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CAPÍTULO 5

VIGAS DE CIMENTACIÓN RESUMEN Se presenta la solución de vigas de cimentación de sección constante sobre un suelo que se considera linealmente elástico, se detalla el marco teórico, se resuelven ejercicios manualmente y finalmente se indica el uso del programa CIMEVIGA que sirve para resolver vigas de cimentación. Este programa reporta el desplazamiento vertical, la presión trasmitida al suelo, el giro, el momento y el cortante cada cuarto de la luz de cada vano. El programa permite resolver vigas con cargas en los nudos o vigas can cargas en los elementos o las dos simultáneamente para cualquier condición de apoyo. Finalmente se describe la solución de vigas de cimentación en forma de T invertida.

5.1 INTRODUCCIÓN En reconocimiento a la gran labor del gran investigador y profesor que fue el Ing. Alejandro Segovia Gallegos, se ha escrito este capítulo utilizando la misma nomenclatura y convención de signos, que utilizó en la solución de vigas de cimentación sobre suelo elástica pero adaptándola a la solución matricial que permite la elaboración de un programa de ordenador en forma fácil. La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vigas sobre suelo que se considera elástico, es la siguiente:

d 4 w  r w Po   EI EI dx 4

( 5.1 )

donde w es la componente de desplazamiento vertical de un punto situado a una distancia x de la viga de cimentación;  es el coeficiente de balasto del suelo, del cual muy poco se va a hablar en este texto ya que está descrito con verdadero detenimiento en los libros de suelos; r es el ancho de la viga de cimentación;

EI es la rigidez a flexión y Po es la carga vertical que gravita sobre la viga.

El modelo numérico modela al suelo como una serie de resortes verticales y cada uno de ellos tiene una rigidez que es igual a  r . La fuerza o reacción que se genera en cada resorte es igual a

rw

y la presión que se transmite al suelo por efecto de las cargas vale

de la ecuación diferencial ( 5.1 ) se resume en la tabla 5.1

 w . La solución

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104

w

Tabla 5.1 Expresiones finales de la solución de una viga de cimentación. . . . . . . Solución Factor cC cS sC Particular 1 A1 A2 A3 w o

. .

sS A4

 m

o mo

1/ 

A2+A3

A1+A4

-A1+A4

-A2+A3

2 EI / 2

-A4

-A3

A2

A1

V

Vo

2 EI / 3

A2-A3

A1-A4

A1+A4

A2+A3

La forma de interpretar cada una de las ecuaciones escritas en la tabla 5.1, es por ejemplo la siguiente para el cortante.

V  Vo  donde

. . . . . . . . 2EI           A A c C A A c S A A s C A A s S        2 3 1 4 1 4 2 3 3    

Vo es la solución particular del cortante que depende del tipo de carga que gravita en la viga.

El significado de las variables descritas en la tabla 5.1 es el siguiente:

.

s  sen u .

S  senh u

.

c  cos u

u

.



C  cosh u

x

 4

4 EI r

( 5.2 )

Por otra parte, A1, A2, A3 y A4 son constantes de integración, las mismas que se calculan en función de las condiciones de borde. w como se indicó es la componente de desplazamiento vertical, positivo si va hacia abajo;  es el giro, positivo si es horario; m es el momento, positivo si genera tracción en la parte inferior de la viga y V es el corte positivo si el lado izquierdo la fuerza es hacia arriba y en el lado derecho la fuerza es hacia abajo. Las soluciones particulares que están identificadas con un subíndice cero dependen del tipo de carga que gravita sobre la viga.

5.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO En la figura 5.1 se presenta el sistema de coordenadas locales de un elemento de una viga de cimentación. Para cimentaciones horizontales las coordenadas globales son iguales a las coordenadas locales. En la solución matricial se considera que la componente de desplazamiento vertical w es positiva si va hacia arriba y los giros son positivos si van en sentido horario. Nótese que primero se ha numerado el giro del nudo inicial, luego el desplazamiento vertical del nudo inicial, después el giro y desplazamiento vertical del nudo final. Con esta indicación, que se debe tener en cuenta para definir el vector de colocación, se pasa a indicar la matriz de rigidez de un elemento.

k  b k  a  bo

b t

a  bo

 bo

k b

 to

bo   t o  b   t 

( 5.3 )

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105

Figura 5.1 Coordenadas locales de un elemento.

Se ha identificado con k a la matriz de rigidez del elemento (con negrilla y minúscula) y con k a un elemento de la matriz de rigidez (sin negrilla). Las ecuaciones con las cuales se obtienen los elementos de la matriz de rigidez, son:

CS  sc  S2  s2 2 EI sC  Sc a  2  S  s2 4EI SC  sc t 3  2  S  s2 k

2 EI



s2  S 2 2 S 2  s 2 4 EI sS bo  2  2  S  s2 4EI Sc  Cs to  3  2  S  s2 b

2 EI



( 5.4 )

Las funciones trigonométricas e hiperbólicas que constan en ( 5.4 ) son:

s  sen

L

c  cos



S  senh

L



L



C  cosh

L

( 5.5 )



5.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura K (con negrilla y mayúscula) se encuentra en primer lugar la matriz de rigidez de cada uno de los elementos k , luego se determina el vector de colocación que para vigas de cimentación tiene cuatro elementos, que son los grados de libertad del giro y desplazamiento vertical del nudo inicial y final respectivamente. Finalmente se ensambla la matriz de rigidez.



EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, de la viga de cimentación indicada en la figura 5.2. La viga tiene una base de 60 cm y un peralte de 50 cm. La longitud de cada uno de los vanos es de 4.0 m. Esta sobre un suelo cuyo coeficiente de balasto es

  3000 T / m 3. El módulo de elasticidad del material tiene un valor E  2100000 T / m 2 .

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SOLUCIÓN

I

r h 3 0.6  0.53   0 .00625 m 4 12 12

Figura 5.2 Viga de cimentación que se resuelve.

4 * 2100000  0 .00625  2.3239 m 3000  0.6 4.0 4.0 C  cosh S  senh  2 .88516  2 .706319 2.3239 2.3239 4.0 4.0  0 .149877  0 .988704 c  cos s  sen 2.3239 2.3239 S 2  s 2  2.706319 2  0 .988704 2  6.3466269

4

Al utilizar las ecuaciones indicadas en ( 5.4 ) se encuentra:

k  14160.61 bo  4098.55

a  5798.94 t  5048.74

b  6357.91 t o  1612.86

Luego la matriz de rigidez del elemento es:

14160.61  6357.91 k 5798.94  4098.55

 6357.91 5048.74  4098.55  1612.86

5798.94  4098.55 14160.61 6357.91

Figura 5.3 Grados de libertad de la estructura.

4098.55   1612.86  6357.91  5048.74 

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Cada nudo de una viga de cimentación tiene dos grados de libertad que son la rotación y el desplazamiento vertical. En consecuencia, al no existir ninguna restricción de movimiento en los nudos de la estructura que se está resolviendo, se tienen 6 grados de libertad, los mismos que se indican en la figura 5.3. La viga de la izquierda se denomina elemento 1 y la viga de la derecha elemento 2. Con esta identificación el vector de colocación de cada elemento es:

VC (1)  1

2

3

4

 3

4

5

6

VC

( 2)

Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura se halla:

14160.61   6357.91  5798.94 K  4098.55  0.0  0.0 

5048.74  4098.55  1612.86 0.0 0.0

28321.22 0.0 5798.94 4098.55

10097.48  4098.55  1612.86

14160.61 6357.91

        5048.74

ARCHIVO DE DATOS DE PROGRAMA CAL B1 LOAD K1 14160.61 -6357.91 5798.94 4098.55 DUP K1 LOADI VC 1 3 2 4 3 5 4 6 ZERO K ADDK K ADDK K PRINT K QUIT

R=4 -6357.91 5048.74 -4098.55 -1612.86 K2 R=4

R=6 K1 K2

C=4 5798.94 -4098.55 14160.61 6357.91

4098.55 -1612.86 6357.91 5048.74

C=2

C=6 VC N=1 VC N=2

5.4 VECTORES DE CARGAS Y COORDENADAS GENERALIZADAS En la figura 5.2 se indica las cargas actuantes en la viga de cimentación y en la figura 5.3 se muestra el sistema de coordenadas generalizadas. Cuando las cargas actúan en las juntas solo se debe ver en que coordenada actúa la carga y si es en el mismo sentido de la coordenada es positivo, caso contrario es negativo. Para el ejemplo el vector de cargas vale:

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 4   50    0 Q     60  4      50 q se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales, en la que la matriz de rigidez de la estructura K es la matriz de coeficientes y el vector Q es el término independiente. Para hallar el vector de coordenadas generalizadas

SOLUCIÓN

  0.0072919   0.021263     0 .0 q     0.0068153 0.0072919      0.021263 

5.5 SOLUCIÓN EN PUNTOS INTERIORES A LA VIGA Si se continúa con la solución matricial vista en capítulos anteriores se obtendría las fuerzas y momentos que actúan en los extremos de la viga pero en un diseño a más de tener valores en los extremos se necesita conocer el desplazamiento vertical, la presión que se transmite al suelo, el giro, el momento y el corte en puntos interiores a la viga, para lograr este objetivo se utiliza el formulario indicado en la tabla 5.1 pero previamente se debe calcular las constantes de integración. Para calcular las constantes de integración A1, A2, A3 y A4 se debe recurrir a los desplazamientos verticales y giros ya conocidos y aplicar el formulario indicado en la tabla 5.2. Tabla 5.2 Formulario para calcular las constantes de integración. FACTOR         1

A1 = A2 = A3 = A4 =

Donde

1

1 2 S  s2 1 2 S  s2 1 2 S  s2

10 , 10

10

1

1

10

2

20

 2  20 

 SC  sc

0

0

0

 s2

cS  sC

 sS

CS  sc

S2

  cS  sC

sS

 SC  sc

2sS

cS  sC



 S 2  s2



corresponden a la solución particular en el nudo inicial, que depende del tipo

de carga que actúa sobre la viga;

 20 ,  20

corresponden a la solución particular en el nudo final. Por

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1

otra parte,

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es el desplazamiento vertical en el nudo inicial pero con la nueva convención de

signos, se considera positivo si va hacia debajo;

1

es el giro en el nudo inicial, positivo si es horario;

2

es el giro en el nudo

Por lo tanto los desplazamientos verticales que vienen en el vector de signo para utilizar el formulario de la tabla 5.2.

q deben cambiarse

2 es el desplazamiento vertical en el nudo final, positivo si es hacia abajo y final, positivo si es horario.

Las constantes de integración que se encuentran en la tabla 5.2 se obtienen reemplazando el valor de los desplazamientos y giros en la tabla 5.1 en X  0 que corresponde al nudo inicial y en X  L que corresponde al nudo final. Al hacer esto se tienen cuatro ecuaciones con 4 incógnitas que son las constantes A1, A2, A3 y A4. Al resolver el sistema de ecuaciones anotado se obtiene las ecuaciones presentadas en la tabla 5.2. En consecuencia, una vez que se tiene el vector siguiente: i. ii.

Desplazamiento y giro en los nudos 1 , 1 , 2 , 2 . Teniendo en cuenta el cambio de signo en los desplazamientos. Si existe carga en los miembros y de acuerdo al tipo de carga se debe hallar  10 ,  10 en el nudo inicial y

iii. iv. v.

q se debe encontrar para cada elemento lo

 20 ,  20

en el nudo final.

Calcular las constantes de integración A1, A2, A3 y A4 mediante el formulario indicado en la tabla 5.2. Hallar el desplazamiento vertical  , el giro  , el momento m y el cortante V en los puntos interiores de la viga, se puede empezar en X  0 y terminar en X  L . La presión que se transmite al suelo se obtiene multiplicando el desplazamiento vertical por el coeficiente de balasto de suelo. Esta presión en ningún caso será negativa ya que el suelo no trabaja a tracción y deberá ser menor o igual a la presión admisible del suelo. Si no cumple estas dos condiciones se debe incrementar la sección de la viga.

5.6 SOLUCIONES PARTICULARES Y ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO Se va a encontrar la solución particular para el caso de carga uniforme distribuida indicada en la figura 5.4. Para el efecto se debe resolver la ecuación diferencial ( 5.1 ).

Figura 5.4 Acciones de empotramiento para una viga sometida a carga uniforme distribuida. Por se la carga uniforme se plantea que la solución sea una constante, si la carga habría sido de tipo lineal la solución particular también habría sido del tipo lineal. Luego:

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110

o  A La derivada es cero y al sustituir en:

d 4 w  r w Po   dx 4 EI EI Se obtiene:

rA EI



Po EI



A

Po r

Luego:

o 

Po r

De otro lado se conoce que:



4

4EI  r



r

4 EI

4

Finalmente se tiene:

o  Al ser

vertical

o

constante, se tiene que

Po 4 4EI

( 5.6 )

o  0; mo  0; Vo  0

Las acciones de empotramiento perfecto se obtienen para cuando no existe corrimiento ni giro en los nudos inicial y final. En consecuencia se debe reemplazar

1  2  1   2  0 en tabla 5.2. Además se debe reemplazar 10  20  Po 4 / 4 EI ; de igual forma 10   20  0 . Al hacer todos estos reemplazos se hallan las constantes de integración A1, A2, A3 y A4. Finalmente al sustituir las constantes de integración en el formulario de tabla 5.1 y al evaluar en X=0 se hallan las acciones de empotramiento en el nudo inicial y al evaluar en X=L se encuentran las acciones de empotramiento en el nudo final. Para la nomenclatura y simbología de figura 5.4 se tiene:

M 

Po 2  S  s    2  S s

M '  M

C c V  Po    S s V ' V

( 5.7 )

5.7 USO DE PROGRAMA CIMEVIGA El programa CIMEVIGA resuelve vigas de cimentación sobre suelo elástico con cargas en los nudos y cargas en los elementos. No es obligatorio que tenga los dos tipos de carga. La información que se debe suministrar en el archivo de datos es la siguiente:

CEINCI – ESPE Roberto Aguiar Falconí        



111

Número de nudos, número de nudos restringidos, número de miembros y módulo de elasticidad. Para cada elemento se debe indicar: el número del elemento, el nudo inicial y el nudo final. Para cada elemento se debe indicar: el número del elemento, la longitud del elemento y el coeficiente de balasto. Posteriormente para cada elemento se debe dar el número del elemento, la base de la sección transversal y la altura de la sección transversal. Se debe indicar el número de juntas cargadas. Para cada junta cargada se debe indicar: el número de la junta, el momento actuante y la fuerza actuante, en este orden. El momento es positivo si es horario y la carga vertical positiva si va hacia arriba. Se debe indicar el número de elementos cargados. El programa solo trabaja con carga uniforme distribuida. Por lo tanto se debe indicar el número de elemento cargado y la carga que actúa sobre el elemento.

EJEMPLO 2

Resolver completamente la viga de la figura 5.2, con el programa CIMEVIGA. Presentar el archivo de datos e indicar los resultados cada cuarto de luz.

SOLUCIÓN El programa encuentra el desplazamiento vertical, el giro, el momento y el cortante, cada cuarto de luz. Antes de cada grupo de datos se debe indicar cualquier comentario.

ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 3 0 2 2100000.0 INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 1 1 2 2 2 3 LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 4.0 3000.0 2 4.0 3000.0 SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 1 0.60 0.50 2 0.60 0.50 CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 3 JUNTA CARGADA: NUMERO DE JUNTA, MOMENTO, FUERZA 1 4.00 -50.0 2 0.00 -60.0 3 -4.00 -50.0 CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 0

SOLUCION La matriz de rigidez de cada elemento, la matriz de rigidez de la estructura, el vector de cargas y el vector de coordenadas generalizadas reporta el programa. Estos valores ya fueron presentados por lo que se omite su presentación. Los resultados cada cuarto de luz son:

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112

Elemento

1

Tabla 5.3 Desplazamiento, giro, momento y corte cada cuarto de luz, de ejemplo 2. Distancia Desplazamie Presión Giro Momento nto 2 ( m. ) ( m. ) ( rad. ) ( T. m. ) (T/m ) 0.00 0.021263 63.79 -0.00729 4.00 1.00 0.014341 43.02 -0.00614 -29.02 2.00 0.009465 28.39 -0.00353 -35.91 3.00 0.007216 21.65 -0.00110 -25.36 4.00 0.006815 20.45 0.000000 -1.53

2

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

0.006815 0.007216 0.009465 0.014341 0.021263

20.45 21.65 28.39 43.02 63.79

0.000000 0.00110 0.00353 0.00614 0.00729

-1.53 -25.36 -35.91 -29.02 4.00

Corte ( T. ) -50.00 -18.14 2.89 17.54 30.00 -30.00 -17.54 -2.89 18.14 50.00

La convención de signos de los momentos indicados en la tabla 5.3 es la de resistencia de materiales. Por lo tanto si los momentos son positivos la tracción es en la fibra inferior y si son negativos en la fibra superior. El cortante es positivo si en el nudo inicial la fuerza es hacia arriba y en el nudo final la fuerza es hacia abajo.



EJEMPLO 3

La viga de cimentación de la figura 5.5, tiene una base de 60 cm., y un peralte de 50 cm. Los apoyos no permiten desplazamiento vertical de tal manera que solo se tiene un giro en cada nudo. El 3 primer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m ; el segundo vano tiene 4.5 3 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m ; el tercer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente 3 de balasto de 1000 T/m . Las cargas que actúan sobre cada uno de los elementos están indicadas en figura 5.5. Se pide present...