esercizi svolti Capitolo 11 del libro di LOI PDF

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esercizi svolti Capitolo 11 del libro di LOI- spazi quoziente...

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Esercizio 11.1 Sia X = R f0g [ R f1g R2: Deniamo una relazione di equivalenza su X dichiarando (x, 0) (x, 1) se x 6= 0. Dimostrare che lo spazio quoziente e localmente Euclideo, soddisfa il secondo assioma di numerabilita ma non e di Hausdor (cfr. Osservazione 7.2 del Capitolo 7). Sia  la relazione di equivalenza su ℝ così definita: Dimostrare che ℝ/ è omeomorfo alla semiretta chiusa [ 0,∞ ) .

 ⇔∣ ∣=∣ ∣ .

consideriamo la seguente applicazione: :ℝ  [ 0,∞ ) tale che  =∣ ∣ . è chiaramente suriettiva, • • la controimmagine di un aperto di base di [0,∞) con la topologia indotta è un aperto in è continua, ℝ , dunque  un aperto di base di ℝ : se 0 allora  =  , se 0 si • sia   = [0,max{ ∣ ∣ }) che è aperto in [0,∞ ) , se 0 si ha ha  =− −  : dunque è aperta. Allora è un'identificazione, d'altra parte si verifica immediatamente che  =  ⇔  , da cui che le due applicazioni passano al quoziente l'una rispetto all'altra. Ne consegue che [0,∞ )≃ℝ/ . Siano 1,  2 e  le seguenti relazioni d'equivalenza su ℝ2 :  1, 1  1 2, 2⇔ 1= 2 ∣ 1∣=∣ 2∣ ;  1, 1  2 2, 2⇔ 1= 2 ∣ 1∣=∣ 2∣ ;  1, 1   2, 2 ⇔∣ 1∣=∣ 2∣ ∣ 1∣=∣ 2∣ . 2 2 Dimostrare che ℝ /1 e ℝ / 2 sono entrambi omeomorfi al semipiano chiuso ={  ∈ℝ 2| ≥ 0} e ℝ2 / è omeomorfo al quadrante chiuso { ∈ℝ2 | ≥0, ≥0 } . 2

 = ∣ ∣ . La funzione è consideriamo la seguente funzione 2 :ℝ  2 1 1, 1 chiaramente suriettiva; inoltre essa è continua perchè le sue componenti sono continue; 2 2 verifichiamo che è aperta: sia , si ha  |  − 0   − 0   } ; ora, se 0 ∈  0={    0 =  0 ∩ (infatti  0 ⇒  0, 1≥  0,  1 ⇒   0 ⊂  0 ∩ , e l'altra inclusione è 0∈ 1∈ ovvia); invece, 0 ∉ ⇒   0 =   0 ∩ come si verifica facilmente. Ne consegue che è aperta e quindi è una identificazione. D'altronde,  1 =  2 ⇔ 1 2 2 , dunque 2 2 ≃ℝ /1 , ∈ℝ2| ≥0} e che ≃ / 2 . È immediato dimostrare come ≃ ={  2 utilizzando lo stesso identico procedimento utilizzato in precedenza. Dunque ≃ℝ /1 .

se

=

Sia ~ la relazione d'equivalenza definita nell'Esempio 11.5, cioè ~ se e solo oppure e sono razionali. Dimostrare che lo spazio quoziente ℝ/ ~ non è T1.

ci basta trovare un punto di ℝ/ ~ che non sia chiuso. Ricordiamo che, se :ℝ ℝ / ~ è la proiezione naturale, allora essa è un'identificazione e quindi è chiuso in −1 −1 ℝ/ ~ se e solo se    è chiuso in ℝ : ma  ℚ=ℚ , il quale non è chiuso in ℝ perchè non contiene la sua frontiera.

Dimostrare che

1

≃ℝ

1

.

alla relazione di equivalenza

quozientato rispetto (ovvero

se e solo se

retta passante per il punto e l'origine interseca la semicirconferenza. Troviamo ora un'identificazione tra tale che , con : questa applicazione è continua, suriettiva e chiusa perchè continua tra un compatto e uno spazio T2, per cui è una identificazione. Inoltre cessa di essere iniettiva esattamente nei punti ovvero gli unici due punti di equivalenti secondo la relazione . Ne consegue che 2 ~ ⇔ = : Si consideri la seguente relazione di equivalenza ~ su } ={0,   1, 1−  } oppure { }={ 0  1− 1 } . oppure { 2 / ~ è omeomorfo al proiettivo reale di dimensione 2, cioè Dimostrare che lo spazio quoziente 2 / ~ ≃ℝ 2 . 2

2

ci basta dimostrare che / ~ ≃ /~ , dove ~ rappresenta la relazione di equivalenza su 2 che identifica i punti antipodali.  =[sin2  cos 2   sin 2 sin  2  cos  2  ] : Sia : 2  2 / ~ tale che si tratta di un'identificazione (in quanto composizione di un omeomorfismo e di un'identificazione); ~ ⇔  =   ; ne consegue la tesi. inoltre è immediato verificare che 2 3 4 Definiamo la seguente applicazione dalla sfera ⊂ℝ in ℝ  : 2 come il quoziente di 2 tramite la relazione di Consideriamo lo spazio proiettivo ℝ equivalenza che identifica due punti antipodali (cfr. Osservazione 11.5). Dimostrare che l'applicazione  induce un embedding topologico 2 2 4 :ℝ = / ~  ℝ .

innanzitutto verifichiamo che  è un'identificazione tra 2 e la sua immagine: successivamente mostriamo che tale identificazione passa al quoziente rispetto alla proiezione naturale sulla relazione di equivalenza prima definita. La funzione  è continua (componenti continue), suriettiva sull'immagine (ovvio) e chiusa perchè continua da un compatto ad uno spazio T2. Ne consegue che è un'identificazione. Ora, se ~ è immediato far vedere che   =    ; mostriamo l'implicazione opposta: se   = 21− 2,2 1 2, 1 3, 2 3 =  = 21 − 2,2 1 2, 1 3, 2 3  e = ∈ { 1,2,3 } ne ≠ ∀ consegue subito che = ; dunque supponiamo ; poniamo senza perdita di generalità ≠ 0 : allora se

3 2 1

2

3

=

2

3

1

3

=

1

3

deve essere

1

=

1

3 3

2

=

2

3 3

; ma allora

2 2 2 − 2 = 1 − 2 ⇔ 3 =− 3 da cui si ottiene 2 =− 2, 1=− 1 , ovvero ~ ; dunque   =   =⇒ ~ . Ne consegue che  = ° dove : 2 / ~  Im ⊂ℝ 4 è un omeomorfismo.

è detta orientabile se non contiene un sottoinsieme Una varietà topologica omeomorfo ad un nastro di Mobius. Dimostrare che la bottiglia di Klein e ℝ 2 non sono orientabili....