’affermazione seguente `e falsa: se g(f (x)) `e iniettiva allora le funzioni f e g sono iniettive nei loro domini. Esercizio 2.35. Dimostrare che se A ⊆ Rn ammette un punto isolato x0 e A non `e costituito dal solo x0 , allora A non `e un insieme convesso. Esercizio 2.36. Determinare se la funzione f : R2 → R definita da f (x, y) = x4 y 2 ha dei punti di massimo o minimo globale e quanti. Esercizio 2.37. Sia f : R → R definita da  x  x ≤ −1 e f (x) = 1 −1 < x ≤ 1   2 x−x x>1

Determinare f (R) e, se ce ne sono, i massimi e i minimi locali e globali di F . Fare lo stesso per g = |f |.

Capitolo 3

Successioni

3.1. Multiple choice Esercizio 3.1. La successione an `e strettamente decrescente. Pertanto `e anche: a) convergente b) limitata superiormente c) divergente d) illimitata Esercizio 3.2. La successione an `e monotona. Allora: a) ha almeno un massimo oppure un minimo b) `e limitata c) `e positiva d) nessuna delle precedenti Esercizio 3.3. La successione an `e limitata. Pertanto, an deve necessariamente: a) avere almeno un massimo oppure un minimo b) essere convergente c) essere positiva d) nessuna delle precedenti Esercizio 3.4. La successione an `e monotona e limitata inferiormente. Allora deve sicuramente: a) avere un minimo b) essere crescente c) essere convergente d) nessuna delle precedenti 15

16

3. Successioni

Esercizio 3.5. La successione an = a) a0 =

5 2

e an =

b) a0 = 5 e an = c) a0 = 1 e an =

5 2n

pu` o essere anche definita come

5a 2 n−1

 1 n 2

an−1

5 a 2 n−1

d) a0 = 5 e an = 12 an−1 (

Esercizio 3.6. an =

1 n

3

n pari n dispari

a) `e convergente b) `e divergente c) `e limitata d) `e decrescente Esercizio 3.7. Se a0 = 4 e an+1 = 31 an , ∀n, allora

lim an =

n→+∞

a) 4 b) 0 c) 13 d) nessuna delle precedenti Esercizio 3.8. La successione an = 2 · a) q ≥ 2 b) q > 2

 q n 2

, con q ∈ R, diverge a +∞ se e solo se

c) q ≥ 1

d) q > 2 o q < −2 Esercizio 3.9. a) 2e √ b) e c) e2 d) 2e

lim

n→+∞

 n 1 + n2 =

Esercizio 3.10. Siano date le successioni an = a) an ∼ bn b) an = o (bn ) c) bn = o (an ) d) an e bn non sono confrontabili