Esercizi sulle serie numeriche PDF

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Serie numeriche: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt`a maggiore. Esercizio 1. Dopo aver verificato la convergenza, calcolare la somma delle seguenti serie: ∞ X

n (n + 1)! n=1

a)

[1]

∞ X

1 b) n(n + 3) n=1 c)



∞ X

2n + 1 2 (n + 1)2 n n=1 ∞ X

1 log 1 − 2 d) n n=2 



[− log 2]

1 2−1 4n n=1

f)

∞  X 1 n=1

g)

1 √ −√ n n+1

1 2

  

[1]

∞ X

1 4

1 n(n + 1)(n + 2) n=1

 

Svolgimento a) La serie



[1]

∞ X

e)

11 18

∞ X

n `e a termini positivi. Poich`e (n + 1)! n=1

1 1 n n = =o , = (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)(n − 1)! n2 (n + 1)! 

1



n → +∞

2

Serie numeriche: esercizi svolti

ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

serie data converge.

n2

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che n+1−1 1 1 n = . = − (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)! Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn

n X 1 1 k = − = (k + 1)! k=1 k! (k + 1)! k=1 n X

=1−





=

1 1 1 1 1 1 + − +··· + . − =1− 2! 2! 3! n! (n + 1)! (n + 1)!

Ne segue che la somma della serie `e 

S = lim Sn = lim 1 − n

n

Pertanto si ha

∞ X

n=1

b) La serie

1 (n + 1)!



= 1.

n = 1. (n + 1)!

∞ X

1 `e a termini positivi. Poich`e n(n + 3) n=1 1 1 ∼ 2, n(n + 3) n

ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

serie data converge.

n2

n → +∞

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (A + B)n + 3A = + = n(n + 3) n(n + 3) n n+3

=⇒

(

A=

1 3

B = − 13 .

Quindi 1 1 1 1 . = − n(n + 3) 3 n n+3 Ne segue che la serie data non `e telescopica. Nonostante ci`o `e possibile calcolare 



la somma della serie. Si ha che la somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n X

1 1 1− + 3 4  1 1 1+ + = 2 3

=

n

X1 1 = k(k + 3) k=1 3 k=1 



1 1 − k k+3



=

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − +··· + − 2 5 3 6 n n+3 4 7    1 1 1 11 1 − = − . 3 n+3 3 6 n+3



=

3

Serie numeriche: esercizi svolti

Ne segue che la somma della serie `e S = lim Sn = lim n

Pertanto si ha

∞ X

n=1

c) La serie

∞ X

n=1

n

1 3



11 1 − 6 n+3



=

11 . 18

11 1 = . n(n + 3) 18

2n + 1 `e a termini positivi. Poich`e + 1)2

n2 (n

2 2n + 1 ∼ , n2 (n + 1)2 n3 ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

serie data converge.

n3

n → +∞

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 2n + 1 = (n + 1)2 − n2 . Quindi si ha che

(n + 1)2 − n2 1 1 2n + 1 = . = 2− 2 2 2 2 n (n + 1) n n (n + 1) (n + 1)2

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n X

k=1

=1−

 n  X 2k + 1 1 1 = = − k 2 (k + 1)2 k 2 (k + 1)2 k=1

1 1 1 1 1 1 + − +··· + 2 − . =1 − 4 4 n (n + 1)2 9 (n + 1)2

Ne segue che la somma della serie `e 

S = lim Sn = lim 1 − n n

Pertanto si ha

∞ X

n=1

d) La serie

∞ X

n=2



1 (n + 1)2



= 1.

2n + 1 = 1. n2 (n + 1)2

log 1 −

1 n2



`e a termini negativi. Consideriamo la serie ∞  X

n=2



− log 1 −

1 n2



.

`E una serie a termini positivi. Poich`e log (1 + x) = x + o(x) per x → 0, si ha che 

− log 1 −

1 n2



=

1 +o n2



1 n2



∼

1 , n2

n → +∞

4

Serie numeriche: esercizi svolti

ed essendo convergente la serie

∞ X 1 n=1

serie

∞  X n=2

converge.

1 − log 1 − 2 n 



n2

, per il criterio del confronto asintotico la

converge. Quindi per l’algebra delle serie, la serie data

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 

log 1 −

1 n2



= log

n (n + 1)(n − 1) n+1 n2 − 1 − log = log = log . 2 2 n n n n−1

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n X

1 log 1 − 2 k k=2 



=

n  X k=2

k k+1 − log log k−1 k



=

n+1 3 4 3 n − log 2 + log − log + · · · + log = − log 2 3 2 n−1 n n+1 = − log 2 + log . n = log

Ne segue che la somma della serie `e 

S = lim Sn = lim − log 2 + log n n

Pertanto si ha

∞ X

n=2

e) La serie



log 1 −

1 n2



n+1 n



= − log 2.

= − log 2.

∞ X

1 `e a termini positivi. Poich`e 2−1 4n n=1 1 1 ∼ 2, − 1) 4n

4n2

ed essendo convergente la serie serie data converge.

∞ X 1 n=1

n2

n → +∞

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che (2A + 2B)n + A − B 1 1 A B = = = + 4n2 − 1 (2n − 1)(2n + 1) 4n2 − 1 2n − 1 2n + 1 (

=⇒

A=

1 2

B = − 12 .

Quindi 1 1 = 2 4n − 1 2



1 1 − . 2n − 1 2n + 1 

5

Serie numeriche: esercizi svolti

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n X

k=1

1 4k 2 − 1

n X 1

=

k=1

1 1 − 2 2k − 1 2k + 1 



=

1 1 1 1 1 1 1 − + − +··· + − = 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 



1 1 = 1− . 2 2n + 1

=

1 . 2





Ne segue che la somma della serie `e S = lim Sn = lim n

∞ X

Pertanto si ha

n=1 ∞ X

n

1 1 1− 2 2n + 1 



1 1 = . 4n2 − 1 2

1 1 √ −√ `e a termini positivi. Poich`e n n+1 n=1 √ √ n+1− n 1 1 1 1 √ −√ √ = √ √ = √ √ 3 , √ ∼ n n+1 n n+1 2n 2 n n+1 n+1+ n

f) La serie





ed essendo convergente la serie

∞ X 1

3

n=1

serie data converge.

n2

n → +∞

, per il criterio del confronto asintotico la

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn =

n  X 1 k=1

1 √ −√ k+1 k



=

1 1 1 1 1 1 . = 1 − √ + √ − √ +··· + √ − √ =1 − √ n n+1 n+1 2 2 3 Ne segue che la somma della serie `e 1 S = lim Sn = lim 1 − √ n n n+1 

Pertanto si ha

∞  X 1

n=1

g) La serie

1 √ −√ n n+1





= 1.

= 1.

∞ X

1 `e a termini positivi. Poich`e n(n + 1)( n + 2) n=1 1 1 ∼ , n(n + 1)(n + 2) n3

ed essendo convergente la serie serie data converge.

∞ X 1 n=1

n3

n → +∞

, per il criterio del confronto asintotico la

6

Serie numeriche: esercizi svolti

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 A B (A + B )n + 2A = + = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) (

=⇒

A=

1 2

B = − 12 .

Quindi 1 1 1 1 . = − n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 



Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale della serie `e Sn

n X 1 1 1 1 = − = = 2 k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) k=1 (k + 1)(k + 2) k=1 n X





1 1 1 1 1 1 1 − + − +··· + − = = 2 2 6 6 12 n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 1 = − . 2 2 (n + 1)(n + 2) 



Ne segue che la somma della serie `e S = lim Sn = lim n

Pertanto si ha

∞ X

n=1

n

1 1 1 1 − = . 2 2 (n + 1)(n + 2) 4 



1 1 = . 4 n(n + 1)(n + 2)

Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti serie: a)

b)

∞ X

1 log (n + 1) n=2 ∞ X log n n=1

c)

[diverge positivamente]

[converge]

n4

∞ X log n

[converge]

3

n=1 ∞ X

n2

n+1 d) log n2 n=1 ∞ X





1 arctan √ n n=1 √ ∞ √ X n+2− n−2 f) n n=2 e)

[diverge negativamente]

[diverge positivamente]

[converge]

Serie numeriche: esercizi svolti

g)

h)

∞ X

1 log √ n n=1 1 log √ n3 n=2 ∞ X

i)

∞ X

j)

*l)

[diverge negativamente]

∞ X

k)

[diverge positivamente]

1 √ n log n3 n=2 1 log (n!) 2 n=1

[converge]

(−1)n log

[indeterminata]

[converge]

(n!)n

∞ X n43 n=1

o)

1 n

2 ∞ X 3n

n=1

n)

[diverge positivamente]

∞ X

n=1

m)

[diverge negativamente]

1 log n 2 n=1

∞ X

7

[converge]

6n

∞ X 157 4n

[converge]

n=1 3n

p)

∞ X

n=1

q)

∞ X

n=2

r)

2

3n

1 √ n log n

∞  X n=0

s)

∞ X

n=2

v)

n

[converge]

∞ X

n=2

[converge assolutamente]

n(n + 1)

∞ X 1 n=1

u)

1 n+2

[diverge positivamente]

∞ X sin (4n3 ) n=1

t)

[converge]

3n+2

5n

3

n

 

n2

[diverge positivamente]

n2

[converge]

n+2 n

n−2 n 1

(log n)log n

[converge]

8

Serie numeriche: esercizi svolti

w)

∞ X nn n=1

x)

∞ X

r

n 1+

n=1

y)

∞ X

n=1

z)

4 n3

[diverge positivamente]

1

nn+ n 

n+

∞  X 1 n=1

[converge]

(2n)!

 1 n n

[diverge positivamente]

1 − sin n n



[converge]

Svolgimento ∞ X

1 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positilog (n + 1) n=2 vamente).

a) La serie

Poich`e log (n + 1) = o(n + 1) per n → +∞, si ha che 1 1 , =o log (n + 1) n+1 



n → +∞

∞ X

1 divergente, per il criterio del confronto asintotico n+1 n=2 anche la serie data `e divergente.

ed essendo la serie

b) La serie mente).

∞ X log n n=1

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-

n4

Poich`e log n = o(n) per n → +∞, si ha che 1 log n =o 3 , 4 n n 



n → +∞

∞ X 1

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n3 la serie data `e convergente. ed essendo la serie

n=1

c) La serie mente).

∞ X log n

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-

3

n=1

n2



1

Poich`e log n = o n3



per n → +∞, si ha che log n n

3 2

=o



1 n

7 6



,

n → +∞

9

Serie numeriche: esercizi svolti

∞ X 1

7 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n6 la serie data `e convergente.

ed essendo la serie

n=1

∞ X

n+1 `e a termini negativi. Infatti, n2 n=1 o diverge (negativamente).

d) La serie

log





n+1 n2

< 1. Quindi o converge

Osserviamo che log lim n



n+1 n2



= −∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente. ∞ X

1 arctan √ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin n=1 vamente).

e) La serie

Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, si ha che 1 1 arctan √ = √ + o n n



1 √ n



∼

1 1

n2

,

n → +∞

∞ X 1

1 divergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data `e divergente. √ ∞ √ X n+2− n−2 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge f) La serie n n=2 (positivamente).

ed essendo la serie

n=1

Si ha che √ √ 2 n+2− n−2 4  ∼ 3, = √ √ n n n+2+ n−2 n2

n → +∞

∞ X 2

3 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche n2 la serie data `e convergente.

ed essendo la serie

n=1

∞ X

1 √ log √ `e a termini negativi. Infatti log √1n = − log n. Quindi o n n=1 converge o diverge (negativamente).

g) La serie

Osserviamo che lim log n

√ n = +∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente.

10

Serie numeriche: esercizi svolti

∞ X

1 `e a termini negativi. Infatti log log √ n3 n=2 converge o diverge (negativamente).

h) La serie

Osserviamo che lim log n

√1 n3

= − log

√ n3 . Quindi o

√ n3 = +∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente. k) La serie

∞ X

1 `e a termini positivi. log n 2 n=1

Consideriamo la funzione f(x) =

1 2log x

per x ∈ [1, +∞). Essendo f decrescente,

studiamo la convergenza dell’integrale improprio di f sull’intervallo [1, +∞). Si ha che

Z +∞ 1

f(x) dx =

posto t = log x, da cui dx =

Z +∞ 1

et dt,

= lim

1 2log x

t→+∞

 t

e 2

c→+∞ 1

1 dx = 2log x

si ottiene

Z log c t e

c→+∞ 0

Poich`e lim

Z c

dx = lim

2t

dt =

Z +∞  t e

= +∞, l’integrale improprio

seguenza anche l’integrale improprio

Z +∞

2

0

dt.

Z +∞  t e 0

2

dt diverge e di con-

f(x) dx diverge. Per il criterio di Mc-

1

Laurin la serie data diverge. ∞ X

1 √ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positin log n3 n=2 vamente).

i) La serie

1



Poich`e log n = o n3



per n → +∞, si ha che

 5 √ √ n log n3 = 3 n log n = o n 6 ,

n → +∞.

Quindi si ha che 1 5

n6 ed essendo la serie

∞ X 1

5

n6 la serie data `e divergente.

1 =o √ , n log n3 

∞ X

n=1

1 2log (n!)

n → +∞

divergente, per il criterio del confronto asintotico anche

n=2

j) La serie



`e a termini positivi.

11

Serie numeriche: esercizi svolti

Poich`e n! ≥ n2 per ogni n ≥ 4, si ha che per ogni n ≥ 4 1 1 1 1 ≤ log (n2 ) = 2 log n = log n . 2 4 2log (n!) 2 1 4log x

Consideriamo la funzione f(x) =

per x ∈ [1, +∞). Essendo f decrescente,

studiamo la convergenza dell’integrale improprio di f sull’intervallo [1, +∞). Si ha che

Z +∞ 1

f(x) dx =

Z +∞ 1

1 4log x

dx = lim

c→+∞ 1

posto t = log x, da cui dx = et dt, si ottiene = lim

Z log c t e

4t

c→+∞ 0

Z log c  t e

dt = lim

1 = lim c→+∞ 1 − log 4 ∞ X

n=1

*l) La serie

∞ X

"  log c

e 4

Z +∞

Ne segue che l’integrale improprio rin la serie

4

c→+∞ 0

1

Z c

dt = lim

c→+∞

#

−1 =

1 4log x

"

dx =

1 log 4e

 t #log c

e 4

=

0

1 . log 4 − 1

f(x) dx converge. Per il criterio di McLau-

1 converge. Per il criterio del confronto la serie data converge. 4log n

(−1)n log

n=1

1 `e a termini di segno alterno. n

Osserviamo che lim(−1)n log n

1 6 ∃. n

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data non `e convergente. Pertanto o diverge (positivamente o negativamente) o `e indeterminata. Osserviamo che (−1)n log

1 = (−1)n+1 log n. n

Supponiamo che la serie diverga positivamente. Allora detta Sn la somma parziale n-esima della serie, Sn =

n X

k=1

(−1)k+1 log k = −

n X

k=1

si ha che lim Sn = +∞. n

Quindi a...