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VIGAS HORIZONTALES. El problema consiste en determinar la flexión de una viga que so- porta una carga dada. Se estudian sol¡,¡mente las vigas que son uniformes, tanto en forma como en material, y es conveniente considerarlas como si estuviesen constituidas por fibras dispuestas lonptudinalmente. En ...

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VIGAS HORIZONTALES. El problema consiste en determinar la flexión de una viga que soporta una carga dada. Se estudian sol¡,¡mente las vigas que son uniformes, tanto en forma como en material, y es conveniente considerarlas como si estuviesen constituidas por fibras dispuestas lonptudinalmente. En la viga flexada que se muestra en la figura adjunta, las fibras de la mitad superior están comprimidas y las de la mitad inferior alargadas; a ambas mitades las separa una superficie cuyas fibras ni están comprimidas ni alargadas. La fibra, que en un principio coincidía cori el eje horizontal de la viga, está ahora en esta superficie de separación dispuesta según una curva (la curva elástica o curva de flexión). A continuació1 se trata de la obtención de la ecuación de esta curva. .

Considérese una sección transversal de la viga a una distancia x de un extremo. Sea AB su intersección con la superficie de separación y P su intersección con Ja curva elástica. Se demuestra en Mecánica que el momento M con respecto a AB de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre cualquiera de los dos segmentos en que la sección transversal divide a la viga, a) es independiente del segmento considerado y b) está dado por

A>

¡¡IR

:::

11.

Aquí, E = el módulo de elasticidad de la viga e I = el momento de inercia de la sección transversal con respecto a AB son constantes asociadas con la viga, y R es el radio de curvatura de la curva elástica en P. Supóngase, para mayor facilidad, que la viga se ha remplazado por su curva elástica y la sección transversal por el punto P. Tómese el origen en el extremo izquierdo de la viga con el eje x horizontal, siendo (x, y) las coordenadas de P. Como la pendiente dyldx de la curva elástica en todos sus puntos es numéricamente pequeña,

[1 + (!>j';2 R

1 --, 2

:::

2

d y

d y

dx 2

dx 2' y A) se reduce.a 2

B)

El d Y

dx 2

=

11.

aproximadamente

El momento fiector M en )a secci6n transversal (punto P de la curva elástica) es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre el segmento de la viga (seg. mento de la curva elástica) respecto a la recta ABen la sección transversal (respecto al punto P de la curva elástica). Se supondrá aquí que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos yIas fuerzas hacia abajo dan momentos negativos. Ejemplo Sea una viga de 10 m de longitud apoyada en dos soportes verticales, como en la figum adjunta. Supóngase que la viga tiene una carga uniforme de 200 kg/m de longitud y una carga de 1000 kg concentmda en su punto medio.

y

IO-x

!%---"¡--i%-~·-- 1(10

x)_·--.......---i(lO -

-¡ x)----!

JI % O~~----r_------T_----r-------r_------_¡__=~~--1500

2000 - 200x

1500

Las fuerzas exteriores que actúan sobre OP son a) una fuerza, dirigida hacia arriba, aplicada en O, a x metros de P, igual a la mitad de la carga total, esto es, t(lOOO + 10 x 200) = 1500 kg. Yb) una fuerza, hacia abajo, de 200x kg que se puede suponer como concentrada en el punto medio de OP, o sea, a Ix metros de P. El momento flector en P es

M

=

lS00x - 2OOx(ix)

= 1500x -

lOOr.

Para demostmr que el momento flector en P es independiente del segmento considerado, téngase ahom en cuenta las fuerzas que actúan sobre PR: a) una fuerza dirigida hacia arriba de 1500 kg y aplicada en R,a lO - x metros de P, b) la carga de 1000 kg actuando hacia abajo en el punto medio de la viga, a S - x metros de P yc) 200(10 - x) kg actuando hacia abajo y supuestos como concentrados en el punto medio de PR, i(lO -,- xl metros de P. Se puede, pues, escribir M

=

1500(10 - x)

= 1500x

1000(5

xl - 200(10 - x) • too

-

x)

- 1ooX2 ,

como antes:

Se dice que una viga está empotrada en un extremo si se mantiene horizontal en él gracias a una adecuada obra de albañilería. En el ejemplo que se ha expuesto la viga no permanece horizontal en O y se dice que está ahí simplemente apoyada. ,CAltL~SUSPENDlOO.

140,

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