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ESFUERZOS PRINCIPALES Se basa en el estado general de esfuerzo el plano, es decir, se representa mediante la combinación de dos componentes de esfuerzo normal 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 , y una componente de esfuerzo cortante 𝜏𝑥𝑦 que actúan sobre cuatros caras del elemento.

Figura 1. Estado general de esfuerzo plano. (Hibbeler, 2011)

Al establecer una convención de signos se obtiene que los ejes +x y +x’ se usan para definir la normal hacia afuera, siendo así que 𝜎𝑥 y 𝜎𝑥′ son positivos ya que actúan en las direcciones positivas de los ejes x y x’, y 𝜏𝑥𝑦 y 𝜏𝑥′𝑦′ son positivos cuando actúan en las direcciones de y y y’.

Figura 2. Convención de signos. (Hibbeler, 2011)

•

Componentes de esfuerzo normal y cortante

A partir del diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial resultante se obtiene los esfuerzos, aplicando las ecuaciones de equilibrio para determinar las

componentes

desconocidas de esfuerzo normal y cortante.

1

Suponiendo que el elemento tiene como área ΔA, por lo

tanto su cara horizontal es ∆𝐴 sin 𝜃 y su cara vertical es ∆𝐴 cos 𝜃.

Figura 3. Elemento diferencial en rotación. (Hibbeler, 2011)

Figura 4. Diagrama de cuerpo libre con sus esfuerzos. (Hibbeler, 2011)

+↑ ∑ 𝐹𝑥′ = 0

𝜎𝑥′ ∆𝐴 − (𝜏𝑥𝑦∆𝐴 sin 𝜃) cos 𝜃 − (𝜎𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃) sin 𝜃 − (𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 𝜃) cos 𝜃 − (𝜎𝑥 ∆𝐴 cos 𝜃) cos 𝜃 = 0

𝝈𝒙′ = 𝝈𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽 + 𝝈𝒚 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 + (𝝉𝒙𝒚∆𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜽) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝝉𝒙𝒚(𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽) +↑ ∑ 𝐹𝑦′ = 0

𝜏𝑥′𝑦′∆𝐴 + (𝜏𝑥𝑦∆𝐴 sin 𝜃) sin 𝜃 − (𝜎𝑦 ∆𝐴 sin 𝜃) cos 𝜃 − (𝜏𝑥𝑦 ∆𝐴 cos 𝜃) cos 𝜃 − (𝜎𝑥 ∆𝐴 cos 𝜃) sin 𝜃 = 0

𝝉𝒙′𝒚′ = (𝝈𝒚 − 𝝈𝒙 ) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝝉𝒙𝒚(𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜽) Aplicando identidades trigonométricas: • • •

2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 sin2 𝜃 =

cos 2 𝜃 =

1−cos 2𝜃 2

1+cos 2𝜃 2

2

Se obtiene las siguientes formulas: •

Esfuerzos normales 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥′ =

•

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

+

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 2

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 − 2 2

Esfuerzo cortante 𝜏𝑥′𝑦′ = −

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2

sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃

Figura 5. Esfuerzos con inclinación. (Hibbeler, 2011)

Los esfuerzos principales son los valores mínimos y máximos de los esfuerzos normales, por lo que los planos de aplicación de estos esfuerzos se obtienen a través de la diferenciación de la ecuación: 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 𝑑𝜎𝑥′ (2sin 2𝜃) + 2𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 =0=− 2 𝑑𝜃 𝝉𝒙𝒚 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝜽𝒑 = 𝝈 − 𝝈 𝒙 𝒚 𝟐

La solución tiene dos raíces 2𝜃𝑝1 y 2𝜃𝑝2 los cuales están separados por 180º, estos son

utilizados en la ecuación 𝜎𝑥′ =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2

+

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

funciones seno y coseno a través del plano στ.

cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃, o bien sea obteniendo las

3

Figura 6. Plano στ, (Hibbeler, 2011)

A partir de la siguiente ecuación, dependiendo del signo elegido el resultado será el esfuerzo

normal máximo o mínimo que actúa en un punto del plano, es decir cuando 𝜎1 ≥ 𝜎2 , estos

valores son denominados esfuerzos principales de los ejes en donde actúan estos se llaman planos principales de esfuerzo. Es importante denotar que ningún esfuerzo cortante actúa sobre los planos principales. 𝜎1,2 =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ) + 𝜏𝑥𝑦 2 ± √( 2 2

Figura 7. Esfuerzos principales en el plano. (Hibbeler, 2011)

4

APLICACIÓN: CIRCULO DE MOHR La aplicación de este método permite visualizar la variación de las componentes del esfuerzo normal 𝜎𝑥′ y cortante 𝜏𝑥′𝑦′ de acuerdo con la orientación de las diferentes direcciones del plano sobre el que actual. Se tienes las ecuaciones:

𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑅 = √(

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 ) + 𝜏 𝑥𝑦2 2

Estableciendo los ejes de coordenadas, 𝜎 positivo a la derecha y 𝜏 positivo hacia abajo,

graficando esto se representa un circulo con radio R y centro sobre el eje 𝜎 en el punto ( 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 ,

0).

Figura 8. Circulo de Mohr. (Hibbeler, 2011)

Cada punto en el círculo representa las dos componentes de esfuerzo 𝜎𝑥′ y 𝜏𝑥′𝑦′, que actúan

sobre el lado del elemento definido eje x’, cuando en la dirección especifica de θ. Si 𝜃 = 0°, entonces 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 , 𝜏𝑥′𝑦′ = 𝜏𝑥𝑦 , a estos se le llama punto de referencia y sus coordenadas son 𝐴(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ).

Considere que el eje x’ gira 90º en sentido antihorario, entonces 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑦 , 𝜏𝑥′𝑦′ = −𝜏𝑥𝑦, donde sus coordenadas son 𝐺(𝜎𝑦 , −𝜏 𝑥𝑦) en el círculo.

Una rotación de 𝜃 del eje x’ sobre el elemento corresponderá a una rotación 2𝜃 sobre el círculo en la misma dirección.

El círculo de Mohr puede usarse para determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal asociado, así como el esfuerzo en cualquier plano arbitrario (Hibbeler, 2011). 5

Figura 9. Trazado de coordenadas en Círculo de Mohr. (Hibbeler, 2011)

Construcción del círculo de Mohr: •

Dibujar un sistema de coordenadas con 𝜎 como abscisa, positivo hacia la derecha, y τ como coordenada, positivo hacia abajo.

•

Localizar el centro C del circulo en el punto de coordenadas 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 y 𝜏 = 0. 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

•

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

Localizar los puntos 𝐴(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) y 𝐺(𝜎𝑦 , −𝜏𝑥𝑦) en el plano 𝜎𝜏 , trazar una recta que

una a ambas coordenadas. Esta línea es el diámetro del círculo y pasa por el punto C.

•

Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos A y B. El círculo debe tener un radio R. 𝑅 = √(

•

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2

2

) + 𝜏 𝑥𝑦2

Los esfuerzos principales se calculan con: 𝜎1,2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 ± 𝑅

•

Calculo de ángulo θ de la ecuación 2𝜃 = tan (

•

2𝜏 𝑥𝑦 ) 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

El cálculo cortante máximos y mínimo 𝜏 𝑚á𝑥 = ±𝑅 𝑚ñ𝑖𝑛

6

Figura 10. Círculo de Mohr. (Juárez Luna)

Bibliografía Hibbeler, R. C. (2011). Mecánica de Materiales (Octava ed.). México: PEARSON EDUCACIÓN. Juárez

Luna, G. (s.f.). Universidad Autónoma Metropolitana. http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/MA10_I/S6.pdf

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