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ANÁLISIS MATEMÁTICO I - GRADO DE MATEMÁTICAS

LA FÓRMULA 1 + 21 + 31 + · · · + Para cada n ∈ N escribimos Hn = 1 + 21 + siguiente límite:

1 3

1 n

= log n + γ + εn

+ · · · + n1 . Vamos a ver que existe el

l´ım (Hn − log n)

n→+∞

y que es un número real γ ∈ (0, 1]. Para empezar, tomamos un n ∈ N cualquiera, y representamos la función 1/x para x ∈ [1, n]. El área de la figura que queda entre la gráfica de la función y el eje x es: Z n h ix=n 1 dx = log x = log n − log 1 = log n. x=1 1 x

1/x

n

1 Área de la figura: log n

Observamos ahora la siguiente figura, formada por rectángulos. La base de cada rectángulo mide 1, y la altura, que llega hasta la gráfica de la función, mide 1 en el primer rectángulo, 1/2 en el segundo, 1/3 en el tercero y así sucesivamente hasta el último, cuya altura mide 1/n. El área total es, por lo tanto, Hn . Nos fijamos ahora en la superficie comprendida entre la gráfica de 1/x y el eje x en el intervalo [1, n + 1]. Su área es log(n + 1) y esta superficie está contenida en la unión de los rectángulos. Así que log(n + 1) ≤ Hn .

1/x ... 1

2

3

n−1

n

n+1

log(n + 1) ≤ Hn

La siguiente figura representa la parte de los rectángulos que está por encima de la gráfica. Su área es Hn − log(n + 1). Si tomamos un n más grande, esta área aumenta, porque estamos añadiendo porciones de rectángulos. Así que la sucesión Hn −log(n + 1) es creciente. En particular, tiene límite y este límite es o bien un número positivo, o bien +∞.

ANÁLISIS MATEMÁTICO I - GRADO DE MATEMÁTICAS

1/x ... 1

2

3

n

n−1

n+1

La sucesión Hn − log(n + 1) es creciente

Ahora bien, el límite que nos interesa es l´ım (Hn − log n) = l´ım (Hn − log(n + 1) + log(n + 1) − log n) n→+∞

n→+∞

= l´ım (Hn − log(n + 1) + log n→+∞

n+1 ) n

= l´ım (Hn − log(n + 1)), n→+∞

luego ya hemos probado que existe el límite l´ım (Hn −log n) y que es o bien un número n→+∞

positivo o bien +∞. Nos fijamos ahora en la siguiente figura, formada también por rectángulos cuya base mide 1, pero cuyas alturas miden 1/2, 1/3 y así sucesivamente hasta 1/n. El área total es 12 + 31 + · · · + 1n = Hn − 1.

1/x ... 1

2

3

n−1

n

Área de los rectángulos: Hn − 1

Esta figura está contenida en la primera de todas, cuya área era log n. Por lo tanto, Hn − 1 ≤ log n, es decir, Hn − log n ≤ 1. Luego l´ım (Hn − log n) ≤ 1. n→+∞

Si llamamos γ = l´ım (Hn −log n) y escribimos εn = Hn −log n −γ, hemos demostrado n→+∞ que Hn = log n + γ + εn , donde γ ∈ (0, 1] y l´ım εn = 0. n→+∞

El número γ es una constante famosa: la constante de Euler (o de Euler-Mascheroni). Se puede probar que γ = 0,5772156649 . . . , pero no se sabe si es un número racional o no....