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Serie%Numeriche% %

Analisi%Matematica%I%

Natali%Mattia%

Serie%Numeriche%

฀฀∞ ฀฀ ฀฀∑ an ฀฀ ฀฀n =0 ฀฀

!

 Serie%Notevoli:%% ∞

 Serie%Armonica%generalizzata:%

1

∑n

α

% (α%>%0).%

n =1

 

Converge%con%α%>%1.% Diverge%con%α%≤%1.% ∞

 Serie%Geometrica:%

∑q

n

.%

n =0

  

q%=%ragione.%%(q%∈%R).% Diverge%con%|q|%≥%1.% Converge%con%|q|%%0.%Calcola% lim n→∞

an +1 = l :% an 1

Serie%Numeriche% % • • • 

Analisi%Matematica%I%

Natali%Mattia%

Se%0%≤%l%%1%%la%serie%diverge.% Se%l%=%1%%la%serie%è%indeterminata.%

Criterio%della%Radice%(si%usa%spesso%con%xn):% ∞



Sia%

∑a

n

%con%an%>%0.%%Calcola% lim n an :% n→∞

n =0

• • •

Se%0%≤%l%%1%la%serie%diverge.% Se%l%=%1%%la%serie%è%indeterminata.% %

 Serie%di%segno%alternato:% 

Teorema%della%convergenza%assoluta%%vedi%sotto.%Se%la%serie%non%è%assolutamente% convergente%usa%criterio%di%Liebniz.%

 Criterio%di%Liebniz:% ∞



Sia%

∑ (−1)

n

an %,%la%serie%converge%se:%

n =0

• •

an%≥%0.%

lim an = 0 .% n→∞

an +1 ≤ an%verifica%così%%f’(x)%%x0.%

•

∀n ≥ n 0 .%

%

 Serie%di%segno%qualunque:%  Teorema%della%convergenza%assoluta:% ∞

∞



Una%serie%

∑a

n

%si%dice%assolutamente%convergente%se%la%serie%

%converge.%

∞

∞

Se%la%serie%

n

n =0

n =0



∑a

∑a

n

%converge,%allora%anche%la%serie%

n =0

∑a

n

%converge%(non%vale%il%contrario).%

n =0

 Resto:%  Serie%a%termini%alternati:% 

an +1 = Rn +1 .%



Per%calcolare%la%serie%con%un%certo%errore%bisogna%calcolare%la%serie%fino%a%n%che%si%trova%dalla% seguente%disequazione% an +1 < errore %(Esempio%errore%=%1/100).%

%

%

2...