Cálculo de Esfuerzos, Vigas y de Áreas de Acero PDF

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Summary

Ejercicios resueltos de Concreto Armado I - Primera Unidad.
Cálculo de Esfuerzos
Vigas Simplemente Armadas SUB- Reforzadas
VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS SOBRE-REFORZADAS
CÁLCULO DE ÁREAS DE ACERO....

Description

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CURSO CONCRETO ARMADO I TEMA

TRABAJO COLABORATIVO DOCENTE ING. SOTELO URBANO JOHANNA INTEGRANTES:  SOLIS POMA BLANCA

GRUPO: F

2020

EJERCICIOS DE CONCRETO ARMADO I (I UNIDAD) I. CÁLCULO DE ESFUERZOS: EJERCICIO 01: Para una viga rectangular de: b = 25 cm, h = 60 cm, fy = 4200 kg/cm2, f’c = 350 kg/cm2, armada con 3 barras de 1” en tracción. Determinar los esfuerzos producidos por un momento flector M = 5 Tn-m. Solución:  Datos:  AS = 15.2 cm2

 h = 60 cm

 b = 25 cm

 d = 55 cm

 f’c = 350 kg/cm2

55 cm

 EC = 15000 ∙ √f′c = 15000 ∙ √350

60 cm

EC = 280624.3 kg/cm2

3 1”

 fy = 4200 kg/cm2  ES = 2.1x106 kg/cm2  M = 5 Tn-m = 5x105 kg-cm  fr = 2 ∙ √f′c = 2 ∙ √350 = 37.42 kg/cm2

25 cm

 Determinamos la relación de módulos: n=

ES 2.1 × 106 kg/cm2 = EC 280624.3 kg/cm2

n = 7.48

 Transformamos el área de acero en área de concreto usando la relación “n”: A′S = (n − 1) ∙ AS = (7.48 − 1) × 15.2  Calculamos el eje neutro (E.N.):

h AC ∙ ( ) + A′S ∙ d 2 y= AC + A′S

A′S = 98.5 cm2

30) + 98.5 × 55 (25 × 60) ∙ ( 2 y = (25 × 60) + 98.5 y= 31.54 cm  Calculamos el momento de inercia It: b × h3 h 2 It = + AC ∙ (y − ) + A′S ∙ (d − y)2 2 12 It =

25 × 603 60 2 + (25 × 60) ∙ (31.54 − ) + 98.5 × (55 − 31.54)2 12 2 It = 507769 cm4

 Determinamos los esfuerzos: a. Esfuerzo Tracción del Concreto (fCT): fCT=

(5 × 105 kg ∙ cm) × (60 cm − 31.54 cm) M ∙ (h − y) = It 507769 cm4

fCT= 28.02 kg/cm2

<

(Módulo de rotura)

NO SE AGRIETA

fr = 37.42 kg/cm2

b. Esfuerzo Compresión del Concreto (fC): fC =

M ∙ y (5 × 105 kg ∙ cm) × (31.54 cm) = It 507769 cm4

fC = 31.06 kg/cm2

<

SÍ RESISTE

(Resistencia del Concreto)

f′C = 350 kg/cm2

c. Esfuerzo Tracción del acero (fS): fS =

n ∙ M ∙ (d − y) 8 × (5 × 105 kg ∙ cm) × (55 cm − 31.54 cm) = It 507769 cm4

fS = 184.81 kg/cm2

<

(Fluencia del Acero)

SÍ RESISTE

fy = 4200 kg/cm2

EJERCICIO 02: Para una viga rectangular mostrada, calcular los esfuerzos de flexión para el momento flector dado.

Solución:  Datos:  AS 41”= 3.16 pulg2

 h = 20 pulg

 b = 14 pulg

 d = 17 pulg

 M = 60 pie-klb = 60000 pie-lb

 n=8

 Transformamos el área de acero en área de concreto usando la relación “n”: A′S = n ∙ AS = 8 × 3.16

A′S = 25.28 pulg2

 Calculamos el eje neutro igualando los momentos en compresión y tracción: Momento en Compresión

Momento en Tracción

y (b ∙ y) (2)

=

A′ S ∙ (d − y)

y (14 ∙ y) ( ) = 25.28 × (17 − y) 2

7 y2 = 429.76 − 25.28 ∙ y

y 2 + 3.61 ∙ y − 61.39 = 0 y=

−3.61 ± √3.612 − 4(1)(−61.39) 2(1)

y = 6.23 pulg

y = −9.84 pulg



 Calculamos el momento de inercia It: b × h3 h 2 It = + AC ∙ (y − ) + A′S ∙ (d − y)2 2 12 It =

2

14 × 203 20 ) + 25.28 × (17 − 6.23)2 + (14 × 20) ∙ (6.23 − 2 12 It = 6935.25 pulg 4

 Determinamos los esfuerzos: a. Esfuerzo Tracción del Concreto (fCT): fCT=

(60000 pie ∙ lb) × (20 pulg − 6.23 pulg) 12 pulg M ∙ (h − y) = × 1 pie It 6935.25 pulg 4 𝐟𝐂𝐓= 𝟏𝟒𝟐𝟗. 𝟓𝟕 𝐥𝐛/𝐩𝐮𝐥𝐠 𝟐

b. Esfuerzo Compresión del Concreto (fC): fC =

M ∙ y (60000 pie ∙ lb) × (6.23 pulg) 12 pulg × = 6935.25 pulg4 1 pie It 𝐟𝐂 = 𝟔𝟒𝟔. 𝟕𝟖 𝐥𝐛/𝐩𝐮𝐥𝐠𝟐

c. Esfuerzo Tracción del acero (fS): fS =

n ∙ M ∙ (d − y) 8 × (60000 pie ∙ lb) × (17 pulg − 6.23 pulg) 12 pulg = × It 6935.25 pulg4 1 pie 𝐟𝐒 = 𝟖𝟗𝟒𝟒. 𝟗𝟏 𝐥𝐛/𝐩𝐮𝐥𝐠𝟐

II. VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS SUB-REFORZADAS: EJERCICIO 03: Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en la figura, con f’c = 280 kg/cm2. Determine si la sección de viga está sobrereforzada o subreforzada, y si satisface los requerimientos del código ACI 318-99 para cuantías máximas y mínimas para fy = 2800 kg/cm2.

3/8”

50 cm 6 1” r = 4 cm

25 cm Solución:

a). f’c = 280 kg/cm2 , fy = 2800 kg/cm2

 Determinamos las cuantías: ρb = β1 ∙ (0.85) ∙

f′C 6000 ) ∙( fy 6000 + fy

ρb = 0.85 × 0.85 ×

280

2800

6000 ) ∙ (6000 + 2800

ρb = 0.0493 AS = 6∅1" = 30.42 cm2

d = h − (r +

∅3/8" + ∅1" + ∅1"/2)

d = 50 − (4 + 0.95 + 2.54 + 2.54/2) d = 41.24 cm

ρ=

AS 30.42 = b ∙ d 25 × 41.24 ρ = 0.0295

Se tiene que ρ < ρb por tanto: SUB-REFORZADO (falla Dúctil)  Requisitos de Cuantía: ρmáx= 0.75 ∙ ρb = 0.0369 ρmín= (0.8) ∙

√f ′ C √280 = 0.0048 = (0.8) ∙ 2800 fy

ρmín= Entonces:

14 14 = = 0.005 fy 2800

ρ > ρmín

→

Conforme

ρ < ρmáx

→

Conforme

Por lo tanto: Sí cumple con los requerimientos de cuantía del ACI. (“Diseño Conforme”)

EJERCICIO 04: Determinar el momento último para la viga cuyas características son: b = 25 cm, h = 60 cm, AS = 31”, f’c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2.

Solución:

 Determinamos las cuantías: ρb = β1 ∙ (0.85) ∙ ρb = 0.85 × 0.85 ×

f′C 6000 ) ∙( fy 6000 + fy

280 6000 ) ∙( 4200 6000 + 4200

ρb = 0.0283 AS = 3∅1" = 15.21 cm2

d = h − (r +

∅3/8" + ∅1"/2)

d = 60 − (4 + 0.95 + 2.54/2) d = 53.78 cm

ρ=

15.21 AS = b ∙ d 25 × 53.78 ρ = 0.0113

Se tiene que ρ < ρb por tanto: SUB-REFORZADO (falla Dúctil)  Requisitos de Cuantía:

ρmáx= 0.75 ∙ ρb = 0.0369 √280 √f ′ C = (0.8) ∙ = 0.0048 fy 2800

ρmín= (0.8) ∙

ρmín= Entonces:

14 14 = 0.005 = fy 2800

ρ > ρmín

→

Conforme

ρ < ρmáx

→

Conforme

 Determinamos el momento último: a=

0.113 × 53.78 × 4200 ρ ∙ d ∙ fy = ′ (0.85) ∙ f C 0.85 × 280 a = 10.73 cm

a 10.73 ) Mu = ∅ ∙ AS ∙ fy ∙ (d − ) = 0.9 × 15.21 × 4200 × (53.78 − 2 2 𝐌𝐮 = 𝟐𝟕. 𝟖𝟒 𝐓𝐧 ∙ 𝐦 III. VIGAS SIMPLEMENTE ARMADAS SOBRE-REFORZADAS: EJERCICIO 05: Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en la figura, con f’c = 280 kg/cm2. Determine si la sección de viga está sobrereforzada o subreforzada, y si satisface los requerimientos del código ACI 318-99 para cuantías máximas y mínimas para fy = 4200 kg/cm2.

3/8”

50 cm 6 1”

25 cm

r = 4 cm

Solución:

a). f’c = 280 kg/cm2 , fy = 4200 kg/cm2

 Determinamos las cuantías: ρb = β1 ∙ (0.85) ∙ ρb = 0.85 × 0.85 ×

f′C 6000 ∙( ) fy 6000 + fy

280 6000 ∙( ) 4200 6000 + 4200

ρb = 0.0283 AS = 6∅1" = 30.42 cm2

d = h − (r +

∅3/8" + ∅1" + ∅1"/2)

d = 50 − (4 + 0.95 + 2.54 + 2.54/2) d = 41.24 cm

ρ=

30.42 AS = b ∙ d 25 × 41.24 ρ = 0.0295

Se tiene que ρ > ρb por tanto: SOBRE-REFORZADO (falla Frágil)  Requisitos de Cuantía: ρmáx= 0.75 ∙ ρb = 0.0212 ρmín= (0.8) ∙

√f ′ C √280 = 0.0032 = (0.8) ∙ 4200 fy

ρmín= Entonces:

14

fy

14 = 0.0033 = 4200

ρ > ρmín

→

Conforme

ρ > ρmáx

→

No Cumple

Por lo tanto: No cumple con los requerimientos de cuantía del ACI. (“Diseño No Conforme”) EJERCICIO 06: Para la sección de la viga mostrada en la figura, determine el momento nominal, indicando el tipo de falla. Si f’c = 280 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2.

3/8”

50 cm 6 1”

r = 4 cm

25 cm Solución:

 Determinamos las cuantías: ρb = β1 ∙ (0.85) ∙ ρb = 0.85 × 0.85 ×

f′C 6000 ) ∙( fy 6000 + fy

280 6000 ∙( ) 4200 6000 + 4200

ρb = 0.0283 AS = 6∅1" = 30.42 cm2

d = h − (r +

∅3/8" + ∅1" + ∅1"/2)

d = 50 − (4 + 0.95 + 2.54 + 2.54/2) d = 41.24 cm

ρ=

AS 30.42 = b ∙ d 25 × 41.24 ρ = 0.0295

Se tiene que ρ > ρb por tanto: SOBRE-REFORZADO (falla Frágil) ( fS < fy )  Calculamos “fS” mediante el diagrama de deformaciones unitarias:



= 0.003

s fS = (6.3) ×

(β ∙ d − β ∙ c) β∙c

fS = (6.3) ×

;

a= β∙c

(β ∙ d − a) a

 Haciendo el equilibrio de fuerzas CC = T , se tiene: (0.85) × f′C × a × b = AS × fS

(0.85) × 0.28 × 25 × a = AS × (6.3) ×

(β ∙ d − a) a

(0.85) × 0.28 × 25 × a2 = (6.3) × AS × β ∙ d − (6.3) × AS × a

5.95 a2 = 6398.06 − 182.52 a

5.95 a2 + 182.52 a − 6398.06 = 0 a=

−182.52 ± √(182.52)2 − 4(5.95)(−6398.06) 2(5.95)

a = 20.86 cm



Reemplazando: fS = (6.3) ×

a = −51.54 cm

(0.85 × 41.24 − 20.86) 20.86

fS = 4.08 Tn/cm2  Determinamos el momento nominal:

a 0.2086 ) Mu = AS ∙ fy ∙ (d − ) = 30.42 × 4.08 × (0.4124 − 2 2 𝐌𝐮 = 𝟑𝟎. 𝟐𝟒 𝐓𝐧 ∙ 𝐦

IV. CÁLCULO DE ÁREAS DE ACERO: EJERCICIO 07: Encontrar el área de acero de la siguiente viga rectangular armada sólo a tracción. Si se presentan tienen los siguientes datos.

 Datos:  AS = ?  b = 30 cm 60 cm

 h = 60 cm  f’c = 210 kg/cm2

AS

 fy = 4200 kg/cm2  Mu = 25 Tn-m = 25x105 kg-cm  Aplicar el método analítico

30 cm Solución:

 Determinamos el momento nominal: Mu = ∅ ∙ Mn Mn =

Mu 25 × 105 = ∅ 0.9

Mn = 27.78 × 105 Kg ∙ cm  Asumimos un peralte efectivo de: d = 55 cm.  Calculamos el momento resistente máximo: ρb = β1 ∙ (0.85) ∙ ρb = 0.85 × 0.85 ×

f′C 6000 ) ∙( fy 6000 + fy

210 6000 ) ∙( 4200 6000 + 4200

ρb = 0.02125 𝜌máx= (0.75)𝜌b = (0.75)(0.02125) 𝜌máx= 0.01594

𝜔máx= 𝜌máx∙

fy

f′C

4200 = 0.01594 × 210

𝜔máx= 0.3188

K = 𝜔máx∙ f′C ∙ (1 − (0.59)𝜔máx ) K = 0.3188 × 210 × (1 − 0.59 × 0.3188) K = 54.35 kg/cm2 Reemplazando en la siguiente expresión:

Mr máx = K ∙ b ∙ d2 = 54.35 × 30 × 552 Mr máx = 49.32 × 105 Kg ∙ cm

Se tiene que Mr máx > Mn lo que indica que SÍ RESISTE.  Ahora calculamos la cantidad de acero a través de la siguiente expresión: Mn = ω ∙ b ∙ d2 ∙ f′C ∙ (1 − 0.59 ∙ ω)

Mn = 𝜌 ∙

fy fy ∙ b ∙ d2 ∙ f′C ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜌 ∙ ) f′C f′C

27.78 × 105 = 𝜌 ∙

4200 4200 ) ∙ 30 ∙ 552 ∙ 210 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜌 ∙ 210 210

27.78 × 105 = 381150000 ∙ 𝜌 − 4497570000 ∙ 𝜌2

0 = 4497570000 ∙ 𝜌2 − 381150000 ∙ 𝜌 + 27.78 × 105

0 = 𝜌2 − 0.08475 ∙ 𝜌 + 0.000617 𝜌=

0.08475 ± √(−0.08475)2 − 4 (1)(0.000617) 2(1)

𝜌 = 0.07627 >  máx



𝜌 = 0.00848

<  máx

Entonces:

AS = 𝜌 ∙ b ∙ d

AS = 0.00848 × 30 × 55 AS = 9.33 cm2 Según tabla 1.3 (ver anexo 01), se podrá usar 4  5/8” + 1  1/2” EJERCICIO 08: Diseñar el área de acero para una viga de sección rectangular de b = 25 cm, h = 50 cm, f’c = 250 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2; cuando actúa un momento M = 8.5 Tn-m, la sección será simplemente reforzada. Solución:

 Datos:  AS = ?  b = 25 cm 50 cm

 h = 50 cm

AS

 f’c = 250 kg/cm2  fy = 4200 kg/cm2  Mn = 8.5 Tn-m = 8.5x105 kg-cm

25 cm

 Aplicar el método analítico

 Asumimos un peralte efectivo de: d = 45 cm.  Calculamos el momento resistente máximo: 𝜌b = β1 ∙ (0.85) ∙ 𝜌b = 0.85 × 0.85 ×

f′C 6000 ∙( ) fy 6000 + fy

250 6000 ) ∙( 4200 6000 + 4200

𝜌b = 0.0253 𝜌máx= (0.75)𝜌b = (0.75)(0.0253) 𝜌máx= 0.01897

𝜔máx= 𝜌máx∙

fy

f′C

4200 = 0.01897 × 250

𝜔máx= 0.3187

K = 𝜔máx∙ f′C ∙ (1 − (0.59)𝜔máx ) K = 0.3187 × 250 × (1 − 0.59 × 0.3187) K = 64.69 kg/cm2 Reemplazando en la siguiente expresión:

Mr máx = K ∙ b ∙ d2 = 64.69 × 25 × 452 Mr máx = 32.75 × 105 Kg ∙ cm

Se tiene que Mr máx > Mn lo que indica que SÍ RESISTE.  Ahora calculamos la cantidad de acero a través de la siguiente expresión: Mn = ω ∙ b ∙ d2 ∙ f′C ∙ (1 − 0.59 ∙ ω)

Mn = 𝜌 ∙ 8.5 × 105 = 𝜌 ∙

fy fy ∙ b ∙ d2 ∙ f′C ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜌 ∙ ) f′C f′C

4200 4200 ) ∙ 25 ∙ 452 ∙ 250 ∙ (1 − 0.59 ∙ 𝜌 ∙ 250 250

8.5 × 105 = 212625000 ∙ 𝜌 − 2107539000 ∙ 𝜌2

0 = 2107539000 ∙ 𝜌2 − 212625000 ∙ 𝜌 + 8.5 × 105 0 = 𝜌2 − 0.10089 ∙ 𝜌 + 0.0004033 𝜌=

0.10089 ± √(−0.10089)2 − 4(1)(0.0004033) 2(1)

𝜌 = 0.09672 >  máx



𝜌 = 0.00417

<  máx

Entonces:

AS = 𝜌 ∙ b ∙ d AS = 0.00417 × 25 × 45 AS = 4.69 cm2

Según tabla 1.3 (ver anexo 01), se podrá usar 3  3/8” + 2  1/2”

ANEXO 01

Fuente: INSTITUTO DE DESARROLLO E INVESTIGACION “CONSTRUIR” (IDIC)

Fuente:

INSTITUTO

“CONSTRUIR” (IDIC)

DE

DESARROLLO

E

INVESTIGACION

ANEXO 02

ELABORADO EN FORMA GRUPAL POR EL AULA VIRTUAL ZOOM....