2016 17 Dossier 5 Corrigé PDF

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microéconomie sorbonne...

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Dossier 5 – Le choix du producteur en concurrence parfaite

EXERCICE 1 – LE CHOIX DU PRODUCTEUR EN CONCURRENCE PARFAITE : UN CAS STANDARD On considère un producteur muni de la fonction de production définie par : q = f(q1 , q2) = q11/3 q21/2. 1. Combien de techniques de production sont-elles résumées dans une fonction de CobbDouglas ? Une infinité. 2. Peut-on représenter le même ensemble de techniques de productions avec la fonction g(∙) définie par : g(q1 , q2) = [f(q1 , q2)]6 = q12q23 ? Expliquer. Non. La fonction de production est cardinale. Le nombre q désigne la quantité d’output produite avec le panier d’inputs (q1 , q2). Ainsi, par exemple, le panier d’input (8 , 4) permet de produire une quantité égale à f(8 , 4) = 4 d’output et non une quantité égale à g(8 , 4) = 4096 (volume de production plus de mille fois supérieur). 3. Déterminer la nature des rendements d’échelle. Les rendements d’échelle sont décroissants [respectivement constants ou croissants] si, quel que soit le réel λ supérieur à 1, on a : f(λq1 , λq2) < λf(q1 , q2) [respectivement f(λq1 , λq2) = λf(q1 , q2) ou f(λq1 , λq2) > λf(q1 , q2)] Ici : f(λq1 , λq2) = (λq1)1/3 (λq2)1/2 = λ1/3λ1/2q11/3q21/2 = λ5/6q11/2q21/2 < λf(q1 , q2) Les rendements d’échelle sont donc décroissants. 4. Définissez la productivité marginale d’un input. Déterminer les productivités marginales des inputs (1) et (2) et montrer qu’elles sont décroissantes. On appelle productivité marginale de l’input (i) la quantité supplémentaire d’output qu’engendre l’utilisation d’« une unité » supplémentaire d’input (i). Comme la fonction de production est dérivable sur IR +2 , la productivité marginale de l’input (1) est donnée par la dérivée de la fonction de production par rapport à q1 : −2⁄

1⁄

𝑓𝑞′1 (q1 , q2) = 3 𝑞1 3 𝑞2 2 Elle est décroissante car sa dérivée est négative. En effet : 1

−5⁄

1⁄

𝑓𝑞′′2(q1 , q2) = 3 (− 3) 𝑞1 3𝑞2 2 < 0. 1 Même chose pour la productivité marginale de l’input (2) ; elle est donnée par la dérivée de la fonction de production par rapport à q2 : 2

1

1⁄

−1⁄

𝑓𝑞′2 (q1 , q2) = 𝑞1 3 𝑞2 2 2 Elle est décroissante car sa dérivée est négative. En effet : 1

1⁄

−3⁄ 2

𝑓𝑞′′2(q1 , q2) = 2 (− ) 𝑞1 3 𝑞2 2 1

2

1

< 0.

5. Définissez et calculez le TMST du producteur. Le taux marginal de substitution technique n’a de sens que si les inputs sont substituables. Il mesure en effet (approximativement) la quantité d’input 2 qu’il faut substituer à une unité d’input 1 pour rester sur la même isoquante, i.e. pour maintenir le même niveau de production. La fonction de production étant de type Cobb-Douglas, le TMST est donné par le rapport des productivités marginales. TMST(q1 , q2) =

𝑓𝑞′ 1 (𝑞1 , 𝑞2 )

𝑓𝑞′2 (𝑞1 , 𝑞2

= )

1 −2⁄3 1⁄2 𝑞 𝑞2 3 1 1 1 ⁄3 −1⁄ 2 𝑞 𝑞2 2 1

=

2𝑞2

3𝑞1

.

6. On considère le panier d’inputs (1 , 1). Quelle quantité d’output ce panier d’inputs permet-il de produire ? Définissez et représentez graphiquement l’isoquante passant par ce panier. Le panier (1 , 1) permet de produire une quantité d’output égale à : f(1 , 1) = 1. L’isoquante passant par (1 , 1) est la courbe reliant tous les paniers d’inputs permettant de produire la même quantité d’output que le panier (1 , 1), à savoir 1. Elle a pour équation : f(q1 , q2) = f(1 , 1) à savoir : q11/3 q21/2 = 1 ce qui donne : −2⁄ 3

q2 = 𝑞1

.

7. On note p1, p2 et p les prix des inputs 1 et 2 et de l’output. On suppose p1 = 1, p2 = 1 et p = 2. Représentez sur le même graphique que précédemment une droite d’isocoût passant par le panier d’inputs (1 , 1). Ce panier est-il une combinaison optimale d’inputs pour le producteur ? La droite d’isocoût passant par le panier (1 , 1) relie les paniers d’inputs coûtant le même montant que le panier (1 , 1). Ce sont donc les paniers (q1 , q2) vérifiant : p1q1 + p2q2 = p1 + p2. A savoir, pour p1 = p2 = 1 : q1 + q 2 = 2 ; ce qui donne : q2 = 2 – q1 . Au panier (1 , 1), la droite d’isocoût n’est pas tangente à l’isoquante. En effet, la valeur 2 absolue de la pente de la tangente à l’isoquante au point (1 , 1) est TMST(1 , 1) = alors 3 que la valeur absolue de la pente de la droite d’isocoût est 1.

Le panier n’est donc pas une combinaison optimale d’output. 8. Définissez économiquement le sentier d’expansion, déterminez son équation et représentez-le sur le même graphique. Le sentier d’expansion est l’ensemble des paniers d’inputs qui minimisent le coût de production d’une quantité d’output donnée ou qui maximisent la quantité d’output pour un coût donné. La fonction de production étant de type Cobb-Douglas, les isoquantes sont continues, décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. Le panier d’input (q1 , q2) qui maximise la quantité produite pour un coût donné vérifie donc l’équation : 𝑝 TMST(𝑞1 , 𝑞2 ) = 1. Pour p1 = p2 = 1, comme TMST(𝑞1 , 𝑞2 ) =

𝑝2 2𝑞2 , ceci donne : 3𝑞1 2𝑞2 = 1. 3𝑞1

L’équation du sentier d’expansion est donc :

3

q2 = 2q1. 9. Déterminez les demandes d’inputs et offre d’output du producteur et représentez graphiquement le panier d’inputs optimal du producteur. La fonction de profit du producteur est définie par : 𝜋(q1 , q2) = pf(q1 , q2) – p1q1 – p2q2 Ce qui donne, pour p1 = p2 = 1 et p = 2 : 𝜋(q1 , q2) = 2 q11/3 q21/2 – q1 –q2

Comme les isoquantes sont de type hyperbolique, cette fonction a un maximum au panier qui annule ses dérivées partielles premières. Le panier optimal d’inputs du producteur est donc la solution du système S : ′ (𝑞 , 𝑞 ) = 0 𝜋′𝑞1 1 2 . S {𝜋𝑞2 (𝑞1 , 𝑞2 ) = 0 −2⁄

1⁄

1 3 1 𝑞 ⁄3 𝑞 ⁄2 = 2 ( 3 𝑞1 𝑞2 2 ) – 1 = 0 2 3 1 Or S ⇒ { ⇒ {1 1⁄ −1⁄ 1 1⁄3 −1⁄2 𝑞 3 𝑞2 2 = 2 ( 2 𝑞1 𝑞2 ) – 1 = 0 2 1

3 𝑞2 = 2 𝑞1 ⇒ { 1⁄ −1⁄ 3 2 𝑞1 3 ( 𝑞1 ) = 1 2 3 2 2 𝑞2 = 2 𝑞1 𝑞2 = (3) . ⇒{ { 2 3 2 3 𝑞1 = ( 3) 𝑞1 = (3)

−2

⇒

1

𝑞2 = 𝑞1 2 3

{ 1−1 1 ⇒ 3 ⁄2 𝑞13 2 = ( ) 2

1

2 1 2

⇒

= 1

3𝑞21 2𝑞 1⁄ −1⁄ {𝑞1 3 𝑞2 2 3 𝑞2 = 𝑞1 2

{ −1 1 ⇒ ⁄ 3 ⁄2 𝑞1 6 = ( ) 2

Le panier optimal d’inputs du producteur est : (𝑞1∗ , 𝑞2∗ ) = ( , ). 27 9 Ce sont les demandes d’inputs du producteur. Son offre d’output est alors : q* = f( 27 , 9) = ( ) 27 8

8

4

1 1⁄ 3 4 ⁄2 (9)

𝜋(𝑞1∗ , 𝑞2∗) = 2q* – 𝑞1∗ – 𝑞2∗ = 2(49) − 27 − 9 = 9 − 27 = On peut remarquer qu’il n’est pas nul. 8

4

4

8

= 1

8

4

= (3)

8 12 − 27 27

2

=

3⁄ 3

(3) 2

2⁄ 2

𝑞2 = 𝑞1 2 3

{ 1 1 ⇒ ⁄ 2 ⁄2 𝑞1 6 = ( ) 3

2 2

= (3) = 9. 4

4 . 27

10. [FACULTATIF] Déterminez le montant du profit de ce producteur.

EXERCICE 2 – LE CHOIX DU PRODUCTEUR EN CONCURRENCE PARFAITE : CAS NON STANDARD. On considère un producteur de tables, la production de chacune exigeant une planche de bois et deux tréteaux de métal. La quantité q1 de bois (input 1) est mesurée par le nombre de planches, la quantité q2 de métal (input 2) par le nombre de tréteaux. La quantité q d’output est mesurée par le nombre de tables. 1. Parmi les équations suivantes, laquelle peut exprimer la fonction de production ? Expliquez. 𝑞1 𝑞 = 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑚𝑖𝑛 { , 𝑞2 } 2 𝑞2 𝑞 = 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑞1 , } 2 𝑞 = 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 + 2𝑞2 Si l’on désigne par q la quantité de tables, alors, avec une quantité q1 de planches de bois, on peut produire q = q1 tables (puisqu’avec une planche de bois on fait une table), à condition que les tréteaux soient en quantité suffisante. 1 De même, avec une quantité q2 de tréteaux, on peut produire q = q2 tables (puisqu’avec 2 2

tréteaux on fait une table) à condition que les planches de bois soit en quantité suffisante. 𝑞 1 Bref : q = min{𝑞1 , 2}. (remarque : si l’égalité q1 = q2 n’est pas vérifiée, il y a du gaspillage). 2

2

2. Définissez le sentier d’expansion et indiquez son équation. Le sentier d’expansion relie les paniers d’inputs permettant de maximiser le profit du producteur. Dans le cas d’une fonction de production à inputs complémentaires, comme c’est le cas ici, il relie les paniers d’inputs tels qu’il n’y a aucun gaspillage. 1

L’équation de ce sentier est donc : q1 = 2q2.l

3. Quelles particularités présente-t-il ? L’équation du sentier d’expansion ne dépend pas des prix (le producteur ne pouvant substituer de l’input (1) à l’input (2) ou réciproquement lorsque le rapport de prix des inputs se modifie).

EXERCICE 3 [FACULTATIF] On considère un producteur dont la fonction de production est : 𝑞2 = 𝑞1 . 2 1

1. l’input et l’output peuvent-ils être des quantités d’un même bien ? (justifiez) (1 pt). En théorie, on peut produire un bien avec lui-même (par exemple du blé avec du blé) sauf qu’ici la quantité d’output est inférieure à la quantité d’input. Donc il ne peut pas s’agir du même bien. 2. Définissez le sentier d’expansion et, si possible, donnez son équation (1 pt). Le sentier d’expansion relie les combinaisons d’inputs permettant de maximiser le profit du producteur, les prix des inputs étant donnés. Ici, il n’y a qu’un input (pas de combinaisons d’inputs), et, pour chaque quan tité q1 d’input, le producteur va maximiser son profit. 3. Déterminez la fonction de coût (1 pt). La fonction de coût associe à la quantité q produite le coût minimum pour produire q. Au prix p1 de l’input, produire une unité d’output coûte 2p1 puisqu’il faut 2 unités d’input pour produire une unité d’output. Comme les rendements sont constants (fonction de production homogène de degré 1), produire q unités d’output coûte donc 2p1q. La fonction de coût est donc la fonction C(∙) définie par : C(q) = 2p1q. 4. Déterminez la fonction d’offre concurrentielle (1 pt). Rendements constants :  Si p < 2p1, le producteur produirait à perte. Son offre est donc nulle.  Si p = 2p1, le profit du producteur est nul quelle que soit la quantité qu’il produit. Il produit n’importe quelle quantité : son offre est indéterminée.  Si p > 2p1, le producteur fait un profit positif pour chaque unité produite. Il a donc intérêt à produire le plus possible. S’il pense qu’il ne rencontrera aucun problème de débouché ni de rationnement, il veut produire l’infini. Son offre est infinie (ce qui est impossible).

COMMENTEZ CE PASSAGE DE John Hicks, "Marginal Productivity and the Principle of Variation," Economica, vol. xii, N°.35, February, 1932. « La théorie de la productivité marginale suppose qu’un changement dans le prix des inputs sera toujours suivi d’un changement dans les quantités de facteurs employés, c’est-à-dire qu’elle suppose que les techniques de production varient librement. Car si ce n’était pas le cas, il serait impossible de réorganiser effectivement les affaires avec une unité d’un facteur en moins, et les mêmes quantités des autres facteurs. La suppression d’une unité d’un facteur signifiera (…) qu’une partie de l’offre des autres facteurs devient complètement inutile. Si le prix d’une machine baisse alors que le prix du travail utilisé pour manœuvrer cette machine reste constant, il sera clairement dans l’intérêt de l’entrepreneur qui utilise les deux d’utiliser davantage de machines et moins de travail. Ce sera son intérêt mais il ne s’ensuit pas de cela qu’il le fera. Car si les machines sont fabriquées d’une manière telle qu’elles requièrent un et un seul travailleur pour les faire fonctionner, aucun changement des prix relatifs ne peut

entrainer de changement dans les quantités de travail et de machines utilisées : car les proportions sont déterminées par la technique ». Si le prix de input 1 augmente, le prix de l’input 2 étant constant, l’entrepreneur, pour produire une quantité donnée d’output, aura intérêt à augmenter sa demande d’input 2 et de diminuer sa demande d’input 1, i.e. à substituer l’un à l’autre, ce qui réduira son coût. Techniquement, modification de l’équation du sentier d’expansion. Pour expliquer cela, ne pas hésiter à utiliser le diagramme avec l'isoquante et la droite d'isocoût tangente à l'isoquante, en montrant qu'une variation du prix relatif (par exemple si p1 augmente, p2 restant constant), modifie (accroît) la pente de la droite d'isocoût, modifie le panier d'input optimal (ici en diminuant la qté de 1 et en augmentant la qté de 2). Hicks soulève une objection à ce raisonnement : le producteur peut ne pas pouvoir substituer, car cela suppose qu’existe une technique de production qui permette de produire autant d’output avec moins d’input 1 et plus d’input 2. Prendre n’importe quel exemple du type : un balayeur / 1 balai : prendre un balai en plus ne permet pas de se passer d’un balayeur. La substituabilité dans des fonctions faisant intervenir K et L suppose généralement que K est hétérogène (c’est la valeur de différents outils) ; alors on peut effectivement diminuer le nombre d’employés s’ils disposent d’aspirateurs. Mais en micro, les inputs ne désignent pas des valeurs (du capital) mais des biens physiques. Donc la substituabilité est difficilement concevable (en macro bien sûr, on tombe sur le problème de l’agrégation de biens différents en « un » bien « capital »).

EXERCICE 4 – LE CHOIX DU PRODUCTEUR EN CONCURRENCE PARFAITE (SUITE) : APPROCHE PAR LA FONCTION DE COUT

On considère la fonction de production de l’exercice 1 : q = f (q1 , q2) = q11/3 q21/2. 1. Définissez et construisez la fonction de coût, en supposant les prix des deux inputs égaux à 1. La fonction de coût est donc la fonction C(.) qui, à la quantité d’output q, associe le coût minimum pour produire q. Lorsque deux inputs sont utilisés en quantités q1 et q2 respectivement pour produire une quantité q d’output, le coût de production est p1q1 + p2q2. Et, les quantités d’input 1 et 2 nécessaires pour produire une quantité q d’output étant fonctions de cette quantité q, on peut donc noter q1 = q1(q) et q2 = q2(q). Le coût de production d’une quantité q d’output est alors noté : p1q1(q) + p2q2(q). La fonction C(.) est donc définie par C(q) = p1q1(q) + p2q2(q), où les quantités q1 et q2 permettent de produire la quantité q d’output au moindre coût. Les quantités q1 et q2 vérifient donc le système : 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞 Le panier permet de produire une quantité 𝑞 d′output S{ p TMST(𝑞1 , 𝑞2 ) = 1 au moindre coût (il est donc sur le sentier d′ expansion) p2

⁄ 1⁄2 =𝑞 1 𝑞2 𝑝 𝑞12𝑞32 𝑝1 𝑞2 2=3 1 3 6 Or S ⇒ { = 𝑞 𝑞 1 2 𝑝= 2 𝑞 3𝑞1 6⁄⇒ { 2 𝑝2 3 ⁄ 𝑞 2 1 𝑞1 = ( ) 5 𝑞 5 3 𝑝2 𝑝1 ⇒ . 2 3 𝑝1 ⁄5 6 ⁄ 5 {𝑞2 = (2 𝑝2) 𝑞

3 3 𝑞1𝑝) 𝑝 2 1 2 𝑞12 (𝑞2 = 1 3 𝑝2 ⇒{

= 𝑞6

𝑞 2 1

𝑝2 3 6 3𝑝𝑝1 ) 𝑞 13 2 5 𝑞1𝑞2==( 𝑝 𝑞1 2 2

⇒{

Ce sont les quantités optimales d’inputs. En remplaçant dans la fonction de coût, on 3 2⁄ 2 𝑝2 ⁄5 6⁄ 3𝑝 5 6 ) 𝑞 5 + p2( 1) 𝑞 ⁄5 3 𝑝1 2 𝑝2 2 3 2⁄ 3⁄ 6 2 ⁄5 3 ⁄5 = 𝑝1 5 𝑝2 5 𝑞 ⁄5 (( ) + ( ) ) 2 3

trouve donc : C(q) = p1( =

3 2 ⁄ 3⁄ 6 2 ⁄5 𝑝1 5 𝑝2 5 𝑞 ⁄ 5 ( ) 3

(1 +

Ce qui donne :

2⁄ 3⁄ 5 5 3 ( ) (2) ) 2 3

C(q) = 2 (3) 5 2

Pour p1 = p2 = 1, on trouve donc :

C(q)

3⁄ 5

3⁄

2⁄

𝑝1 5 𝑝2 5 𝑞 3

5 2 5 = 2 ( ) 𝑞 5 3 6

6⁄ 5

=

2. Comment le coût varie-t-il lorsque la quantité d’output augmente ? Que pouvez-vous dire de la nature des rendements d’échelle ? Le coût moyen est une fonction croissante de q. Le coût marginal est croissant. Le coût de production augmente de plus en plus avec la quantité produite. Les rendements d’échelle sont donc décroissants (attention, le coût de production est calculé le long du sentier l’expansion, le long duquel les inputs n’augmentent pas nécessairement dans les même proportions). 3. Déterminez le choix concurrentiel du producteur, en supposant de prix de l’output égal à 2.

Le profit π() ne dépend que d’une seule variable, la quantité produite q : 3

π (q) = pq – C(q) = 2𝑞 − 2 ( ) 𝑞5 5 2 5 3

6

Le coût marginal étant croissant, cette fonction a un maximum en q* si π(q*) = 0. Ce qui donne : 3

6 5 2 5 1 × 2 ( ) 𝑞 5 5 3

D’où :

Et en conséquence :

1 𝑞5

=2 3

2 3 5 = ( ) 3 2

𝑞 =(

2

3

94 3 ) ( ) = 3 2 5

On considère la fonction de production q = f (q1 , q2) = q12/3 q22/3, 4. Quelle est la nature des rendements d’échelle ? Croissants. Fonction homogène de degré 4/3. 5. Quel est le choix optimal du producteur en concurrence parfaite ? Incompatible avec la concurrence parfaite car offre et demandes infinies. EXERCICE 5. LE CHOIX DU PRODUCTEUR EN CONCURRENCE PARFAITE (FIN) On considère un producteur muni de la fonction de production définie par : q = f (q1 , q2) = q11/2 q21/2. 1. Déterminer la nature des rendements d’échelle. f(λq1 , λq2) = (λq1)1/2 (λq2)1/2 = λ1/2λ1/2q11/4q21/2 = λq11/4q21/2 = λf(q1 , q2) Les rendements d’échelle sont donc constants. 2. Déterminer le coût de production minimum d’une unité d’output. Le panier d’inputs permettant de produire une unité d’output au moindre coût vérifie les deux équations du système : 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 ) = 1 𝐿𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑑′𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 S{ 𝑝1 TMST(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑐𝑜û𝑡 (𝑖𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑑 ′ 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛) 𝑝 Or S ⇒

1⁄ 1⁄ 𝑞1 2 𝑞2 2 = { 𝑞2 𝑝1 𝑞1

=

𝑝2

2

1

𝑞1 = 𝑞 𝑞1 = 𝑞 𝑞1 𝑞2 = 1 2 2 ⇒ { ⇒ { ⇒ { 𝑝1 𝑝1 ⇒ 𝑝 1 1 2 𝑞2 = 𝑝 𝑞1 𝑞2 = 𝑝 𝑞2 = 2 𝑞 𝑝2

1

1

2

Le coût de production minimum d’une unité d’output est alors:

2

1 cu = 𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 𝑝1 √𝑝 2 + 𝑝2 √ 𝑝 = 2√𝑝1 𝑝2 .

𝑝

1

𝑝

𝑞1 = √

{

𝑝2

𝑝1

𝑞2 = √ 𝑝

𝑝1

.

2

2

3. Déterminer la fonction de coût Les rendements étant constants, on a : C(q) = 𝑐𝑢 × 𝑞 = 2√𝑝1 𝑝2 × 𝑞.

4. En déduire l’offre concurrentielle d’output, les demandes concurrentielles d’inputs. Le coût de production unitaire est le même quelle que soit la quantité d’output produite puisque les rendements sont constants. L’offre concurrentielle d’output s(∙) est donc définie par :  s(p) = 0 si p < 2√𝑝1 𝑝2  s(p) est indéterminée si p = 2√𝑝1 𝑝2  s(p) est indéfinie si p > 2√𝑝1 𝑝2

5. [FACULTATIF] En déduire le montant du profit de ce producteur. Comparer avec le profit du producteur de l’exercice 1. Commenter. Profit nul si p < 2√𝑝1 𝑝2, car alors l’offre d’output est nulle, Profit nul si p = 2√𝑝1 𝑝2, car alors le prix de vente de l’unité d’output est égal à son coût de production. Profit indéfini sinon. La nullité du profit n’est pas une conséquence de la concurrence parfaite mais de la constance des rendements....