Esercizi svolti e commentati su onde elettromagnetiche PDF

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Summary

Una serie di esercizi sulle onde elettromagnetiche con complessita crescente, svolti e commentati.
È svolta sia l'analisi letterale, numerale e dimensionale di ogni quantità....

Description

Onde elettromagnetiche Esame 28/04/2017 Un’onda elettromagnetica piana è sovrapposizione di due onde armoniche. Il campo magnetico della prima onda è 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐵1 (𝑥, 𝑡) = 𝐵1 cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡 + 𝜙 ) 𝑧 ed il campo elettrico della seconda onda è 󰇍󰇍󰇍󰇍𝐸2(𝑥, 𝑡) = 𝐸2 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑧 . Stabilire direzione e verso di propagazione dell’onda e determinare il campo magnetico totale dell’onda risultante. Determinare lo stato di polarizzazione dell’onda risultante nei due casi con 𝜙 = 0 e 𝜙 = 𝜋⁄ 2. Soluzione

Per stabilire direzione e verso di propagazione dell’onda osserviamo in particolar modo la fase di entrambi i campi. Si nota che entrambe dipendono dal fattore ky, di conseguenza la direzione di propagazione sarà lungo l’asse y. Per determinare il verso di propagazione si osserva la combinazione tra parte spaziale e parte temporale della fase, il termine ky-wt indica che il verso di propagazione lungo l’asse y è quello positivo. Il campo magnetico totale dell’onda risultante sarà somma dei due contributi generati dai due campi: 󰇍 (𝑦, 𝑡) = 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐵1 (𝑦, 𝑡) + 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐵2(𝑦, 𝑡) 𝐵

Il primo è già noto, resta da determinare il campo magnetico della seconda onda. Conoscendo di quest’ultima il campo elettrico, possiamo risalire al campo magnetico utilizzando la legge di Faraday. 𝑥 𝑑 𝑑 󰇍 | ∇ × 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐸2 = − 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑥 0

𝑦 𝑧 𝑑 𝑑 𝑑 [𝐸 sin (𝑘𝑦 − 𝜔𝑡)]𝑥 = 𝐸2 𝑘 cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 |= 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 2 0 𝐸2𝑧 𝐸2 𝑘 cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 = −

𝑑 󰇍 𝐵 𝑑𝑡

Integrando questa relazione, ricaviamo il campo magnetico associato alla seconda onda armonica 𝑡

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐵2 (𝑦, 𝑡) = −𝐸2 𝑘 ∫ cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 𝑑𝑡 = −𝐸2 0

𝑘 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 𝜔

Per cui si può scrivere il campo magnetico risultante in forma estesa come segue 󰇍 (𝑦, 𝑡) = 𝐵1 cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡 + 𝜙 ) 𝑧 − 𝐸2 𝐵

𝑘 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 𝜔

Per determinare lo stato dell’onda si considerano i due casi studio. È indifferente utilizzare campo magnetico o campo elettrico risultante, perché giacciono sullo stesso piano in direzioni ortogonali tra loro. Considerando il campo magnetico che abbiamo ricavato, per 𝜙 = 0 si ottengono le seguenti componenti: 𝐵𝑧 = 𝐵1 cos(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡)

𝐵𝑥 = −𝐸2

Sfruttando l’identità trigonometrica cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 :

𝐵𝑧2 𝐵𝑥2 =1 2 + 𝐵1 𝐸2 𝑘 2 ) ( 𝜔

𝑘 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝜔

Che rappresenta l’equazione di un’ellisse, quindi la polarizzazione è ellittica. Inoltre, si nota come al crescere della fase la componete z decresce e la componente x, data la presenza del segno meno, anch’essa decresce e quindi la ro tazione è antioraria. Per 𝜙 =

𝜋

2

𝜋 󰇍 (𝑦, 𝑡) = −𝐵1 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑧 − 𝐸2 sin(𝑘𝑦 − 𝜔𝑡) 𝑥 considerando che cos(𝑥 + ) = − sin 𝑥 → 𝐵 𝜔 𝑘

2

1

Il comportamento delle componenti è uguale, di conseguenza la polarizzazione è lineare. La direzione di polarizzazione si esprime come tan(𝜃) =

𝐸2𝐵𝑘1 𝜔

Un'onda elettromagnetica piana di pulsazione 𝜔 = 3 ∙ 1011 𝑟𝑎𝑑/𝑠 si propaga nel vuoto, il campo elettrico ha una 󰇍 (𝑥, 𝑡) = 𝐸0 [𝑘𝑦 − 𝑤𝑡 ] 𝑥 . Scrivere l'espressione delle componenti del campo elettrico lungo y e z tali che componente 𝐸 𝑥 𝜋 l'onda elettromagnetica risulti polarizzata linearmente ed il piano di polarizzazione formi un angolo di col piano x-y. 4 Se l'onda si propaga nel rame la cui conducibilità statica vale 𝜎0 = 6 × 107 e 𝜏 = 2.5 × 10−14 , calcolare la lunghezza di assorbimento dell'onda. Soluzione Esame 07/02/2018

Il piano di polarizzazione deve formare l’angolo di 𝜃 = 4 con il piano x-y. Il piano di polarizzazione è individuato dalla 𝜋

direzione di propagazione, che in questo caso è y, e dalla direzione di polarizzazione. L’angolo dipende quindi dall’inclinazione della direzione di polarizzazione rispetto l’asse x. 𝐸0 𝜋 tan ( ) = 𝑧 = 1 4 𝐸0 𝑥

Le due componenti devono essere descritte dalla stessa relazione trigonometrica e avere la stessa fase affinché l’angolo sia costante. Quindi è possibile scrivere l’equazione del campo elettrico come segue: 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸0 𝑥 cos(𝑘𝑦 − 𝑤𝑡) 𝑥 + 𝐸0 𝑧 cos(𝑘𝑦 − 𝑤𝑡) 𝑧

Osserviamo che l’onda si trova in condizioni di basse frequenze, infatti

𝜔𝜏 = 7.5 × 10−3 ≪ 1

Quindi la lunghezza di assorbimento è descritta dalla relazione: 𝜆=√

𝜖0 𝑐 2 2 𝜎0 𝜔

2

Esempio 13.1 Pag. 496

Un’onda elettromagnetica piana di frequenza 𝑓 = 7.5 ∙ 1014 𝐻𝑧 si propaga nel vuoto lungo l’asse x. Essa è polarizzata linearmente con il campo elettrico E che forma con il piano x-y un angolo 𝜃 = 30°, ed ha ampiezza 𝐸0 = 103 𝑉/𝑚. Scrivere l’equazione dell’onda e calcolare l’ampiezza del campo magnetico. Soluzione Ricaviamo i parametri caratteristici dell’onda: Lunghezza d’onda: 𝜆 = =

Numero d’onde: 𝑘 =

2𝜋 𝜆

𝑐

𝑓

3∙108

7.5∙1014

= 0.4 ∙ 10−6 𝑚

= 1.57 ∙ 107 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Pulsazione: 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 4.71 ∙ 1015 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Le ampiezze delle componenti del campo elettrico sono: 𝐸0 𝑧 = 𝐸0 cos 𝜃 = 103 ∙

𝐸0 𝑦 = 𝐸0 sin 𝜃 = 103 ∙

E quindi

𝐸𝑦 = 𝐸0 𝑦 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 103 ∙

𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑧 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 103 ∙

√3 2 1 2

𝑉 √3 sin(1.57 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 4.71 ∙ 1015 ∙ 𝑡) 2 𝑚

𝑉 √3 sin(1.57 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 4.71 ∙ 1015 ∙ 𝑡) 2 𝑚

Da cui si ottengono le ampiezze delle componenti del campo magnetico: 𝐵0𝑧 =

𝐸0𝑧 = 2.89 ∙ 10−6 𝑇 𝑐

E quindi l’ampiezza complessiva del campo magnetico

&

𝐵0𝑦 =

𝐸0𝑦 = 1.67 ∙ 10−6 𝑇 𝑐

2 2 𝐵0 = √𝐵0𝑧 + 𝐵0𝑦 = 3.34 ∙ 10−6 𝑇

3

Esempio 13.2 Pag. 497 Un’onda elettromagnetica piana polarizzata ellitticamente, che si propaga nel vuoto lungo l’asse x, ha i due semiassi di valore 𝐸0𝑦 = √3 𝐸0 e 𝐸0𝑧 = √2 𝐸0 , con 𝐸0 = 103 . 𝑚 Scrivere l’equazione dell’onda. 𝑉

La frequenza dell’onda è 𝑓 = 4.3 ∙ 1014 𝐻𝑧.

Soluzione Ricaviamo prima i parametri caratteristici dell’onda:

Lunghezza d’onda: 𝜆 = 𝑓 =

Numero d’onde: 𝑘 =

2𝜋 𝜆

𝑐

3∙108

4.3∙1014

= 0.7 ∙ 10−6 𝑚

= 0.9 ∙ 107 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Pulsazione: 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2.7 ∙ 1015 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Le componenti del campo elettrico dell’onda sono:

𝐸𝑦 = 𝐸0𝑦 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 ) = √3 𝐸0 sin(0.9 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 2.7 ∙ 1015 ∙ 𝑡 )

𝐸𝑧 = 𝐸0𝑧 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 ) = √2 𝐸0 cos(0.9 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 2.7 ∙ 1015 ∙ 𝑡 )

L’equazione dell’ellisse è:

𝐸𝑧 𝐸𝑦 ) =1 ) +( ( √2𝐸0 √3𝐸0𝑦 2

2

Se vogliamo ricavare le componenti del campo magnetico, sfruttiamo la linearità con il parametro c: 𝐵𝑦 =

𝐵𝑧 =

𝐸𝑦 √3 = 𝐸 sin(0.9 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 2.7 ∙ 1015 ∙ 𝑡 ) 𝑐 𝑐 0

𝐸𝑧 √2 𝐸 cos(0.9 ∙ 107 ∙ 𝑥 − 2.7 ∙ 1015 ∙ 𝑡 ) = 𝑐 0 𝑐

4

Esempio 13.3 Pag. 500 Dedurre l’espressione dell’intensità delle onde elettromagnetiche piane degli esempi 13.1 (lineare) e 13.2 (ellittica). Trovare inoltre un’espressione per l’intensità di un’onda elettromagnetica polarizzata circolarmente e di un’onda elettromagnetica non polarizzata. Si consideri n=1. Soluzione

A tutti i casi da esaminare applichiamo la definizione 𝐼 = 𝜀 𝜐 (𝐸 2 )𝑚 = 𝜀 𝜐 𝐸02 = 1

2

a) Onda polarizzata linearmente

𝐸02 2 𝑍0

L’intensità trasportata da un’onda elettromagnetica polarizzata linearmente vale: 𝐼=

1 1 𝜀 𝜐 𝐸02 = 𝜀 𝜐 [(𝐸0 cos 𝜃)2 + (𝐸0 sin 𝜃)2 ] = 𝐼 cos 2 𝜃 + 𝐼 sin2 𝜃 2 2

b) Onda polarizzata ellitticamente

In questo caso ricorriamo alla prima forma:

2 𝐼 = 𝜀 𝜐 (𝐸 2 )𝑚 = 𝜀 𝜐 (𝐸𝑦2 + 𝐸𝑧2 ) = 𝜀 𝜐 [𝐸0𝑦 sin2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐸20𝑧 cos 2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]

Dunque l’intensità dell’onda è

𝐼 = 𝐼𝑦 + 𝐼𝑧 = c) Onda polarizzata circolarmente

2 𝐸20𝑧 𝐸0𝑦 1 1 2 + 𝜀 𝜐 𝐸0𝑦 + 𝜀 𝜐 𝐸20𝑧 = 2 𝑍0 2 𝑍0 2 2

L’onda polarizzata circolarmente è contraddistinta da componenti identiche, quindi 𝐸0𝑦 = 𝐸0𝑧 = 𝐸0 , per cui: 𝐼 = 𝜀 𝜐 𝐸02 =

d) Onda piana non polarizzata

𝐸02 𝑍0

→

𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

𝐸02 1 𝜀 𝜐 𝐸02 = 2 𝑍0 2

In media le componenti di un’onda elettromagnetica, anche se non polarizzata, devono essere uguali tra loro e quindi 𝐸 uguali a , ovvero deve valere l’uguaglianza : √2

Pertanto, l’onda sarà caratterizzata da:

(𝐸𝑦2 )𝑚 = (𝐸𝑧2 )𝑚 =

𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

𝐼 → 2

1 2 (𝐸 )𝑚 2

1 𝐸02 𝐼 = 𝜀 𝜐 (𝐸02 )𝑚 = 2 𝑍0 2

5

Esercizio 9.2 -PoliTo Un’onda elettromagnetica piana sinusoidale, di frequenza =100 KHz, polarizzata linearmente, si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse x. Se il campo elettrico ha ampiezza E0=10 V/m quanto vale l’ampiezza del campo magnetico? Si determinino le espressioni in funzione del tempo del campo elettrico e magnetico se all’istante t 1= 7.5 s nel punto di ascissa x1=57m il campo elettrico ha componente E1=E0=10 V/m secondo l’asse y. Soluzione Per ottenere l’ampiezza del campo magnetico, conoscendo l’ampiezza del campo elettrico, sfruttiamo la relazione che lega i due campi: 󰇍|= |𝐵

|𝐸󰇍 | 𝑐

→

𝐵0 =

10 𝐸0 = = 33.3 ∙ 10−9 𝑇 𝑐 3 ∙ 108

Determiniamo la relazione che descrive il campo elettrico, che sarà nella forma:

𝐸0 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) → 𝐸0 sin[𝑘(𝑥1 − 𝑥0 ) − 𝜔𝑡1 ] = 𝐸1 = 𝐸0

sin[𝑘(𝑥1 − 𝑥0 ) − 𝜔𝑡1 ] = 1 ⟶ 𝑘(𝑥1 − 𝑥0 ) − 𝜔𝑡1 = 𝑥0 = 𝑥1 −

𝜔 1 𝜋 𝑡 − (2 𝑛 + ) 𝑘 1 𝑘 2

𝜋 + 2𝜋 𝑛 2

Quindi si risale alle equazioni dei due campi con le relazioni seguenti: 𝑬 = 𝑬𝟎 sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝜔𝑡]

&

𝑩=

𝑬𝟎 cos[𝐾(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝜔𝑡] 𝑐

Il vettore di Poynting di un’onda elettromagnetica piana nel vuoto è dato da 𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑆0 cos2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝒖𝒙 ed è orientato quindi lungo il semiasse positivo delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano (x,y,z). Il valore dell’ampiezza 𝑆0 = 40 𝑊/𝑚 3 , il numero d’onda 𝑘 = 20 𝑚−1 e la pulsazione angolare  vale 3 ∙ 109 𝑠 −1 . Calcolare la lunghezza d’onda , la frequenza dell’onda e il valore dei moduli del campo elettrico E e del campo magnetico B. Esercizio 9.5 – PoliTo

Soluzione Ricordando le relazioni delle caratteristiche di un’onda elettromagnetica: Lunghezza d’onda: 𝜆 =

2𝜋 𝑘

Frequenza dell’onda: 𝜐 =

=

1

𝑇

2𝜋

20

=

𝜔

= 0.314 𝑚

2𝜋

=

3∙109 2𝜋

= 0.48 ∙ 109 𝐻𝑧

Per determinare il valore dei moduli di entrambi i campi, ricordiamo la definizione del vettore di Poynting 𝑆 = 󰇍|= noto che |𝐵

|𝐸󰇍| 𝑐

, allora è possibile scrivere: |𝑆| =

󰇍| 1 |𝐸 1 󰇍 | = |𝐸 󰇍 |∙ |𝐸󰇍 | ∙ |𝐵 𝜇0 𝜇0 𝑐

Da cui ricaviamo direttamente il modulo del campo elettrico e di conseguenza il campo magnetico. |𝐸󰇍 | = √|𝑆| ∙ 𝜇0 ∙ 𝑐 = 122.8 𝑉/𝑚 |𝐵󰇍 | =

󰇍| |𝐸 = 4.09 ∙ 10−7 𝑇 𝑐

6

1

𝜇0

󰇍 𝐸󰇍 × 𝐵...