TEMA II. Esfuerzos en Vigas PDF

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Esfuerzos en VigasVigas estáticamente determinadas e indeterminadasRecuerde la definición de una viga.Una viga es un miembro que soporta cargas transversales, es decir, perpendiculares a su eje largo. Cuando se analiza una viga para determinar reacciones, fuerzas cortantes internas y momentos flexio...

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Esfuerzo Esfuerzoss en Vigas Vigas estáticamente determi determinadas nadas e indeterminadas Recuerde la definición de una viga.

Una viga es un miembro que soporta cargas transversales, es decir , perpendiculares a su eje largo. Cuando se analiza una viga para determinar reacciones, fuerzas cortantes internas y momentos flexionante internos, conviene clasificar el patrón de carga, el tipo de apoyos y el tipo de viga. Las vigas se someten a varios patrones de carga, incluidos: Cargas concentradas normales Cargas concentradas inclinadas Cargas uniformemente distribuidas Cargas distribuidas variables Momentos concentrados Los tipos de apoyo incluyen: Apoyo simple de rodillo Apoyo de pasador Apoyo fijo Los tipos de viga incl incluyen: uyen: Vigas simplemente apoyadas; o vigas simples Vigas salientes Vigas en voladizo; o voladizas Vigas compuestas Vigas continuas De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos grandes grupos de vigas: Vigas estáticamente determi determinadas nadas 1.1.1 Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas: en estas vigas el número de reacciones externas coincide con el número de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos: Las vigas se describen por la manera en que están apoyadas.

Viga Simplemente Apoyada o viga simple: está articulada en un extremo y tiene soporte de rodillo en el otro.

La característica esencial de un apoyo articulado es que evita la translación en el extremo de una viga pero no evita su rotación. De esta manera, el extremo A de la viga de la figura 4 no puede moverse horizontal o verticalmente pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura. En consecuencia, un apoyo articulado es capaz de desarrollar una fuerza de reacción con componentes tanto horizontal como vertical (HA y RA), pero no puede desarrollar una reacción de momento. En el extremo B de la viga (figura ) el apoyo de rodillo evita la translación en la dirección vertical pero no en la dirección horizontal; de aquí que este apoyo puede resistir una fuerza vertical (RB) pero no una fuerza horizontal. Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A. Las reacciones verticales en los apoyos de rodillo y en los apoyos articulados pueden actuar hacia arriba o hacia abajo y la reacción horizontal en el apoyo articulado puede actuar hacia la izquierda o hacia la derecha. Viga en Cantiliver o Voladizo: esta empotrada en un extremo y está libre en el otro. La viga que se muestra en la figura, que está fija en un extremo y libre en el otro, se denomina viga en voladizo. En el apoyo fijo (o apoyo empotrado) la viga no puede trasladarse ni girar, en tanto que en el extremo libre puede hacer ambas cosas. En consecuencia, en el apoyo empotrado pueden existir tanto reacciones de fuerza como de momento.

Viga con Saliente: descansa sobre dos apoyos, de tal manera que se extiende con libertad más allá del apoyo de uno o de ambos extremos.

Vigas estáticamente indetermina indeterminadas das 1.1.2 - Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas: presentan un número mayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas presentan al menos una condición de sujeción adicional a las

mínimas requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en isostáticas. A continuación se muestran algunos ejemplos: Viga Cantiliver Apoyado: esta fijo en un extremo y tiene soporte de rodillo en el otro.

Viga Doblemente Apoyada: tiene ambos extremos libres fijos contra la rotación.

Viga Continua: está apoyada en tres o más soportes.

2.3. R Relación elación Carga – Fuerza Cor Cortante tante – Momento Flector Fuer zascor t ant esymoment osflexi onant esenvi gas Los elementos estructurales suelen clasificarse de acuerdo con los tipos de cargas que soportan. Por ejemplo, una barra cargada axialmente soporta fuerzas con sus vectores dirigidos a lo largo del eje de la barra y una barra en torsión soporta pares de torsión (o pares) que tienen sus vectores momento dirigidos a lo largo del eje. En este capítulo, iniciamos nuestro estudio de las vigas (figura 4.1), que son elementos estructurales sometidos a cargas laterales, es decir, fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Las vigas que se muestran en la figura 4.1 se clasifican como estructuras planares debido a que yacen en un solo plano. Si todas las cargas actúan en ese mismo plano y si todas las deflexiones (indicadas por las líneas discontinuas) también ocurren en ese plano, entonces nos referimos a éste como el plano de flexión. En este capítulo analizamos las fuerzas cortantes y los momentos flexionante en vigas y mostraremos cómo estas cantidades están relacionadas entre sí y con las cargas. La determinación de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionante es un paso esencial en el diseño de cualquier viga. Por lo general, no sólo necesitamos conocer los valores máximos de estas también la manera en que varían a lo largo del eje de la

viga cantidades, sino. Una vez que se conocen las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes podemos determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y las deflexiones, como se analiza en los capítulos 5, 6 y 9. Una viga se desarrolla dos clases de esfuerzos, esfuerzos cortantes y esfuerzos flexionantes. Los esfuerzos cortantes se desarrollan en la viga porque las fuerzas cortantes tienden a cizallar, o cortar, la viga. El esfuerzo flexionante se desarrolla porque los momentos flexionantes internos tienen tienden a flexionar la viga de tal modo que esta adopte una forma curva. Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos se producen en reacción a las fuerzas y momentos externos aplicados a la viga. Recuerde lo que hizo en la actividad. Antes de estudiar los esfuerzos flexionantes y las fuerzas cortantes propiamente dichas, este capítulo le ayudara a visualizar y a calcular los valores de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos. Cada uno depende de la naturaleza de las cargas aplicadas en la viga y la forma en que está apoyada. Definimos las fuerzas cortantes como sigue: Las fuerzas co cortantes rtantes son fuerzas internas generadas en el material de una viga par para a equilibr equilibrar ar las fuerzas ex externas ternas aplicadas y gar garantizar antizar el equilibrio de todas sus part partes es es.. Aun cuando las fuerzas cortantes internas pueden actuar en cualquier dirección, tenemos que considerar primero aquellas que actúan perpendiculares al eje largo de la viga. Como en general visualizamos vigas en posición horizontal que soportan cargas que actúan verticalmente dirigidas hacia abajo, estas fuerzas cortantes internas en general actúan verticalmente. Por lo tanto, nos referimos a ellas como fuerzas cortantes verticales, indicadas por el símbolo V . Desde luego, las vigas en general pueden estar orientadas en cualquier dirección. Los momentos flexionantes se definen como sigue:

Los momentos flexionantes son momentos internos que se gener generan an en el material de una viga para equilibr equilibrar ar la tendencia de las fuerzas externas de hacer que gire cualquier parte de ella. Los momentos flexionantes hacen que la viga asuma su forma “flexionada”, una curva característica. Tal como lo hizo en la actividad al principio de este capítulo, es conveniente utilizar una viga plana flexible para visualizar el comportamiento general de una viga en respuesta a diferentes patrones de carga y condiciones de apoyo.

RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR. Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del momento flexionante en un punto de la viga, sino mas bien a lo largo de todo el elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realización de estos diagramas requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector. Se examinan las relaciones que existen entre las cargas aplicadas, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en una viga cualquiera. Dichas relaciones proporcionan un método para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante sin necesidad de escribir sus expresiones analíticas. Las relaciones no son independientes de las definiciones dadas, sino que las complementan y se utilizan junto con ellas. Considerando la viga de la figura que soporta unas cargas cualesquiera figura (a), en la figura (b) se ha representado el diagrama de cuerpo libre correspondiente a un elemento de longitud diferencial de la viga. El sistema de las fuerzas aplicadas en la parte de viga a la izquierda del elemento diferencial se reduce a una fuerza cortante V y al momento flexionante M, y el sistema de las fuerzas aplicadas a la porción de viga a la derecha equivale a la fuerza cortante V + dV y al momento flexionante M + dM, diferentes de los anteriores. Aunque la carga repartida sea variable, se puede suponer contante y de intensidad w en la pequeña longitud dx y, por tanto, en el elemento diferencial también la fuerza w dx hacia arriba, que completa el diagrama de cuerpo libre. Aplicando las condiciones del equilibrio estatico al elemento de la figura, la suma de las fuerzas verticales da:

Lo cual se reduce a

a

Tomando con respecto al punto B resulta,

Y teniendo en cuenta que el tercer sumando contiene el cuadrado de una diferencial, es decir, es un diferencial de segundo orden que se puede despreciar frente a los de primer orden, la ecuación se puede escribir en la forma:

Integrando la expresión (a) se obtiene,

En donde los limites de integración son V1 en el punto x1 y V2 en el punto x2. El primer miembro es, pues, fácilmente integrable, ya que se reduce a V2 – V1 y representa el incremento, positivo o negativo, de V al pasar de x1 a x2, es decir, ΔV. En el segundo miembro, el producto w dx representa el área de un elemento diferencial de área del diagrama de cargas, como el rayado en la figura, por lo que la integral definida, que mide la suma de estos términos diferenciales, representa el área del diagrama de cargas comprendidas entre x1 y x2. Por tanto, la integración de (a) da:

Análogamente, integrando (b) se obtienen:

O bien

Puesto que el producto V dx del segundo miembro representa el área de un elemento diferencial de área del diagrama de fuerza cortante y, por tanto, la integral representa el área de este diagrama comprendida entre las ordenadas en los puntos x1 y x2. La expresión (4) indica la variación del momento flexionante entre dos secciones cualesquiera es igual al área del diagrama de fuerza cortante en ese mismo intervalo.

Las fuerzas cortantes positivas se representan gráficamente por encima del eje X, es de decir, hacia arriba, por lo que un área positiva es la situada por encima del eje X e indica incrementos positivos del momento flexionante. En cambio, el diagrama de cargas, las fuerzas se suelen representar actuando, aunque hacia abajo, en la parte superior de la viga, ya que es su posición natural, por lo que el área de tales cargas, aunque se dibuje por encima del eje X, al estar dirigidas hacia abajo, es negativa y representa una disminución de la fuerza cortante. Las expresiones (3) y (4) proporcionan un método interesante para calcular la variación de V y M y, por tanto, su valor numérico en cualquier sección, como se verá en los próximos ejercicios. De igual importancia que estas son la expresiones (a) y (b) que, escritas en la forma

permite conocer la forma de los diagramas de fuera cortante y momento flexionante. Como aplicación de los principios expuestos, consideremos una viga simplemente apoyada con una carga variable, como se indica en la figura (a). Puesto que las pendientes positivas suben hacia la derecha y las negativas bajan, e s decir,

Según (4-5) el diagrama de fuerza cortante de la figura 4-20b debe tener una pendiente que baja constantemente hacia la derecha, ya que w es siempre negativa. La inclinación varia directamente con la ordenada correspondiente del diagrama de cargas, siendo máxima en el punto en que la carga es máxima, y horizontal, de pendiente nula, en los extremos donde la intensidad de la carga es cero. De la misma manera, por la expresión (4-6) se puede determinar la pendiente y la forma del diagrama de momentos flexionantes, como se observa en la figura 4-20c, mediante las correspondientes ordenadas del diagrama de fuerza cortante. Como en este caso V es inicialmente positiva y continuamente decreciente, el diagrama de momentos será inicialmente creciente, de pendiente positiva, pero la inclinación irá disminuyendo hasta anularse cuando la fuerza cortante sea cero. Al cambiar de signo la fuerza cortante e ir aumentando en valor absoluto, la pendiente del diagrama de momento empieza a ser negativa, bajando hacia la derecha, y cada vez con una

inclinación mayor. Esta forma de la curva de momentos hace que tenga un máximo en el punto de fuerza cortante nula. Los incrementos de fuerza cortante (ΔV) y de momento (ΔM) definidos por (43) y (4-4) se indican en la figuras 4-20b y 4-20c. El área sombreada negativa del diagrama de cargas determina que ΔV sea negativo y, por tanto, que V disminuya al pasar de x1 a x2. El diagrama cortante el área total entre x1 y x2 es `positiva, suma algebraica de las áreas positivas y negativas, por lo que ΔM es positivo y momento flexionante aumenta al pasar de x1 a x2. El conjunto de los principios que se acaban de exponer en esta sección sugiere el siguiente procedimiento para el trazado de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante: 1. Calcular las reacciones. 2. Calcular los valores de la fuerza cortante en los puntos de discontinuidad, mediante V= (ΣΥ)izq, o bien ΔV= (Área)cargas. 3. Trazar el diagrama de fuerza cortante teniendo en cuenta que ha de pasar por los puntos que se han determinado, y que la pendiente viene expresada por (45), es decir, igual la ordenada del diagrama de cargas. 4. Determinar los puntos de fuerza cortante nula. 5. Calcular los valores del momento flexionante en los puntos de discontinuidad o cambio de cargas y en él puntos de fuerza cortante nula, empleando para ello M= (ΣΜ)izq = (ΣΜ)der, o bien, ΔΜ = (Área)cortante, según la conveniencia en cada caso. 6. Trazar el diagrama de momento flexionantes, que pasa por los puntos determinados en el inicio 5, y teniendo en cuenta que su pendiente en cada punto está determinada por (4-6), es decir, igual a la ordenada del diagrama de fuerza cortante en ese mismo punto.

2.4 2.4.. FÓRMULA DE FLEXIÓN Una viga constituye un miembro estructural que se somete a cargas que actúan transversalmente al eje longitudinal, como se explico anteriormente. Las cargas originan acciones internas, o resultantes de esfuerzos en forma de fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Aquí se estudian y deducen las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexión que se producen, y entre fuerzas cortantes verticales y los esfuerzos cortantes, y asimismo, diversos temas de importancia práctica en el diseño de vigas. Se consideran únicamente vigas que tienen inicialmente ejes longitudinales rectos. Para obtener estar relaciones se hacen las hipótesis siguientes: La secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 1. 2. 3. 4.

El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke. El modulo elástico es igual a tensión que a compresión. La viga es inicialmente recta y de sección constante. El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella.

Deducción de la ffo ormula de la flexión. Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre esfuerzos y momento flexionante se expresan mediante la fórmula de la flexión. Para su deducción se sigue el mismo procedimiento que se desarrollo para deducir la formula de la torsión, es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre esfuerzos y las cargas.

La figura 5-1a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ, como se ve en la figura 5-1b, pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la hipótesis 1 de la sección anterior. La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef , cuya longitud no varía. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y esta, pues, comprimida, mientras que la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión. El plano que contiene todas las fibras como ef se llama superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno. En seguida veremos la superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las secciones transversales de la viga. Consideremos ahora la deformación de una fibra cualquiera gh situada a una distancia y de la superficie neutra. Su alargamiento hk es el arco de circunferencia de radio y ángulo dθ y viene dado por: La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud inicial ef de la fibra:

Llamando ρ (letra griega rho) al radio de curvatura de la superficie neutra, la longitud ef es igual a ρ dθ, por lo que la deformación unitaria vale

Suponiendo que el material es homogéneo y obedece la ley de Hooke, hipótesis 2, el esfuerzo en la fibra gh viene dado por:

Ecua. A

Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es perpendicularmente proporcional a su distancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el modulo elástico es igual a tensión que a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura ρ de la superficie neutra es independiente de la ordenada y de fibra. Ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso

contrario dejaría de cumplirse la ley de Hooke en la que se ha basado la determinación de la forma de distribución de los esfuerzos. Para completar la deducción de la formula de la flexión se aplican las condiciones de equilibrio. Como se ha visto en la sección 4-3, las fuerzas exteriores que actuan a un lado de la sección en estudio quedan equilibradas por la fuerza cortante y el momento flexionante resistentes. Para que se produzca este equilibrio, un elemento diferencial cualquiera de la sección de exploración esta sometido a las fuerzas que indican la figura 5-2. La intersección de la superficie neutra con la sección se llama eje neutro, abreviatura E.N. Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tenga componentes según el eje X, hipotesis 5, se tiene,

En donde σx equivale a σ de la ecuación (a). Sustituyendo σx por su valor Ey/ρ y resulta

Los términos E y ρ, constantes, se han sacado fuera del signo integral. Como y dA es el momento estático del área diferencial dA respecto de E.N., la integral

∫ y dA

es el momento estático total del área. Por tanto,

Sin embargo, como solamente Ῡ en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia a E.N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir, que la línea neutra pasa por el centroide del área de la sección transversal. La condición ΣY = 0 que da V = Vr, conduce a la fórmula del esfuerzo cortant...