MM Proporcionalidad Geometrica 2016 17 PDF

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importante para saber hacer los ejercicios...

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Tema 1. Proporcionalidad Geométrica

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Imagen tomada de http://www.zonu.com/fullsize/2009-09-17-5996/Mapa-de-Carreteras-de-Cantabria.html

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0. Un repaso de conceptos básicos de geometría A continuación se da una relación de términos geométricos elementales junto con su significado. Se recomienda al lector que compare las definiciones establecidas a continuación con las que se dan para los respectivos términos en los textos de Primaria o en algunas páginas de internet. - Punto: es lo que no tiene anchura, ni longitud ni altura. Es el lunar o la mancha más pequeña que se puede dibujar. Nombraremos los puntos mediante letras mayúsculas: A, B, C,... - Recta: es un conjunto infinito de puntos sin anchura ni altura. Un hilo tensado que no tenga principio ni final es la situación física de la que podemos extraer la noción de recta. Utilizaremos letras minúsculas para referirnos a las rectas: r, s, t,... - Plano: es un conjunto infinito de puntos que no tiene altura. La situación física que nos proporciona la idea intuitiva de plano es un folio prolongado indefinidamente. Utilizaremos letras griegas para designar los planos:  ,  , , … - Espacio: es el conjunto de todos los puntos. - Segmento: Dados dos puntos A y B, llamamos segmento de extremos A y B al conjunto de puntos de la recta AB que están entre A y B. Lo denotamos por

AB.

- Semirrecta: Un punto A situado en una recta la divide en dos partes llamadas semirrectas. El punto A se llama origen de cada semirrecta. Una semirrecta de origen A y que contenga al punto B se denota por AB. - Rectas secantes: Dos rectas r y s se dicen secantes si tienen un punto en común. - Rectas paralelas: Dos rectas coplanares r y s se dicen paralelas si no tienen puntos en común. En este caso escribiremos r / / s. - Región cóncava y región convexa: Una región del plano se llama cóncava si hay un par de puntos A,

AB no está contenido en la región. Se llama convexa si para cada par de puntos A, B de la región el segmento AB está completamente contenido en la región.

B de dicha región tales que el segmento

A

B B

A

- Ángulo: A una región del plano limitada por dos semirrectas de origen común la llamamos ángulo. Las dos semirrectas son los lados del ángulo y su origen el vértice del ángulo.

Dos semirrectas con origen común determinan en el plano dos regiones, por tanto dos ángulos. Si las semirrectas no son complementarias, una de dichas regiones es cóncava y se llama ángulo cóncavo, y la otra convexa, y se llama ángulo convexo.

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Si las semirrectas son iguales, la región convexa -que se reduce a una semirrecta- se llama ángulo nulo. Si las semirrectas son complementarias las dos regiones que se obtienen son convexas, y cada una de ellas se llama ángulo llano. Si A es un punto en una semirrecta de origen O, y B un punto en otra semirrecta con el mismo origen, el ángulo convexo que forman se denota

AOˆB . Si

el contexto permite deducir claramente cuáles son los

lados del ángulo, también se suele denotar éste utilizando sólo su vértice, es decir,

Oˆ.

Esta notación refleja el hecho de que cuando hablemos de “el ángulo” formado por dos semirrectas nos estaremos refiriendo al ángulo convexo, salvo que hagamos mención en contra. Dos ángulos se dicen consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común y sólo eso es común. En la figura siguiente los ángulos

AOˆB y BOˆC son consecutivos. B

C

A

O

Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y sus lados no comunes son semirrectas complementarias. En la figura siguiente los ángulos

ˆ y BOC ˆ son adyacentes. AOB B

C

A

O

Nótese que cada ángulo AOˆB tiene dos ángulos adyacentes a él, que son los que se forman al considerar las semirrectas complementarias de O A y OB, respectivamente, como indica la figura siguiente (en la que los dos ángulos adyacentes a

Dos ángulos se dicen

AOˆB son AOˆ D y BOˆC).

opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados

semirrectas complementarias de los lados del otro. En la figura siguiente los ángulos opuestos por el vértice, y también lo son los ángulos

de uno son

AOˆB y C Oˆ D son

ˆ y DOA ˆ BOC

C

B O A

D

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- Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es el ángulo que resulta de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales. La división del grado en 60 partes iguales da lugar a lo que se entiende por minuto sexagesimal y a su vez la división de éste en 60 partes iguales da lugar al segundo sexagesimal. - Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento denota por d(A,B).

AB, y se

- Punto medio de un segmento. Diremos que un punto C de un segmento AB es el punto medio de dicho segmento si equidista de los extremos del segmento, es decir, si AC = CB . - Tipos de ángulos. Un ángulo se dice que es recto si mide 90º. Un ángulo es agudo si es menor que el recto. Un ángulo es obtuso si es mayor que el recto. Si un ángulo es agudo, ¿de qué tipo es uno adyacente a él? - Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos se dicen complementarios si suman 90º y se dicen suplementarios si suman 180º. - Rectas perpendiculares. Dos secantes son perpendiculares si las semirrectas que forman al cortarse determinan ángulos rectos. - Mediatriz de un segmento. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. - Bisectriz de un ángulo. Una semirrecta con origen en el vértice de un ángulo y pasando entre sus lados es la bisectriz de dicho ángulo si divide a éste en dos ángulos iguales. - Poligonal Observar las figuras siguientes. En cada una de ellas se distinguen una familia ordenada de puntos P1, P2, …, P7 y los segmentos determinados por cada pareja de puntos consecutivos de esa familia.

Figura 1 POLIGONAL

Figura 2 NO POLIGONAL

Figura 3 NO POLIGONAL

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Pero si nos detenemos un poco, vemos que   los segmentos de la primera figura “no se cortan” (sí en la segunda, 𝑃1 𝑃 2 con , 𝑃3 𝑃4 )  en esa primera figura cualesquiera que sean tres puntos consecutivos no están alineados (en la tercera P3, P4 y P5 sí lo están) Esas dos características que diferencian la primera figura del resto la convierten en lo que se denomina en geometría una poligonal . En concreto se dirá que es una poligonal (abierta) de vértices P1, P2, …, P7. En general, el número de vértices de una poligonal es mayor o igual a 3. Si el punto inicial de la poligonal coincide con el punto final de la misma, la poligonal se dice cerrada. - Polígono. Su definición, algunos de sus elementos y algunas de sus características.  Se llama polígono a la región del plano delimitada por una poligonal cerrada. Los vértices de la poligonal son los vértices del polígono y los segmentos que componen la poligonal se denominan lados del polígono. Si la región es convexa, el polígono se dice convexo, y en caso contrario cóncavo.  Cada segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono recibe el nombre de diagonal del polígono.  Perímetro de un polígono tiene dos acepciones distintas. Nos referimos tanto a la poligonal que delimita el polígono como a la suma de las longitudes de sus lados.  Los polígonos de tres lados se denominan triángulos; los de cuatro, cuadriláteros; los de cinco, pentágonos, etc.  Cada par de lados consecutivos en un polígono determinan un ángulo, “dentro” del polígono, con vértice en el extremo común. Cada uno de esos ángulos se considera un ángulo del polígono y se denomina ángulo interior de dicho polígono. Un ángulo adyacente a un ángulo interior de un polígono convexo recibe el nombre de ángulo exterior del polígono.

En la figura, la zona punteada representa el ángulo correspondiente a los segmentos P 4P5 y P5P6.

 Polígono regular. Un polígono se dice regular si todos sus lados son iguales y son iguales todos sus ángulos. En un polígono regular, las mediatrices de los lados se cortan todas en un mismo punto llamado centro del polígono regular y tiene la propiedad de distar lo mismo de todos sus vértices. Esta propiedad permite asegurar que hay una circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono regular. (Ver definición de circunferencia más abajo). - Cuadriláteros Daremos a continuación la terminología clásica de los cuadriláteros convexos. En un cuadrilátero convexo dos lados no consecutivos se dicen opuestos. Los cuadriláteros convexos se pueden clasificar según la posición relativa de sus lados opuestos, distinguiéndose los siguientes casos: Paralelogramo: Cuadrilátero en el que los dos pares de lados opuestos son paralelos. Dentro de los paralelogramos llamamos: * Rectángulo: Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos iguales. * Rombo: Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales. * Cuadrado: Paralelogramo con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales. Trapecio: Cuadrilátero en el que sólo un par de lados opuestos son paralelos. Si el trapecio tiene dos ángulos rectos lo llamamos trapecio rectángulo; y si los dos lados no paralelos de un trapecio son iguales lo llamamos trapecio isósceles.

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Relaciona cada una de las figuras con todos aquellos términos de la lista que describan algunas de sus propiedades.

cuadrado cuadrilátero cóncavo cuadrilátero convexo octaedro

paralelogramo pentágono pirámide rectángulo

rombo trapecio trapecio isósceles trapecio rectángulo

- Clasificación de triángulos y elementos notables de un triángulo Dos clasificaciones habituales de los triángulos están dadas, una, en función de sus lados y, otra, en función de sus ángulos. Atendiendo a sus lados: Los triángulos pueden tener los tres lados iguales, dos iguales o los tres diferentes, llamándolos entonces equilátero en el primero de los casos, isósceles en el segundo y escaleno si todos son diferentes. Atendiendo a la amplitud de sus ángulos: Un triángulo se dice rectángulo si tiene un ángulo recto, obtusángulo si tiene un ángulo obtuso y acutángulo si tiene todos sus ángulos agudos. Otros términos habituales son los que se introducen a continuación. En un triángulo isósceles, si hay un lado cuya longitud es diferente a la de los otros dos se le denomina base y a los que son iguales, laterales. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados, se llaman catetos. - Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Imagina un triángulo rectángulo (el ángulo recto es C). 2

a) Si ahora amplías un poco el ángulo C, ¿qué relación habrá entre

AB

2

,

2

AC y BC ?

b) ¿Y si reduces el ángulo C? (para que mida, por ejemplo, 80º) Enunciamos a continuación dos resultados correspondientes a los lados opuestos a un ángulo obtuso y agudo respectivamente: En todo triángulo que tenga un ángulo obtuso, el cuadrado del lado opuesto a dicho ángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos. En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

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Problema. Supongamos que tenemos una pieza grande de madera, y necesitamos saber si sus esquinas forman ángulos rectos. No poseemos transportador ni escuadra, pero tenemos una cinta métrica graduada y un lápiz. ¿Se te ocurre alguna forma de determinar si los ángulos son rectos?

Ejercicio: clasifica estos triángulos por sus ángulos y por sus lados

En un triángulo se distinguen una serie de elementos ligados, en cierto sentido, a sus ángulos y/o lados. Una mediana es el segmento que une cualquier vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto de corte de las tres medianas de un triángulo recibe el nombre de baricentro. Una bisectriz ( de un ángulo del triángulo ) es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. El punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo se denomina incentro. La mediatriz (de cada uno de los lados del triángulo) es la recta perpendicular a un lado en su punto medio. El punto de corte de las tres mediatrices de un triángulo recibe el nombre de circuncentro. Sea ABC un triángulo y H un punto en la recta AB. El segmento

CH se llama altura del

triángulo relativa al lado AB si CH es perpendicular a la recta AB. El punto de corte de las rectas que contienen las tres alturas de un triángulo se denomina ortocentro.

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En cada uno de los triángulos siguientes, dibuja, respectivamente, las tres medianas, las tres bisectrices, las tres mediatrices y las tres alturas.

Medianas

Mediatrices

Bisectrices

Alturas

- Circunferencia y círculo Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado centro. Cada uno de los segmentos iguales que unen el centro con los puntos de la circunferencia se llama radio. También se llama radio a la longitud de cualquiera de esos segmentos. Círculo es la región del plano encerrada por una circunferencia.

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1. Paralelismo de rectas Un criterio es una regla que permite, sabiendo que se cumplen ciertas condiciones, asegurar la validez de una cierta propiedad o relación. Aquí nos fijaremos en los ángulos que forman dos rectas al ser cortadas por una tercera, para poder saber si las dos primeras son paralelas o no. Sean r, s y t tres rectas tales que t es secante a las otras dos, formándose así ocho ángulos que en este caso llamaremos 1ˆ , ˆ2 , … , ˆ8 como se indica en la figura siguiente:

Figura 1

Los cuatro ángulos que se encuentran entre las rectas r y s, es decir, los ángulos ˆ3 , ˆ4 , ˆ5 y ˆ6 en la figura, se llaman ángulos internos. Dos ángulos internos situados en distinto lado de la secante t y que no comparten ningún lado se llaman alternos-internos. En la Figura 1 los ángulos ˆ3 y ˆ5 son alternos-internos, así como los ángulos ˆ4 y 6ˆ . Dos ángulos internos situados en el mismo lado de la secante t se llaman correspondientes-internos. En la figura los ángulos ˆ3 y ˆ6 son correspondientes-internos, así como los ángulos ˆ4 y ˆ5 . Criterio de las paralelas. Si dos rectas son paralelas entonces los ángulos alternos-internos determinados por una secante común cualquiera son iguales. Además, si hay una secante común a dos rectas tal que los ángulos alternos-internos que determina son iguales, entonces las dos rectas son paralelas. En la figura siguiente, las rectas r y s son paralelas, ya que ˆ3 = ˆ5 y ˆ4 = ˆ6 .

¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? Usando el criterio de las paralelas se puede demostrar que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º. Dibuja un triángulo cualquiera y traza la paralela a uno de sus lados que pasa por el vértice opuesto. Comparando los ángulos que se forman podrás llegar a la demostración.

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2. Igualdad de polígonos Se dice que dos polígonos, con el mismo número de lados, son iguales o congruentes, si tienen los lados con la misma medida y los ángulos correspondientes son iguales. Ambas condiciones, igualdad de lados y de ángulos, son necesarias para que los polígonos sean iguales, no basta con una, como lo ilustran los siguientes ejemplos:

Los lados del cuadrado de la izquierda son iguales a los lados del rombo del centro, pero las figuras no son congruentes. El cuadrado y el rectángulo de la derecha tienen los mismos ángulos, pero no son iguales.

Congruencia o igualdad de triángulos Como ya se ha visto al repasar los puntos notables de un triángulo, los triángulos tienen muchas propiedades especiales. En relación con la congruencia o igualdad hay tres criterios que permiten deducir la congruencia de dos triángulos sin necesidad de comprobar la igualdad de los tres lados y los tres ángulos.

Intenta construir ( utilizando regla y compás) tres triángulos cuyas medidas de los lados sean: a) 3, 4 y 7

b) 2, 5 y 9

c) 4, 3 y 6

¿Puedes conjeturar alguna condición sobre las longitudes de los lados de un triángulo?

Dados dos segmentos y un ángulo : a) ¿es posible construir un triángulo cuyos lados sean los segmentos dados y tal que el ángulo comprendido entre ellos sea también el dado? b) ¿qué ocurre cuando el ángulo no es el comprendido entre los lados dados? Prueba con distintas medidas de los segmentos y el ángulo: (3, 6, 40º ) (3, 6, 20º) (3, 6 , 30º) c) ¿qué ocurre en el apartado anterior si el ángulo es de 90º y nos dan la medida de un cateto y la hipotenusa?

Dados un segmento y dos ángulos ¿es posible construir siempre un triángulo con estos tres parámetros? Primer Criterio de Igualdad de Triángulos (LAL). Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual. Segundo Criterio de Igualdad de Triángulos (ALA). Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y los ángulos que se apoyan sobre ese lado iguales. Tercer Criterio de Igualdad de Triángulos (LLL). Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales. Construye un triángulo isósceles y comprueba que tiene dos ángulos iguales. Construye un triángulo con dos ángulos iguales y comprueba que es isósceles. ¿Podríamos decir que es lo mismo ser triángulo equilátero que ser triángulo equiángulo?

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3. Proporcionalidad entre segmentos En un día soleado la sombra en el suelo de cualquier objeto cambia de acuerdo con la hora del día, esto es, depende de la posición del sol. Cuanto más alto esté el sol en el firmamento, más corta será la sombra del objeto. Haciendo un dibujo de esta situación, se puede ver que el rayo de sol junto con la sombra en el suelo y el objeto considerado forman un triángulo rectángulo. Midiendo estas longitudes en dos objetos de diferentes tamaños a la misma hora se puede comprobar que las relaciones que existen entre estas longitudes son constantes, cualesquiera que sean las unidades de medida que se consideren en esa medición. Así para dos personas, Juan y Pedro, se tiene que el cociente entre la altura de Juan y la longitud de su sombra, es el mismo que el cociente entre la altura de Pedro y la longitud de su sombra. Dicho cociente se llama Razón de proporción o de proporcionalidad. La razón de dos segmentos longitudes de ambos segmentos.

AB y A B es el número  = AB / A B, cociente de las

Se dice que los segmentos AB , CD son proporcionales a los segmentos A 'B' , C'D' si las razones entre los segmentos correspondientes son iguales: AB

=

CD

A'B' ...