Torsión y Esfuerzos Combinados-Mecánica de Sólidos PDF

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Summary

1.- Determine el esfuerzo cortante máximo en un eje de 2" de diámetro, cuyo momento de torsión es de 800Lb-pies. Momento Momento de Esufuerzo Cortante Diametro Radio de torsión Inercia Máximo (D) (MZ) (IZ) (r.) 𝜏 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32 𝑟 = 𝐷/2 𝜏=(Mz*r)/Iz Pulgadas Lb-pulg Pulgadas4 Pulgadas Lb/pulg2 ...

Description

1.- Determine el esfuerzo cortante máximo en un eje de 2" de diámetro, cuyo momento de torsión es de 800Lb-pies.

Diametro

Momento Momento de de torsión Inercia

(D)

(MZ)

(IZ) 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32

Pulgadas 2

Lb-pulg 9600

Pulgadas4 1.570796327

Radio

Esufuerzo Cortante Máximo

(r.) 𝑟 = 𝐷/2

𝜏 𝜏=(Mz*r)/Iz

Pulgadas 1

Lb/pulg2 6111.549815

800 Lb-pie

Convertir el Mz de Lb-pie a Lb-pulg

800𝐿𝑏 − 𝑝𝑖𝑒

12𝑝𝑢𝑙𝑔 = 9600𝐿𝑏 − 𝑝𝑢𝑙𝑔 1𝑝𝑖𝑒

2"

2.- Un eje macizo de acero de 1 1/2" de diámetro tiene un esfuerzo cortante admisible de 800Lb-pulg2. Determine el momento de torsión que puede resistir el eje.

Diametro (D)

Pulgadas 1.5

Momento de Momento de torsión Inercia

Radio

(MZ) (IZ) 𝑀𝑧 = (𝜏 ∗ 𝐼𝑧)/𝑟 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32

(r.) 𝑟 = 𝐷/2

Lb-pulg 530.1437603

Pulgadas4 0.497009775

Pulgadas 0.75

Esufuerzo Cortante Máximo

𝜏 𝜏=(Mz*r)/Iz Lb/pulg2 800

Como la fórmula del esfuerzo cortante o admisible es

𝜏=(Mz*r)/Iz

Entonces para sacar el momento de torsión se despeja Mz y la fórmula para encontrar el momento de torsión 𝑀𝑧 = (𝜏 ∗ 𝐼𝑧)/𝑟 Mz=?

1.5"

3.- Un eje hueco de acero con un diámetro exterior de 80mm y un diámetro interior de 50mm está sujeto a un momento de torsión de 360 N-m. Determine el esfuerzo cortante máximo en el eje y el esfuerzo cortante de las fibras de su superficie interior.

Diametro Exterior

Diametro Interior

Momento de torsión

(mm)

(mm)

(N-m)

80

50

Momento de Inercia 4

(m ) 𝐼𝑧 = (𝜋/4)(𝑟𝑒 4 − 𝑟𝑖 4 ) 360

Esfuerzo cortante máximo 2

(N/m ) 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑀𝑧𝑟/𝐼𝑧

3.40765E-06

4225790.71

Esfuerzo cortante interior 2

(N/m ) 𝜏𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑧𝑟/𝐼𝑧 2641119.194

radio exterior 40 mm

0.04 m

25 mm

0.025 m

radio interior Mz=360 N-m

Calcular Iz con m: 4 1.704E-06 m 3.408E-06 m

4

4

𝐼𝑧 = (𝜋/4)(𝑟𝑒 − 𝑟𝑖 )

4

0.04 m 0.025

4.- Un eje hueco está sujeto a un momento de torsión de 4000 N-m el esfuerzo cortante admisible es de 78 Mpa, y el diámetro interior debe ser la mitad del diámetro exterior. Determine los diámetros necesarios.

Diametro Exterior

Diametro Interior

Momento de torsión

(m)

(m)

(N-m)

0.06531

0.03265

Esfuerzo cortante admisible 2

(N/m ) 𝜏 = 𝑀𝑧𝑟/𝐼𝑧

4000

78000000

Se tiene un esfuerzo admisible de 78 Mpa, para esto tenemos que desprender esos Mpa a N/m2 para que sea más sencillo manejarlo. Mpa= 1'000,000Pa Pa= N/m2 Entonces 78 Mpa es igual a

78000000

Para poder encontrar los diametros se tiene que despejar el radio de la ecuación: 4000 ∗ 𝑟 78000000 = 𝜋 (𝑟 4 − 𝑟𝑖4 ) 4 𝑒

Donde:

𝑟𝑖 =

78000000 =

𝑟𝑒 r = 𝑟𝑒 2

Despejando obtenemos y resolviendo: 𝜋 4 𝑟𝑒 4 78000000 2[4 𝑟𝑒 − ( 2 ) ] = 4000 𝑟

r=

0.03265 m

De = Di =

0.06531 m 0.03265 m

N/m2 𝜏 = 𝑀𝑧𝑟/𝐼𝑧

4000 ∗ 𝑟 𝜋 4 𝑟 2[4 𝑟𝑒 − ( 2𝑒 )4 ] Mz=4000

5.- Una flecha de acero de 3" de diámetro y 10 pies de longitud está sujeto a un momento de torsión de 500 Lb-pies. Determine el ángulo de torsión tanto en grados como en radianes.

Diametro

Longitud

Momento de torsión

(D)

(L)

(Mz)

(Ft)

(Ft)

(Lb-pie)

Momento de Inercia

Módulo de rigidez

Modulo de Elásticidad

(Iz) (G) 4 (ft ) (Lb/ft2) 𝐸 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32 𝐺 =

E (Lb/ft2)

(1 + 𝜇)

0.25

10

5000

0.000383495

1.65E+09

2

E=

2100000 kg/cm

E=

2.1E+10 kg/m

E=

4.301E+09 Lb/pie2

2

Diámetro 3" pulgadas a pies

0.25 ft

Calcular Momento de Inercia Iz 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32

4 0.00038 ft

Calcular Módulo de rigide G en Lb/ft2 𝐺=

𝐸 (1 + 𝜇)

𝜇 = .30

1.65E+09

Usando la fórmula para encontrar el águlo de torsión se tiene: 𝜃=

𝑀𝑧 𝐺𝐼𝑧

0.00788 rad 0.451568 °

4301133626

Ángulo de torsión 𝜃𝑇

Ángulo de torsión 𝜃𝑇

(°)

(rad) 𝑀𝑧 𝜃= 𝐺𝐼𝑧 0.00788 0.451568

7.- Determine el diámetro requerido para una flecha circular maciza. El esfuerzo cortante admisible es de 70Mpa y el ángulo de torsión medido entre dos secciones separadas 2.5 m no debe exceder de 3°. El momento de torsión aplicado es de 1400 N-m y G= 11 Gpa

Momento de torsión

Diametro

D=

4

(D) (32 ∗ 𝐼𝑧)/𝜋 m 0.08869909

Momento de Inercia

(MZ)

(IZ) 𝐼𝑧 = (𝜋𝐷 4 )/32

N-m 1400

m

N/m

6.07682E-06

N/m

2

11000000000

N/m

Ángulo de Longitud torsión Ө 𝜃=(Mz*L)/GIz

L

rad 0.0523599

m

2

70000000

2.5

Converitr Grados a radianes

2

Grados 3

11 11000000000

Convertir Mpa a N/m2 Mpa N/m2 70

Esufuerzo Cortante Admisible

𝜏 𝜏=(Mz*r)/Iz

G

2

Convertir Gpa a N/m2 Gpa

Módulo de Elasticidad al corte

1 radian =

Radianes 0.0523599 0.0174533

70000000

Teniendo la fórmula del ángulo de torsión se despeja el momento de inercia (Iz) para poder encontrar el diámetro 𝜋𝐷4 = (𝑀𝑧 ∗ 𝐿)/𝐺𝜃 32

𝐼𝑧 = (𝑀𝑧 ∗ 𝐿)/𝐺𝜃

Sustituyendo y despejando D: 𝜋𝐷4 = (1400 ∗ 2.5)/(11000000000 ∗ 0.0523599) 32 (πD4)/32= D=

6.077E-06 0.0886991

𝐷=

4

(32 ∗ 6.07682𝐸 − 06)/𝜋

Comprobación:

𝜏=(Mz*r)/Iz 10217406.06

< <

𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠 = 78 𝑀𝑝𝑎 78000000

6.- Determine el diámetro requerido para una flecha hueca de acero. El momento de torsión aplicado es de 1800 Lb-pie, el diámetro interior es de 2" y el ángulo de torsión entre dos secciones separadas 12 pies es de 2°.

Módulo de Diametro Momento Elasticidad interior de torsión al corte (D) Pie 0.166667

(MZ)

G Lb/m

Lb-pie 1800

Ángulo de Longitud torsión Ө 𝜃=(Mz*L)/GIz

2

1.65E+09

rad 0.0349066

Diámetro exteriror

L D= Pie 12

4

(IZ) (32 ∗ 𝐼𝑧)/𝜋 Pie 0.260170

Teniendo la fórmula del ángulo de torsión se despeja Iz para separar los diámetros: 𝜃=(Mz*L)/GIz

Iz=(Mz*L)/G𝜃

Convertir 2" a pies 1 pulgada = 0.0833333 pies 0.166667 pies

𝜋𝐷 4 𝜋𝐷𝑖4 𝑀𝑧 ∗ 𝐿 − = 32 32 𝐺∗𝜃

Convertir 2° a radianes 0.0349066

Sustituyendo valores: 𝜋𝐷 4 𝜋0.1666674𝑖 1800 ∗ 12 − = 32 32 1.65𝐸 + 09 ∗ 0.0349066 7.5752E-05 𝜋𝐷 4 − 0.01636246 = 3.74𝑒 − 04 32

3.74E-04

Despejando el diámetro exteriror tenemos: D=

4

(32 ∗ 𝐼𝑧)/𝜋

Iz= 0.01636246-3.74E-04 Iz= 4.50E-04 Entonces: D= 0.260170

8.- La flecha de sección variable está sometida a los pares de fuerzas 3T y T, cuál es el valor de T, si el esfuerzo cortante admisible es de 80 Mpa

Esfuerzo Diametro A- Diámetro B- Valor de cotante B C T admisible

𝜏=(Mz*r)/Iz N/m2 80000000

m

m 0.03

N-m 0.02 -1130.97

3𝑇

𝑇 𝐷=2

𝐷=3

𝐵

𝐴

𝜏

𝐶

2 80000000 N/m

D A-B D B-C

cm a m 0.03 0.02

Se tiene una igualdad de: 𝜏=

𝑀𝑧 ∗ 𝑟 𝑀𝑧 ∗ 𝑟 − 𝐼𝑧 𝐼𝑧

Resolviendo: 80000000

=

80000000

=

3𝑇 ∗ 0.015 𝑇 ∗ 0.01 80000000 = 𝜋 − 𝜋 ∗ (0.03)4 ∗ (0.02)4 32 32 565884.2

-

636620

-70735.53 T

Se despeja T T= -1130.973 N-m 𝜃=

9.- Una flecha maciza de acero de 2" de diámetro está cargada como muestra la figura. Determine el ángulo de torsión de la polea D con respecto a la polea A. 7 KLb − pulg

3 KLb − pulg

4 KLb − pulg

8KLb − pulg

| 𝐷 6 pies

4 pies

4 pies

Módulo Momento de Momento Ángulo de de torsión Longitud Diámetro de inercia rigidez torsión máximo al corte Iz (pulg4)

Ө

G Mz 2) (L/pulg (Lb-pulg)

(°)

(pulg)

pulg

𝜃=(Mz*L)/GIz 1.57079633 1.15E+07

10000 5.334146533

168

2

Para esto se hace una sumatoria de fuerzas para calcular el momento de torsión máximo. TAB TBC TCD

-7000 Lb-pulg -10000 Lb-pulg -8000 Lb-pulg

El Momento de torsión máximo es 10000 Lb-pulg El módulo de rigidez es igual a 2 1.65E+09 Lb/pie 2 1.15E+07 Lb/pulg

Para calcular el ángulo de torsión: 𝜃=(Mz*L)/GIz 𝜃=

0.09 rad 5.334147 °

10.- ¿Cuál debe ser el tamaño de un eje de acero que va a transmitir un momento de torsión de 3200 N-m si el esfuerzo permisible es de 5Mpa y el ángulo de torsión no debe excederse a 4° en 3m de la flecha?

Diámetro

Momento de torsión

m

Mz

32 ∗ 𝑀𝑧 ∗ 𝐿 .25 𝐷=( ) 𝜋𝐺𝜃 0.06485828

Esfuerzo Ángulo de cortante torsión permisible 𝜏

N/m

N-m 3200

2

55000000

Módulo de rigidez

Longitud

𝜃

L

rad

m

0.0698132

G N/m2 3

7.92E+10 807692.3077

7.92E+10

Teniendo la ecuación del ángulo podemos despejar el momento de inercia para encontrar el valor del Diámetro Iz=(Mz*L)/G𝜃

𝜃=(Mz*L)/GIz

Despejando el Diámetro: 32 ∗ 𝑀𝑧 ∗ 𝐿 .25 𝐷=( ) 𝜋𝐺𝜃 D=

0.06485828

𝜋𝐷 4 𝑀𝑧 ∗ 𝐿 = 32 𝐺𝜃

12.- Determinar el núcleo central de las secciones transversales indicadas. Figuara a) 360 mm

x

y 120mm

d

b

Para calcular el núcleo se tiene la fórmula Donde

𝑑 𝑏 𝐶𝑦 = ; 𝐶𝑥 = 2 2

Sustituyendo

𝑏𝑑 3 𝑏3 𝑑 𝐼𝑥 = ; 𝐼𝑦 = 12 12

𝑑 𝑏 𝑃 𝑃𝑒𝑦 2 𝑃𝑒𝑥 2 𝜎=− + + 3 𝑏𝑑 3 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 12 12

Multiplicando por db y haciendo sigma = 0 Dvidiendo por 6P

𝜎=−

1 𝑒𝑦 𝑒𝑥 0=− + + 6 𝑑 𝑏

𝑃 𝑀𝑥𝐶𝑦 𝑀𝑦𝐶𝑥 + + 𝐴 𝐼𝑥 𝐼𝑦

𝐴 = 𝑏𝑑

𝜎=−

𝑃 12𝑃𝑒𝑦 12𝑃𝑒𝑥 + + 𝑏𝑑 2𝑏𝑑 2 2𝑏 2 𝑑

0 = −𝑃 +

6𝑃𝑒𝑦 6𝑃𝑒𝑥 + 𝑑 𝑏

Despejando:

1 𝑒𝑦 𝑒𝑥 = + 6 𝑑 𝑏

Si volvemos a despejar los valores para tener el resultado de las excentricidades tendremos: 𝑑 𝑏 + = 𝑒𝑦 + 𝑒𝑥 6 6

y sustituyendo el valor de (d) y (b) el núcleo central es el siguiente 360 = 60 𝑚𝑚 6

120 = 20𝑚𝑚 6

r

Figuara b)

D

Para este caso se toma el radio en cualquier eje de la sección en donde solo se tiene el eje de inercia y el radio, de esta manera se dice que se tiene 𝜋𝑟 4 𝐼 𝑟 = 4 2 = ( )2 𝐴 𝜋𝑟 2 Por simetría, el núcleo central de esta sección será un círculo. Después se calcula el radio del núcleo imponiendo que el eje neutro sea la tangente a la sección. Se toma la parte inferior del círculo. y

Entonces se tomará 𝑦 = −𝑟 x

Comparando esta ecuación con la expresión general del eje neutro en flexión compuesta alrededor del eje z: 1+

𝑒𝑦 𝑦 =0 𝑟𝑧2

Se tiene:

r/4 r

1+

𝑒(−𝑟) =0 𝑟 ( )2 2

𝑒=

𝑟 4

Figura c)

480mm

𝐃 = 𝟑𝟎 𝐦𝐦 480 mm

Para calcular el núcleo se tiene la fórmula 𝑃 𝑀𝑥𝐶𝑦 𝑀𝑦𝐶𝑥 𝜎=− + + 𝐴 𝐼𝑥 𝐼𝑦

donde

𝐶𝑦 =

𝑑 𝑏 ; 𝐶𝑥 = 2 2

𝑏 = 𝑑 = 32𝑟

0=−

𝑃 𝑏 𝑏 2 −𝜋( )2

𝑏 2 𝑏 4 𝑏4 𝜋(32) − 12 4

𝑃𝑒

+

32

+

𝑃𝑒

𝑏 2

𝑏 4 𝑏4 𝜋(32) − 12 4

𝐼𝑥 =

𝑏𝑑 3 𝑏3 𝑑 ; 𝐼𝑦 = 12 12

; ey = ex = e ;

𝑏 32

=r

𝐴 = 𝑏𝑑 − 𝜋𝑟 2

𝜎=0 0=

0=

𝑃 − 𝑏2

𝑃 − 𝑏2

+

+

𝑏 2 2 4 𝑏 24

2𝑃𝑒

24𝑃𝑒

Para este caso el valor de b y d será igual por ser un cuadrado al igual que las excentricidades

𝑏 2

𝑏4

40 mm 𝑃

0 = − 𝑏2 +

𝑃 12𝑃𝑒𝑏 = 2 𝑏 𝑏4

24𝑃𝑒

𝑏 2

𝑏4

𝑏 =𝑒 12

ex=

40 mm

ey =

40 mm

40 mm

Como es un cuadrado el núcleo central está formado por trinagulos rectangulos iguales

11.- Determinar los esfuerzos a lo largo de cada una de las 4 caras de los bloques sujeto a las cargas excéntricas indicadas 48 Kn

b)

𝜎 = ±

𝑃 𝑀𝑥 𝑒 ± 𝐴 𝐼𝑥

150 mm

240 mm Calculo P=

48000 N

A=

0.036 m2

e=

0.075 m

My = Ix= σAC =

3600 N-m 0.0000675 m4 -1333333.3 +

4000000 =

2666666.7 N/m2 Esfuerzo de Tensión

σBD =

-1333333.3 +

-4000000 =

-5333333 N/m2 Esfuerzo de Compresión

11.- Determinar los esfuerzos a lo largo de cada una de las 4 caras de los bloques sujeto a las cargas excéntricas indicadas a)

48 kN B

C

𝜎⬚ = ±

𝑃 𝑀𝑦 𝑒 ± 𝐴 𝐼𝑦

150 mm A

D

240mm

Calculo P=

48000

A=

0.036

N m2

ey =

0.12

m

My =

5760

N-m

Iy =

4 0.0001728 m

σAB =

-1333333.3

+

4000000

=

N/m2 2666666.67 Esfuerzo de Tensión

σCD =

-1333333.3

+

-4000000

=

N/m -5333333.33 Esfuerzo de Compresión

2

24000 Lb

16000 Lb

c)

𝜎⬚ = ±

𝑃 𝑀𝑦 𝑒 𝑃2 ± ± 𝐴 𝐼𝑦 𝐴

3" 8"

12"

P2= P= A=

24000 Lb Lb 16000 96 Pulg2

ey =

3

My =

2880

Iy =

σAB =

Pulg Lb-pulg 4 512 pulg

-166.67

+

16.875

+

-250

=

N/m2 -399.79 Esfuerzo de Compresión

σCD =

-166.67

+

-16.875

+

-250

=

N/m2 -433.54 Esfuerzo de Compresión...