Esercizi svolti sulle serie di Fourier PDF

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Esercizi sulla trasformata di Fourier con souzioni...

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Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio 1. (Onda quadra). Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( 1 x ∈ [0, π ) f (x) = 0 x ∈ [π, 2π ) prolungata a una funzione 2π-periodica su R (d’ora in poi denoteremo con lo stesso simbolo f l’estensione periodica a tutto R di una funzione f definita su un intervallo limitato). Svolgimento. Si ha Z Z Z 1 2π 1 2π 1 π a0 = f (x) dx = 1 e an = f (x) cos(nx) dx = cos(nx) dx = 0 per n ≥ 1. π 0 π 0 π 0 Invece si ha bn =

1 π

Z

2π

f (x) sin(nx) dx =

0

1 π

Z

π

sin(nx) dx = 0

da cui bn =

(

2 nπ

0

µ

1 − cos(nπ) + n n

se n `e dispari se n `e pari.

Quindi la serie di Fourier associata a f `e ∞ 2X 1 1 + sin((2n + 1)x). 2 π n=0 2n + 1

Esercizio 2. (Onda quadra II). 1. Sia A > 0. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( A x ∈ [0, π) g(x) = 0 x ∈ [π, 2π) prolungata per periodicit` a (di periodo 2π) a R. 2. Sia A > 0. Sviluppare in serie di Fourier ( 0 x ∈ [0, π ) h(x) = −A x ∈ [π, 2π) prolungata per periodicit` a (di periodo 2π) a R. 3. Sia A > 0. Sviluppare in serie di Fourier ( A x ∈ [0, π) j(x) = −A x ∈ [π, 2π ) prolungata per periodicit` a (di periodo 2π) a R.

1

¶

=−

1 (−1)n − 1 π n

Svolgimento. Parte 1. Notiamo che che g(x) = Af (x), dove f e` l’onda quadra dell’Esercizio 1. Per la linearit` a dei coefficienti di Fourier, la serie associata a g `e ! Ã ∞ ∞ A 2A X 1 2X 1 1 sin((2n + 1)x) = + + sin((2n + 1)x). A π 2n + 1 2 2 π 2n + 1 n=0

n=0

Parte 2. Notiamo che h(x) = g(x) − A, dove g e` l’onda della parte precendente dell’esercizio. Per linearit` a, la serie di Fourier di h `e X X X Fourier(h) = Fourier(g) − Fourier(c) con c funzione costante c(x) ≡ A. Poich´e c `e un particolare polinomio trigonometrico (di ordine 0), la sua serie di Fourier coincide con c stessa: dunque tutti i coefficienti sono nulli tranne a0 = 2A ⇒ c(x) =

a0 = A ∀ x ∈ R. 2

Concludiamo che la serie associata a h `e ∞ ∞ 2A X 1 A A 2A X 1 sin((2n + 1)x) − A = − + + sin((2n + 1)x). π π 2 2n + 1 2 2n + 1 n=0 n=0

Parte 3. La funzione j si ottiene sommando le funzioni g e h dei punti precedenti. Quindi la serie di Fourier associata a j `e la somma delle serie di Fourier di g e h, cio`e ∞

4A X 1 sin((2n + 1)x). π 2n + 1 n=0 Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier f (x) = 2 + sin x + 3 cos(2x).

Svolgimento. Notare che f `e un polinomio trigonometrico. Quindi confrontando 2 + sin x + 3 cos(2x) =

+∞ X a0 + an cos(nx) + bn sin(nx) 2 n=0

ottengo   4 se n = 0, an = 3 se n = 2,   0 altrimenti,

( 1 se n = 1, bn = 0 altrimenti.

Esercizio 4. Sviluppare in serie di Fourier ( 3 se x ∈ [0, π ] f (x) = 1 se x ∈ (π, 2π ), estesa periodicamente a R. Discutere inoltre convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [0, 2π] e [π/4, π/3]. Scrivere la serie numerica associata alla convergenza puntuale in x = π/2.

2

Svolgimento. Notiamo che f (x) = 2 + g(x) dove g e` un’onda quadra di coefficiente A = 1, cio`e ( 1 g(x) = −1

se x ∈ [0, π ] se x ∈ (π, 2π ).

Dunque la serie di Fourier associata `e +∞

4 X sin((2k + 1)x) . π 2k + 1 k=0

f ∼2+

1. La serie converge puntualmente per ogni x ∈ [0, 2π) a   3 per x ∈ (0, π ) 1   2

in effetti

per x ∈ (π, 2π ) se x = 0, π, 2π.

3+1 f (0+ ) + f (0− ) = e idem in x = π, 2π. 2 2 La convergenza non pu` o essere uniforme perch´e il limite e` discontinuo. Sull’intervallo [π/4, π/3] la convergenza `e uniforme essendo f di classe C 1 su tale intervallo. 2=

2. Per x =

π , 2

la serie converge a f (π/2) = 3: dunque si ha X sin((2k + 1) π ) 4 +∞ 2 = 1. π 2k + 1 k=0

Ma sin

µ

(2k + 1)π 2

¶

da cui si ha

( 1 se k `e pari = (−1)k = −1 se k `e dispari +∞ X k=0

cio`e 1−

(−1)k π = 4 2k + 1

1 π 1 1 + − + ··· = . 7 3 5 4

Esercizio 5. Sviluppare in serie di Fourier f (x) = x2 ,

x ∈ [−1, 1),

prolungata a una funzione 2-periodica su R.

3

Svolgimento. Si noti che f `e pari quindi bn = 0 per ogni n ∈ N. Poich´e il periodo non e` 2π ma T = 2, uso le formule µ ¶ Z T Z 1 2πn 2 f (x) cos x dx = an = x2 cos(πnx) dx. T 0 T −1 Quindi:

a0 =

Z

1

x2 dx =

−1

e an = 2

Z

1 0

2 3

¸1 · Z 1 sin(πnx) 4 x2 cos(πnx) dx = 2 x2 − x sin(πnx) dx πn πn 0 0 · Z 1 ¸1 4 4 cos(πn) 4 − cos(πnx) 4 =− cos(πnx) dx = − 2 2 x = (−1)n 2 2 π n 0 π 2 n2 πn πn π n 0

Dunque +∞

f∼

4 1 X + (−1)n 2 2 cos(πnx). π n 3 n=0

Esercizio 6. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ³x ´ f (x) = cos x ∈ [0, 2π [ 2

prolungata per periodicit` a (di periodo 2π) ad R. Dedurre la somma della serie numerica ∞ X

n=1

n2 . − 1)2

(4n2

Svolgimento. Poich´ e la funzione e` dispari, si ha an = 0 per ogni n. Invece si ha Z Z π ³x´ 2 π 1 f (x) sin(nx) dx = bn = cos sin(nx) dx π 0 π −π 2 Z πh ³ ³ 1 x´ x ´i = sin nx + + sin nx − dx π 0 2 2 1 = π

Z

π

0

· µ ¶ µ ¶¸ (2n + 1)x (2n − 1)x sin + sin dx 2 2

µ µ ¶ · ¶¸π (2n − 1)x (2n + 1)x 2 2 1 cos cos − − 2 2 π 2n − 1 2n + 1 0 ¸ · 1 8n 2 2 = = + 2n − 1 π 2n + 1 π(4n2 − 1)

=

Quindi la serie di Fourier associata `e ∞ X

n=1

8n sin(nx). π(4n2 − 1)

Applicando l’identit` a di Parseval otteniamo 1 π

Z

2π

cos2 0

³x´ 2

dx =

4

∞ n2 64 X . 2 2 π n=1 (4n − 1)2

Essendo Z

2π

cos2

0

si ha

³x ´ 2

∞ X

n=1

dx =

2π

Z

0

1 + cos x dx = π 2

n2 π2 . = 64 (4n2 − 1)2

Esercizio 7. Sviluppare in serie di Fourier f (x) = |x| − π

per |x| ≤ π,

estesa per periodicit` a a tutto R. Svolgimento. Poich´ ef `e pari, bn = 0 per ogni n. Invece ¸π · Z Z 2 (x − π)2 2 π 1 π (x − π) dx = (|x| − π) dx = a0 = = −π 2 π 0 π −π π 0 Se n ≥ 1 an =

1 π

Z

π

(|x| − π) cos(nx) dx =

Z

π

(x − π) cos(nx) dx · ¸π Z sin(nx) 2 2 π sin(nx) (x − π) dx = − n n π π 0 0 · ¸π cos(nx) 2 2 − (cos(nπ) − 1) =− = 2 n2 πn π 0

−π

da cui

2 π

( 0 an = − πn4 2

0

se n `e pari, se n `e dispari.

Dunque la serie di Fourier di f `e +∞

+∞

−

X π π X 4 a2k+1 cos((2k + 1)x) = − − cos((2k + 1)x) + 2 k=0 π(2k + 1)2 2 k=0

Abbiamo che la serie di Fourier converge uniformemente a f su R perch´ef `eC 1 a tratti su R. Ma si pu` o vedere che 1. la serie converge totalmente essendo 4 4 , | cos((2k + 1)x)| ≤ π(2k + 1)2 π(2k + 1)2

e

∞ X k=0

4 < +∞; π(2k + 1)2

2. la serie converge uniformemente ad una funzione g, ed in particolare vi converge in media quadratica; 3. ma la serie di Fourier converge in media quadratica a f : dunque f = g, e la serie converge uniformemente a f . Esercizio 8. Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = ex ,

x ∈ [−π, π ),

estesa con periodicit` a a tutto R.

5

Svolgimento. Si ha 1 a0 = π

π

Z

eπ − e−π 2 = sinh π. π π

ex dx =

−π

Z 1 π x e cos(nx) dx. Abbiamo che e per n ≥ 1 si ha an = π −π Z Z π Z π π π π ex cos(nx) dx = [ex cos(nx)]−π + n ex sin(nx) dx = [ex cos(nx)] −π + n [ex sin(nx)] −π − n2 −π

π

ex cos(nx) dx

−π

−π

da cui 2

(n + 1)

Z

π

π ex cos(nx) dx = [ex cos(nx)] −π = eπ cos(nπ ) − e−π cos(−nπ) = 2(−1)n sinh π

−π

e

1 π

an = Similmente

Z

π

ex cos(nx) dx =

−π

bn =

2(−1)n sinh π. π(n2 + 1)

−2(−1)n n sinh π . π(n2 + 1)

Esercizio 9. Sviluppare in serie di Fourier f (x) = (cos x)+ ,

x ∈ [−π, π ),

prolungata a una funzione 2π-periodica su R. Svolgimento. Siccome f e` pari, si ha bn = 0 per ogni n ∈ N. D’altra parte, si ha a0 =

a1 =

1 π

Z

1 π

Z

π

1 π

(cos(x))+ dx =

−π

π

(cos(x))+ cos(x) dx = −π

1 π

Z

Z

π/2

cos(x) dx = −π/2

π/2

cos2 (x) dx =

−π/2

1 π

Z

π/2

−π/2

2 , π 1 1 + cos(2x) dx = 2 2

e per n ≥ 2 Z π/2 Z Z 1 1 π/2 1 π cos(x) cos(nx) dx = (cos(x))+ cos(nx) dx = an = [cos((n + 1)x) + cos((n − 1)x)] dx 2π −π/2 π −π/2 π −π · ¸π/2 sin((n − 1)x) 1 sin((n + 1)x) + = n−1 n+1 2π −π/2 ¶¸ ¶ µ µ · 1 n−1 n+1 1 1 = π π + sin sin 2 2 n−1 π n+1 • Quindi: se n `e dispari, si ha an = 0; se n = 2k `e pari, si ha µ ¶ ¶ µ n+1 n−1 sin π = −(−1)k π = (−1)k e sin 2 2 per cui ¸ · 1 2 (−1)k 1 1 (−1)k = − (−1)k − . π 4k 2 − 1 2k − 1 π 2k + 1 • Dunque la serie di Fourier associata `e an = a2k =

∞ 2 X (−1)k 1 1 + cos x − cos(2kx). π 2 2 4k 2 − 1 k=1

6

Esercizio 10. Sia f la funzione 2π-periodica definita da f (x) = sin(5x2 ),

x ∈ [−π, π ].

dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. la sua serie di Fourier converge in media quadratica in [−π, π ]; 2. la sua serie di Fourier converge uniformemente in R; 3. i coefficienti bn sono tutti nulli. Svolgimento. 1. Vero: f `e continua su R ed f `e di classe C 1 a tratti su R. 2. Vero: la funzione `e infatti pari. 3. Vero: poich´e f `e a quadrato sommabile. Esercizio 11. Data

( cos x se |x| < π2 f (x) = 1 se 2π ≤ |x| ≤ π

si consideri la sua estensione 2π -periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. la sua serie di Fourier converge puntualmente a f (x) su [−π, π ]; 2. la sua serie di Fourier converge uniformemente su R; π]; 3. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su [ 394 π, 41 4 4. si ha b3 = 2; 5. si ha a1 =

π−4 ; 2π

6. si ha lim

n→+∞

Z

3 π 4

fn2(x) dx

π 4

=

Z

3 π 4

f 2 (x) dx;

π 4

Svolgimento. 1. Falso. La serie converge alla funzione 2π-periodica  π  cos x se |x| < 2 π g(x) = 1 se 2 < |x| ≤ π  1 se x = ± π2 + 2kπ. 2 ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ Infatti, f `e continua a tratti: continua su − π2 , 2π , continua su −π, − π2 e su π2 , π , e − π2 e punti di salto. In x = π2 si ha ¡ ¢ ¡ ¢ 1 + limx→ π2 − cos(x) f 2π+ + f π2 − 1 = = 2 2 2

π 2

sono

e idem in x = − π2 (f `e pari). 2. Falso. Il limite puntuale g `e discontinuo mentre i polinomi trigonometrici approssimanti sono funzioni continue, dunque non si pu` o avere convergenza puntuale. 7

3. Vero. Per periodicit` a, l’intervallo [ 394 π, 41 π] `e equivalente all’intervallo [− 4π , π4 ] che cade nella zona 4 1 dove f e` C . Dunque si ha convergenza uniforme a f . 4. Falso: f `e pari, allora bn = 0 ∀ n ∈ N. 5. Vero. Si ha a1 =

1 π

Z

π

2 π

f (x) cos(x) dx =

−π

Z

π

2 π

Z

2 = π

Z

f (x) cos(x) dx = 0

π/2

cos2 (x) dx + 0 π/2 0

2 π

Z

π

cos(x) dx π/2

1 2 2 1 + cos(2x) π = − dx + [sin x]π/2 π 2 2 π

6. Vero perch´e si ha convergenza in media quadratica su tutto [0, 2π]. Anche senza convergenza uniforme su [ π4 , 34 π], passo al limite sotto il segno di integrale. Esercizio 12. Data

( −xπ −π ≤ x ≤ 0 f (x) = x2 0...