Media Geometrica y Armonica PDF

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MEDIA GEOMÉTRICA La media geométrica, denotada por G, es una medida de posición central utilizada generalmente cuando los valores de la variable no son de naturaleza aditiva, sino acumulativa o con efectos multiplicativos. Tal es el caso de tipos de interés, porcentajes, tasas, números índices, etc. En muchas ocasiones los valores de la distribución no son de naturaleza propiamente aditiva; tal es el caso de los números índice o de los porcentajes, los cuales representan la evolución de una característica con respecto al valor que tiene en un período o situación que llamamos base. Cuando se desea obtener promedios de magnitudes tales como tipos de interés, tasas, porcentajes, números índice, etc., la media aritmética pierde la propiedad de tener un claro significado ya que la suma de dichas magnitudes no representa un total de recursos como en las magnitudes de naturaleza aditiva. En estos casos es aconsejable utilizar la media geométrica, pues se trata de la medida de posición central más representativa cuando la variable presenta variaciones acumulativas. Su valor se obtiene como la raíz N-ésima del productorio 1 de los valores de la variable elevados a sus frecuencias respectivas. Matemáticamente: k n

n

n

(

n

n

n

n

G = N ∏ xi i = N x1 1 · x22 ·...· xk k = x1 1 · x 22 ·...· xk k

)

1 N

i =1

En ocasiones la complejidad de cálculo de la expresión anterior obliga a tomar logaritmos tal que:

log G =

1 1 log x1n1 · x2n2 ·...· xnk k = ( n1 log x1 + n2 log x2 + ... + nk log x k ) N N

(

)

k

∑ n log x i

=

i

i =1

N

Verificándose así que el logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. Aplicando antilogaritmos en la expresión anterior obtenemos el valor de la media geométrica: k

∑ n log x i

G = anti log

1

i

i =1

N

El símbolo productorio, denotado por la letra griega Pi mayúscula (Π), es un operador matemático que representa la multiplicación finita o infinita de factores. Su funcionamiento es análogo al caso del sumatorio para la suma.

Ejemplo Tomando los siguientes datos relativos al número de días de estancia de 20 turistas, calculamos su la media geométrica: Número de días (xi) 5 8 12 16

Número de turistas (ni) 6 8 4 2 20

Aplicando la fórmula anterior tenemos que:

G = 20 56 ·88 ·124 ·162 = 20 1,3916·1018 = 8,0756 Valor ligeramente inferior al obtenido en el ejemplo anterior y que verifica la propiedad de que, para datos no negativos, siempre se cumple que G ≤ X . Alternativamente podemos calcular la media geométrica aplicando logaritmos. Para ello calculamos dos columnas adicionales, log xi y nilog xi: Número de días (xi) 5 8 12 16

Número de turistas (ni) 6 8 4 2 20

log xi 0,6990 0,9031 1,0792 1,2041

nilog xi 4,1938 7,2247 4,3167 2,4082 18,1435

El logaritmo de la media geométrica sería: log G =

18,1435 = 0,907175 20

Por tanto, tomando antilogaritmos tenemos que la media geométrica es: G = anti log 0,907175 = 8,0756 días

Resultado que, tal y como cabía esperar, coincide con el resultado obtenido aplicando la otra fórmula.

Ventajas e inconvenientes de la media geométrica Las principales ventajas de la media geométrica son: - Si su cálculo es posible, está definida de forma objetiva y es única. - Tiene en cuenta en su cálculo a todos los valores de la distribución. - Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética por estar definida a través de productos en vez de sumas. - Es más representativa que la media aritmética cuando la variable evoluciona de forma acumulativa con efectos multiplicativos. Sin embargo, la metodología de cálculo de esta media hace que presente ciertas desventajas: - Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética. - Si algún valor de la variable es igual a cero, el resultado obtenido no es representativo al obtenerse una media geométrica nula. - Asimismo, si la variable presentara valores negativos podría darse el caso de que no fuera posible calcularla ya que se obtendrían soluciones imaginarias.

MEDIA ARMÓNICA Existen situaciones en las que no es adecuado utilizar la media aritmética ni la geométrica ya que los datos observados no son de naturaleza aditiva ni multiplicativa. Esto ocurre en los casos en los que se desea promediar velocidades, rendimientos, productividades, etc., es decir, aquellos casos en los que la variable está medida en unidades relativas. Para este tipo de variables, como por ejemplo pueden ser el cambio Euro/Dólar o una velocidad expresada en Km/h., resulta más apropiado el uso de la media armónica. La media armónica H es la inversa de la media aritmética de los inversos de los valores de la variable tal que: H =

N N = n n n n ∑= xi x1 + x2 + ... + x k i 1 i k 1 2 k

Ejemplo Con los datos del ejemplo anterior calculamos la media armónica: Número de días (xi) 5 8 12 16

H=

Número de turistas (ni) 6 8 4 2 20

20 = 7,52 6 8 4 2 + + + 5 8 12 16

El resultado obtenido es sensiblemente inferior al obtenido en el caso de la media aritmética y geométrica. En general, para una misma distribución de frecuencias con todos sus datos positivos y no nulos, se verifica siempre que H ≤ G ≤ X .

Ejemplo Un banco ha realizado para sus clientes a lo largo de la semana los siguientes cambios de euros a dólares estadounidenses: Tipo de cambio (xi) 1,3590 1,3570 1,3563 1,3577 1,3610 1,3630 1,3585

Volumen (ni) 2.000 1.500 3.000 2.100 2.500 2.300 1.000 14.400

La media armónica sería: H=

14.400 = 1,3590 2.000 1.500 3.000 2.100 2.500 2.300 1.000 + + + + + + 1,3590 1,3570 1,3563 1,3577 1,3610 1,3630 1,3585

El cambio medio aplicado por el banco es de 1,3590 dólares por 1 euro. Ventajas e inconvenientes de la media armónica Las principales ventajas de la media armónica son: - Está definida de forma objetiva y es única. - Intervienen todos los valores de la distribución. - Es más representativa que las otras medias en los casos de obtener promedios en velocidades, rendimientos y productividades. Por su parte los inconvenientes de este tipo de media son: - Si algún valor de la variable es nulo, no es posible calcular la media armónica. - La presencia valores de la variable muy pequeños pueden provocar que sus inversos aumenten muchísimo haciendo despreciable frente a ellos la información de otros valores mayores de xi....