Tablas de vigas PDF

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tablas de reacciones y momentos...

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Fórmulas de deformación de vigas

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Simbolo

E·I y

θ

x L M P w R V

Magnitud Rigidez a flexión Deflexión, deformación, flecha Pendiente, giro Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) Longitud de la viga (sin vano lateral) Momento flector, flector, momento aplicado Carga puntual, carga concentrada Carga distribuida Reacción Esfuerzo cortante, cortante

Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano

− w0 x 3 ( L − 2 Lx2 + x3 ) 24 EI − 5w0 L4 L yMAX = para x = 384 EI 2 − w0 3 Pendiente θ AB = ( L − 6 Lx 2 + 4 x 3 ) 24 EI − w0 L3 θ A = −θ B = 24EI w0 x Momento M AB = ( L − x) 2 L w L2 MMAX = 0 para x = 8 2 w0 Cortante VAB = (L − 2x ) 2 wL Reacciones RA = RB = 0 2

Deflexión y AB =

Unidades

N·m2, Pa·m4 m m m N·m N N/m N N

Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano

− w0 x (9 L3 − 24 Lx 2 + 16 x3 ) 384 EI − w0 L (8 x 3 − 24Lx 2 + 17 L2 x − L3 ) y CB = 384 EI − w0 Pendiente θ AC = (9 L3 − 72 Lx 2 + 64 x 3 ) 384 EI − w 0L θ CB = (24 x 2 − 48 Lx + 17 L2 ) 384 EI − 3wL3 7 wL3 θA = θB = 384 EI 128 EI w w0 Momento M AC = (3Lx − 4 x 2 ) M CB = 0 ( L2 − Lx) 8 8 w0 − w0 L VCB = Cortante V AC = (3 L − 8 x) 8 8 VA = RA VB = −RB 3 w0 L wL Reacciones R A = RB = 0 8 8 Deflexión

y AC =

Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado

Deflexión: − w0 x 4 (a − 4a 3L + 4a 2L2 + 2a 2 x 2 − 4aLx 2 + Lx 3 ) yAC = 24LEI − w0 a2 (−a 2 L + 4L2 x + a 2 x − 6 Lx 2 + 2 x3 ) yCB = 24LEI Pendiente: − w0 θ AC = ( a 4 − 4 a3 L + 4 a2 L2 + 6 a 2 x 2 − 12 aLx2 + 4 Lx3 ) 24LEI − w0 a 2 θ CB = (4 L2 + a2 − 12 Lx + 6 x2 ) 24 LEI Momento: w a2 − w0 2 2 (a x − 2aLx + Lx ) MAC = M CB = 0 ( L − x) 2L 2L Cortante: − w0 2 − w0 a2 ( a − 2 aL + 2 Lx) VCB = VC = VB = VAC = 2L 2L 2 wa wa Reacciones R A = 0 (2 L − a) RB = 0 2L 2L

Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial

R x3 w0 RA x3 ( x − a )4 + α x yCD = A − + αx 6 24 EI EI EI 6 RB (L − x )3 β ( L − x) yDB = + 6EI L 2 R x2 w R x θ CD = A − 0 (x − a )3 + α Pendiente: θ AC = A + α 2 EI 6 EI 2 EI 2 − RB( L − x) β θ DB = − L 2 EI w Momento M AC = RA x M CD = RA x − 0 (x − a ) 2 2 M DB = RB (L − x ) Cortante VAC =VA = VC = RA VCD = RA − w0( x − a) VDB = VD = VB = − RB wb wb Reacciones R A = 0 (2 c + b) RB = 0 (2 a + b) 2L 2L Siendo: w b 3L − 6EI β − 3RBc 2 L − 3R AL (a + b )2 α = 0 6LEI 3 4 4w ab + 3w0b − 8RA (a + b )3 − 12RB c2 L + 8R Bc 3 β= 0 24 EI Deflexión yAC =

Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado

Momento

M AC = RA x −

M CD = R Ax −

w1 x 2 2

w1a (2 x − a) 2

M DB = RB (L − x ) −

w2 ( L − x) 2 2

Cortante: VAC = RA − w1 x VCD = RA − w1a VDB = − RB + w2 ( L − x) Reacciones: w a (2L − a ) + w 2c 2 w c(2 L − c) + w1 a2 RA = 1 RB = 2 2L 2L

Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano

− w 0x (7 L4 −10 L2 x 2 + 3 x 4 ) 360LEI w L4 y MAX = −0,00652 0 para x = 0,5193L EI − w0 Pendiente θAB = (7 L 4 − 30L 2x 2 +15x 4 ) 360LEI w L3 − 7w0 L3 θA = θB = 0 360 EI 45 EI w0 2 Momento M AB = ( L x − x3 ) 6L w Cortante V AB = 0 ( L2 − 3 x 2) 6L wL 2w 0L Reacciones R A = 0 RB = 6 6

Deflexión

yAB =

Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro

− w0 x (5L2 − 4x 2 )2 960LEI −w 0 (L − x ) (5 L2 − 4( L − x) 2 ) 2 yCB = 960 LEI − w0 L4 L yMAX = para x = 120 EI 2 − w0 Pendiente θ AC = (5L 2 − 4 x 2)( L 2 − 4 x 2) 192 LEI w0 θ CB = (5 L2 − 4( L − x) 2 )( L2 − 4( L − x) 2 ) 192LEI − 5w 0L3 θ A = −θ B = 192EI w0 Momento M AC = (3L 2x − 4 x 3 ) 12 L w (L − x ) (3L 2 − 4(L − x ) 2 ) MCB = 0 12 L w − w0 2 Cortante VAC = 0 ( L2 − 4 x 2 ) V CB = ( L − 4( L − x) 2 ) 4L 4L Deflexión y AC =

Reacciones R A = R B =

w0 L 4

Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida

πx − w0 L4 sen 4 L π EI L − w0 L4 y MAX = 4 para x = π EI 2 3 πx − w L3 −w L θ A = −θ B = 3 0 Pendiente θ AB = 3 0 cos π EI L π EI 2 πx wL Momento M AB = 0 2 sen L π πx w 0L wL cos Cortante VAB = V A = −V B = 0 L π π w0 L Reacciones RA = RB = π y AB =

Deflexión

Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro

Deflexión

− Px (3 L2 − 4 x2 ) 48EI − P (L − x ) (3L 2 − 4( L − x ) 2 ) y CB = 48EI L − PL3 y MAX = y C = para x = 48 EI 2 y AC =

Pendiente: −P −P 2 (4 x 2 − 8 Lx + 3 L2 ) ( L − 4 x 2 ) θCB = 16 EI 16 EI PL2 θA = −θB = 16 EI Px P(L − x ) Momento M AC = M CB = 2 2 P −P Cortante VAC = VA = V CB = V B = 2 2 P Reacciones R A = R B = 2

θ AC =

Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión

− Pbx 2 ( L − b2 − x 2 ) 6 LEI − Pa ( L − x ) 2 L − a 2 − ( L − x )2 = 6LEI

y AC = y CB

[

]

Pendiente: Pa 2 − Pb 2 θ AC = L − a 2 − 3(L − x ) 2 ( L − b 2 − 3 x2 ) θ CB = 6LEI 6 LEI Pa − Pb( L2 − b2 ) ( L2 − a 2 ) θA = θB = 6LEI 6 LEI Pa( L − x) Pbx Momento M AC = M CB = L L Pb − Pa Cortante VAC = VA = VCB = VB = L L Pa Pb Reacciones R A = RB = L L

[

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente

− Px (3aL − 3a 2 − x 2 ) 6EI − Pa (3Lx − 3x 2 − a 2 ) y CD = 6 EI − P (L − x ) 3 aL − 3 a2 − ( L − x) 2 y DB = 6EI − Pa L (3L2 − 4a 2 ) para x = yMAX = 24 EI 2 − Pa −P Pendiente θ AC = (aL − a 2 − x 2 ) θ CD = (L − 2 x ) 2EI 2EI P θ DB = aL − a 2 − ( L − x) 2 2 EI − P( aL − a2 ) θ A = −θ B = 2 EI M DB = P (L − x ) M CD = Pa Momento M AC = Px Cortante V AC = P VCD = 0 VDB = − P Reacciones R A = RB = P

Deflexión y AC =

[

[

]

]

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente

M AC = RA x M CD = RA x − P( x − a ) M DB = RB ( L − x) VCD = R A − P Cortante VAC = RA VDB = − RB P (L − b + a ) P( L − a + b) Reacciones R A = RB = L L Momento

]

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente

M AC = RA x M CD = RA x − P1 (x − a ) M DB = RB ( L − x) Cortante VAC = RA VDB = − RB VCD = RA − P1 P ( L − b) + P1 a P (L − a ) + P2 b RB = 2 Reacciones RA = 1 L L Momento

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho

− M0x 2 ( L − x 2) 6 LEI −M0 2 Pendiente θ AB = ( L − 3 x2 ) 6LEI M L − M0 L θA = θB = 0 6 EI 3 EI M 0x Momento MAB = L M0 Cortante V AB = L M − M0 RB = Reacciones RA = 0 L L

Deflexión

y AB =

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo

M0x (2 L2 − 3 Lx + x 2 ) 6LEI ⎛3− 3 ⎞ M 0 L2 ⎟L y MAX = para x = ⎜⎜ ⎟ 3 9 3EI ⎝ ⎠ M0 Pendiente θ AB = (2L 2 − 6Lx + 3x 2 ) 6LEI M L − M 0L θA = 0 θB = 3EI 6 EI −M0 Momento M AB = ( L − x) L M Cortante VAB = 0 L M0 − M0 RB = Reacciones RA = L L Deflexión

y AB =

Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo

− M0 x (2 L2 − 3 Lx + x 2) 6 LEI ⎛3− 3⎞ − M 0 L2 ⎟L para x = ⎜ y MAX = ⎜ 3 ⎟ 9 3EI ⎝ ⎠ − M0 Pendiente θ AB = (2L 2 − 6Lx + 3x 2 ) 6 LEI M L − M0 L θA = θB = 0 3EI 6EI M0 Momento M AB = ( L − x) L − M0 Cortante VAB = L M − M0 RB = 0 Reacciones RA = L L Deflexión

y AB =

Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro

−M0 x 2 ( L − 4 x2 ) 24 LEI M (L − x ) 2 (L − 4( L − x ) 2 ) y CB = 0 24LEI − M0 2 Pendiente θ AC = (L −12x 2 ) 24 LEI M0 θ CB = (12( L − x) 2 − L2 ) 24LEI M0 − M0 2 θA = ( L − 3b 2 ) θB = ( −L 2 + 3a 2 ) 6LEI 6LEI M x − M0 Momento M AC = 0 M CB = ( L − x) L L M M Cortante VAC = 0 VCB = 0 L L − M0 M0 RB = Reacciones RA = L L Deflexión

y AC =

Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto

− M 0x 2 ( L − 3b2 − x2 ) 6 LEI M (L − x ) 2 (L − 3a 2 − (L − x ) 2 ) y CB = 0 6 LEI − M0 2 Pendiente θ AC = (L − 3b 2 − 3x 2 ) 6 LEI M0 θ CB = (− L2 + 3a2 + 3( L − x)2 ) 6 LEI M0 −M0 2 θA = ( L − 3b 2 ) θ B = (− L2 + 3a 2 ) 6 LEI 6 LEI M x − M0 Momento M AC = 0 M CB = ( L − x) L L M M V CB = 0 Cortante V AC = 0 L L M0 − M0 RB = Reacciones R A = L L yAC =

Deflexión

Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos

yAB =

Deflexión

− x( L − x) [( M 1 − M 2 ) x − (2 M1 + M 2 ) L] 6LEI

Pendiente: 1 θ AB = ( M 1 − M 2 )(3 x2 − 2 Lx) − (2 M1 + M2 )(2 Lx − L2 ) 6LEI 1 Momento M AB = [(M 1 − M 2 ) x − LM 1 ] L M1 − M 2 VAB = Cortante L M −M2 M − M1 RB = 2 Reacciones RA = 1 L L

[

]

Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos

yAB =

Deflexión

− x( L − x) [(M 1 + M 2 )x − (2M 1 − M 2 )L ] 6LEI

Pendiente: 1 θ AB = ( M 1 + M 2 )(3 x 2 − 2 Lx) − (2 M 1 − M 2 )(2 Lx − L2 ) 6LEI 1 Momento M AB = [( M1 + M 2 ) x − LM 1 ] L M1 + M 2 Cortante V AB = L M1 + M 2 − M1 − M 2 RB = Reacciones RA = L L

[

]

Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos

− M 0x ( L − x) 2 EI − M 0L2 L y MAX = para x = 8 EI 2 − M0L − M0 Pendiente θ AB = ( L − 2 x) θ A = −θ B = 2EI 2EI Momento M AB = M 0 Cortante V AB = 0 Reacciones RA = RB = 0 Deflexión

yAB =

Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano

−w 0 4 ( x − 4 Lx 3 + 6 L2 x 2 ) 24 EI − w0 L4 y MAX = y B = para x = L 8 EI − w0 L3 − w0 3 Pendiente θAB = ( x − 3Lx 2 + 3L2 x ) θ B = 6EI 6EI − w0 − w0 L2 Momento M AB = M MAX = M A = (L − x )2 2 2 Cortante VAB = w0 ( L − x) Reacciones RA = w0 L Deflexión

yAB =

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado

− w0 (6a 2 x 2 − 4ax 3 + x 4 ) 24 EI − w0 a 3 (4 x − a ) y CB = 24EI − w0 a 3 (4 L − a ) y MAX = y B = 24EI − w0 Pendiente θAC = (3a 2 x − 3ax 2 + x 3 ) 6 EI − w0 a 3 θ CB = θ C = θ B = 6 EI − w0 Momento M AC = (a − x )2 M CB = M C = M B = 0 2 − w0 a 2 M MAX = M A = 2 VCB = VC = VB = 0 Cortante VAC = w0 ( a − x) Reacciones RA = w0 a Deflexión

yAC =

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre

− w 0bx 2 (3 L + 3a − 2 x) 12 EI − w0 4 ( x − 4Lx 3 + 6L2 x 2 − 4a 3 x + a 4 ) yCB = 24EI − w0 bx Pendiente θ AC = (L + a − x ) 2EI − w0 3 θ CB = ( x − 3Lx 2 + 3 L2 x − a 3) 6 EI − w0 3 θB = ( L − a3 ) 6EI − w0 b − w0 Momento ( L + a − 2 x) M CB = (L − x )2 M AC = 2 2 Cortante VAC = VA = VC = w0 b VCB = w0 ( L − x ) Reacciones RA = w0 b Deflexión y AC =

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial

Deflexión

yAC =

− w0 bx 2 (6a + 3b − 2 x ) 12 EI

− w0 4 (x − 4(a + b )x 3 + 6(a + b ) 2 x 2 − 4a 3 x + a 4 ) 24EI − w0 (4 x[( a + b)3 − a3 ]− ( a + b) 4 + a4 ) y DB = 24 EI − w0 bx Pendiente θ AC = ( 2a + b − x ) 2 EI − w0 3 θ CD = ( x − 3(a + b) x 2 + 3( a + b) 2 x − a3 ) 6EI − w0 θ DB = (( a + b) 3 − a3 ) 6EI − w0 b Momento M AC = (2a + b − 2 x) 2 − w0 (a + b − x) 2 M DB = M D = M B = 0 M CD = 2 Cortante VAC = VA = VC = w0 b VCD = w0 ( a + b − x) VDB = VD = VB = 0 Reacciones RA = w0 b yCD =

Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano

− w0 x 2 (20 L3 − 10 L2 x + x3 ) 120 LEI − 11 w0 L4 y MAX = para x = L 120 EI − w0 x Pendiente θ AB = (8 L3 − 6 L2 x + x 3 ) 24LEI − w 0L 3 θB = 8EI − w0 Momento M AB = (2L3 − 3L 2 x + x 3 ) 6L w Cortante VAB = 0 ( L2 − x 2 ) 2L w0 L Reacciones R A = 2 Deflexión

y AB =

Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano

− w0 x 2 (10 L3 − 10 L2 x + 5 Lx 2 − x 3 ) 120 LEI w L4 y MAX = 0 para x=L 30 EI − w0 x Pendiente θ AB = (4 L3 − 6 L2 x + 4 Lx 2 − x 3 ) 24LEI − w 0L 3 θB = 24 EI − w0 Momento M AB = ( L − x) 3 6L w0 Cortante V AB = (L − x )2 2L wL Reacciones R A = 0 2 Deflexión

y AB =

Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano

− w0 L ⎛ πx ⎞ 3 − 48 L3 + 3π 3 Lx 2 − π 3 x 3 ⎟ ⎜ 48L cos 4 2L 3π EI ⎝ ⎠ 4 − 2w0 L yMAX = (π 3 − 24) para x = L 3π 4 EI −w L ⎛ πx ⎞ Pendiente θ AB = 3 0 ⎜ 2π2 Lx − π2 x 2 − 8L2 sen ⎟ 2L ⎠ π EI ⎝ 3 −w L θ B = 3 0 (π 2 − 8) π EI − 2w0 L ⎛ πx ⎞ Momento MAB = ⎟ ⎜ π L − π x − 2 L cos 2 2L ⎠ π ⎝ 2 w0 L ⎛ πx ⎞ Cortante VAB = ⎜ 1− sen ⎟ 2L ⎠ π ⎝ 2 w0 L Reacciones RA = π Deflexión yAB =

Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre

−P (3 Lx2 − x3 ) 6 EI − PL3 y MAX = y B = 3 EI −P Pendiente θ AB = (2 Lx − x2 ) 2EI − PL2 θ MAX = θ B = 2 EI M MAX = M A = − PL Momento M AB = −P( L − x ) Cortante VAB = VA = VB = P Reacciones RA = P Deflexión

y AB =

Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto

Deflexión

Pendiente Momento Cortante

−P − Pa 2 (3ax2 − x3 ) y CB = (3 x − a) 6 EI 6EI − Pa 2 (3L − a ) y MAX = y B = 6 EI − Pa 2 −P 2 θ AC = θ θ θ (2ax − x ) CB = C = B = 2 EI 2EI M AC = − P( a − x) M CB = M C = M B = 0 M MAX = M A = − Pa VAC = VA = VC = P VCB = VC = VB =0 y AC =

Reacciones RA = P

Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre

− M 0 x2 2 EI 2 − M0 L para x = L y MAX = 2 EI − M0x Pendiente θ AB = EI Momento M AB = M A = M B = − M 0 VAB = VA = VB = 0 Cortante Reacciones RA = 0 Deflexión

y AB =

Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto

Deflexión

Pendiente

2 − M 0a − M0x yCB = ( 2 x − a) 2EI 2 EI − M0 a y MAX = (2L − a ) para x = L 2 EI − M0x − M 0a θ AC = θ CB = θC = θ B = EI EI M CB = M B = 0 M AC = M A = − M 0 VAC = VA = VC = 0 VCB = VC = VB = 0

y AC =

Momento Cortante Reacciones RA = 0 Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano

− w0 x 2 ( L − x) 2 24EI − w0 x 2 Pendiente θ AB = ( L − 3Lx + 2 x 2 ) 12 EI − w0 2 Momento M AB = ( L − 6 Lx + 6 x2 ) 12 w Cortante VAB = 0 ( L − 2 x) 2 wL Reacciones R A = R B = 0 2 Deflexión

yAB =

Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano

− x2 (w0 x 2 − 4RA x − 12M A ) 24 EI 3( M B + LR B) x2 − RB x 3 yCB = + 6 EI L 2 (3M B + LR B ) − 3(2M B + LR B )Lx + 6EI −x Pendiente θ AC = (w0 x 2 − 3R A x − 6 M A ) 6EI −1 θ CB = R x2 − 2( M B + LRB ) x + L(2 M B + LRB ) 2EI B w x2 Momento M AC = RA x + M A − 0 M CB = RB ( L − x) + M B 2 Cortante VAC = RA − w0 x VCB = −RB 3w L M − M B w L M − MB Reacciones RA = 0 − A RB = 0 + A L 8 8 L 2 w L − 11w0 L2 −5 0 Siendo MA = MB= 192 192 Deflexión y AC =

[

]

Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado

− x2 (w0 x 2 − 4RA x − 12M A ) 24 EI 3( M B + LR B) x2 − RB x 3 yCB = + 6 EI L 2 (3M B + LR B ) − 3(2M B + LR B )Lx + 6EI −x 2 Pendiente θ AC = (w0 x − 3R A x − 6 M A ) 6EI −1 θ CB = R x2 − 2( M B + LRB ) x + L(2 M B + LRB ) 2EI B w x2 Momento M AC = RA x + M A − 0 M CB = RB ( L − x) + M B 2 Cortante VAC = RA − w0 x VCB = −RB w ( L + b )a M A − M B Reacciones RA = 0 − L 2L w0 a 2 M A − M B RB = + L 2L 2 − w0 a Siendo M A = (6 L2 − 8 La + 3 a2 ) 12 L2 − w0 a3 (4L − 3a ) MB = 12L2 Deflexión y AC =

[

]

Viga empotrada - Carga uniforme parcial

x2 (3M A + R A x ) 6 EI −1 w0 ( x − a ) 4 − 4 RA x 3 −12 M A x 2 yCD = 24EI 3( M B + LR B) x 2 − RB x 3 y DB = + 6 EI L2 (3M B + LR B ) − 3(2M B + LR B )Lx + 6EI x Pendiente θ AC = ( 2M A + R A x ) 2 EI −1 θCD = w0 ( x − a ) 3 − 3 R A x 2 − 6 M A x 6 EI −1 θDB = R x 2 − 2(M B + LR B ) x + L (2M B + LR B ) 2EI B w ( x − a) 2 Momento M AC = M A + RA x M CD = RA x + M A − 0 2 M DB = M B + RB (L − x ) VDB = − RB Cortante VAC = RA VCD = RA − w0( x − a) w (2 c + b) b −2 M A + 2 M B Reacciones R A = 0 2L w (2 a + b) b + 2 M A − 2 M B RB = 0 2L − w 0b 2 Siendo M A = b (2L − 6c − 3b ) + (6a + 3b )(2c +b )2 24 L2 − w0 b 2 b (2L − 6a − 3b ) + (6c + 3b )(2a + b ) 2 MB = 24L2 Deflexión y AC =

[

[

]

]

[

]

[

]

[

]

Viga empotrada - Carga puntual en el centro

− Px 2 − P (L − x ) 2 (3L − 4 x ) y CB = (4 x − L) 48EI 48 EI − Px −P 2 θ CB = Pendiente θ AC = ( L − 2 x) ( L − 3 Lx + 2 x2 ) 8EI 8EI −P P Momento MAC = (L − 4x ) M CB = (3L − 4 x) 8 8 P −P Cortante V AC = V CB = 2 2 P Reacciones R A = R B = 2 Deflexión

yAC =

Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto

− Pb2 x 2 (3 aL − 3ax − bx) 6 EIL3 − Pa 2 ( L − x )2 (3bx − aL + ax ) yCB = 6EIL3 − Pb 2 x Pendiente θ AC = (2aL − 3ax − bx ) 2 EIL3 Pa 2 (L − x ) θ CB = x (3b + a )− L2 3 2EIL − Pb 2x Momento M AC = ( aL − 3 ax − bx) L3 Pa 2 M CB = 3 ( L2 + bL − Lx − 2 bx) L Pb2 − Pa 2 Cortante VAC = 3 (L + 2a ) V CB = ( L + 2 b) L3 L Pa 2 Pb 2 Reacciones R A = 3 ( L + 2 a) R B = 3 ( L + 2 b) L L Deflexión y AC =

[

]

Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente

− Px 2 (3aL − 3a 2 − Lx ) 6 EIL − Pa 2 (3Lx − 3x 2 − aL ) yCD = 6EIL − P( L − x) 2 (3aL − 3a 2 − L (L − x )) yDB = 6EIL − Pa2 − Px 2 θ θ − − (L − 2x ) Pendiente AC = (2aL 2a Lx ) CD = 2 EIL 2 EIL P( L − x) θ DB = 2 aL − 2 a2 − L( L − x) 2 EIL P Momento M AC = ( Lx − aL + a2 ) L P Pa 2 M CD = MDB = (L 2 − Lx − La + a 2 ) L L Cortante VAC = P VCD = 0 V DB = − P Reacciones RA = RB = P

Deflexión y AC =

[

]

Viga empotrada - Momento antihorario en el centro

M 0 x2 (2 x − L ) 8LEI −M 0 (5Lx 2 − 2 x 3 − 4L2 x + L3 ) yCB = 8 LEI M x − M0 (10 Lx − 6 x 2 − 4 L2 ) Pendiente θ AC = 0 (3 x − L) θ CB = 8 LEI 4LEI M0 −M0 Momento MAC = (6x − L ) M CB = (5 L − 6 x) 4L 4L 3 M0 Cortante VAB = 2L 3 M0 − 3M 0 RB = Reacciones RA = 2L 2L Deflexión y AC =

Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto

Deflexión: − M 0bx 2 M 0 a (L − x )2 ( 2 aL 2 ax bL ) yAC = − − (2bx − aL) y = CB 2L3 EI 2 L3 EI Pendiente: − M bx M a (L − x ) 2 θ AC = 3 0 (2 aL − 3ax − bL) θCB = 0 3 (L − 3bx ) L EI L EI Momento: − M 0b M a (2aL − 6ax − bL ) M CB = 03 (6bx − 4bL − aL ) MAC = 3 L L 6M 0ab Cortante VAB = L3 − 6 M 0 ab 6M 0ab Reacciones RA = RB = 3 L L3 M a − M 0b Siendo MA = (2a − b ) M B = 02 (2b − a) 2 L L

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano

− w0 x 2 (3L2 − 5Lx + 2x 2 ) 48EI − w0 x Pendiente θ AB = (6 L2 − 15 Lx + 8 x2 ) 48 EI − w0 2 Momento M AB = ( L − 5 Lx + 4 x 2 ) 8 w Cortante VAB = 0 (5 L − 8 x) 8 5w L 3w L Reacciones RA = 0 RB = 0 8 8 Deflexión

yAB =

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado

Deflexión: 8 R L( L − x) 3 − 2 w0 L( a − x)4 − w0 a 3 ( L − x)( L + 3b) yAC = B 48 EIL 3 3 R L L x w a L − − 8 ( ) ( − x)( L + 3b) 0 yCB = B 48 EIL Pendiente: − 24 RB L( L − x) 2 + 8 w0 L( a − x) 3 + w0 a 3 ( L + 3b) θ AC = 48 EIL 2 − 24 RB L( L − x) + w0 a 3 ( L + 3b) θ CB = 48EIL 2R B (L − x ) − w 0 (a − x ) 2 M CB = RB( L − x) Momento MAC = 2 Cortante VAC = − RB + w0 ( a − x) VCB = − RB w 0 (L + b )a − 2M A 2L 2 2 − w0 ( L + b) a Siendo M A = 8L2

Reacciones R A =

RB =

w0 a 2 + 2M A 2L

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado

x2 (RA x + 3M A ) 6 EI 4 R L( L − x) 3 − w0 L( L − x) 4 yCB = B + 24EIL − w0 b 2( L − x)( bL + 3 ab + 6 a 2 ) + 48 EIL x Pendiente θ AC = ( RA x + 2 M A ) 2 EI − 3R B L (L − x ) 2 + w0 L (L − x )3 w0b 2 (bL + 3ab + 6a 2 ) θ CB = + 6 EIL 48 EIL 2 R B (L − x ) − w 0 ( L − x ) 2 Momento M AC = RA x + M A M CB = 2 Cortante VAC = RA VCB = − RB + w0 ( L − x) Deflexión y AC =

w (2a + b )b + 2M A w0 b 2 − 2 M A RB = 0 2L 2L − w0 b2 (2 L + b)( L + a) − b2 Siendo MA = 16L2 Reacciones R A =

[

]

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial

x2 ( RA...