Vigas Curvas - Investigacion PDF

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VIGAS CURVAS

Alumno: NAVARRETE CARRASCO JARED - 17111615 Profesor: VELA VALLES ROBERTO Mecánica de Materiales II Unidad 7 Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez 2020

Índice

Introducción………………………………………………………………..…………….2 Desarrollo del tema Vigas Curvas……………………………………………………..3 Ejemplo……………………………………………………………………………………7 Conclusión……………………………………………………………………………….9 Bibliografía……………………………………………………………………………….10

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Introducción

Se sabe que las vigas son miembros que soportan cargas transversales. Las vigas se u san mayormente en posición horizontal y quedan sujetas a cargas verticales o cargas p or gravedad, sin embargo, existen excepciones. Entre los muchos tipos de vigas cabe mencionar que existen los siguientes: viguetas, d inteles, vigas de fachada, largueros de puentes, vigas curvas, etc. La fórmula de la flexión es útil para las vigas rectas cargadas simétricamente. Sin emb argo, no es útil en el caso de las vigas curvas puesto que los valores obtenidos serian i mprecisos, por lo que es necesario encontrar una solución que de resultados aceptable s para vigas curvas.

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Vigas curvas

Los elementos sometidos a flexión no siempre son rectos. A veces, como en el de los g anchos de grúas, la línea media de la barra es una curva. Si la curvatura es grande, es decir, un radio de curvatura pequeño, la deformación de esfuerzos es diferente a la dad a por la fórmula de la flexión. Consideremos un miembro curvo como el mostrado en la figura 1. Las fibras exteriores están a una distancia, del centro de curvatura O. Las fibras interiores están a una dista ncia r. La distancia de O al eje centroidal es r.

Figura 1.

La solución de este problema se basa de nuevo en la conocida hipótesis: Secciones pe rpendiculares al eje de la viga permanecen planas después de que se aplica un mome nto flexionante M. Esto está representado diagramáticamente por la línea en en relació n a un elemento abcd de la viga. El elemento está definido por el ángulo central o. Aun que la hipótesis básica sobre la deformación es la misma que para vigas rectas, y, de l a ley de Hooke, el esfuerzo normal o = Ee, se presenta aquí una dificultad. La longitud i nicial de una fibra de la viga como la gh depende de la distancia r desde el centro de c urvatura. Entonces, aunque las deformaciones totales de las fibras de la viga (descritas por el pequeño ángulo do) obedecer una ley lineal, las deformaciones unitarias no lo ha cen. El alargamiento de una fibra genérica gh es (R - r) do, donde R es la distancia de O a la superficie neutra (no conocida aún), y su longitud inicial es ro. La deformación u nitaria e de cualquier fibra es (R - r) (do)/ro y el esfuerzo normal o sobre un elemento d A de la sección transversal es:

Ecuación a.

Ecuación a-2.

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La ecuación a da el esfuerzo normal que actúa sobre un elemento de área de la secció n transversal de una viga curva. La posición del eje neutro se obtiene de la condición d e que la suma de las fuerzas que actúan per perpendicularmente a la sección debe ser igual a cero; es decir:

Ecuación b.

Sin embargo, como E, R, O y do son constantes en cualquier sección de una barra som etida a esfuerzos, ellas pueden llevarse fuera del símbolo de integración y se obtiene u na solución para R. Así entonces:

Ecuación c.

Donde A es el área de la sección transversal de la viga y R localiza al eje neutro. Note que el eje neutro así encontrado no coincide con el eje centroidal. Esto difiere de lo enc ontrado para las vigas elásticas rectas. Ahora que la posición del eje neutro se conoce, la ecuación para la distribución del esfuerzo se obtiene igualando el momento externo c on el momento resistente interno generado por los esfuerzos dados por la ecuación a. La suma de los momentos es respecto al eje z, que es normal al plano de la figura en 0 , en la figura 1.

Ecuación d.

Nuevamente, recordando que E, R, (o) y (do) son constantes en una sección, usando l a ecuación a-2 y efectuando los pasos algebraicos indicados, se obtiene lo siguiente:

Ecuación e.

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Aquí, como R es una constante, las primeras dos integrales son nulas. La tercera integ ral es E y la última integral, por definición, es r A, donde r es el radio del eje centroidal. Por lo tanto:

Ecuación f.

De donde el esfuerzo normal que actúa sobre una viga curva a una distancia r del cent ro de curvatura es:

Ecuación g.

Si (y) positiva se mide hacia el centro de curvatura desde el eje neutro y T-R = e, la ecu ación (g) puede escribirse en una forma que se parece más a la fórmula de la flexión p ara vigas rectas:

Ecuación f.

Esas ecuaciones indican que la distribución de esfuerzos en una barra curva sigue un p atrón hiperbólico. Una comparación de este resultado con el que se obtiene con la fórm ula para barras rectas se muestra en la fi gura 1(c). Note particularmente que, en la bar ra curva, el eje neutro se desplaza hacia el centro de curvatura de la viga. Esto se deb e a los mayores esfuerzos desarrollados debajo del eje neutro. La teoría desarrollada s e aplica sólo a una distribución elástica de esfuerzos y sólo a vigas en flexión pura. Par a una consideración de situaciones en que una fuerza axial está también presente en u na sección.

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||Puntos importantes a considerar: -La fórmula de la viga curva debe utilizarse para determinar el esfuerzo circunferencial en una viga cuando el radio de curvatura es menor a cinco veces la profundidad de la v iga. - Debido a la curvatura de la viga, la deformación normal en ésta no varía linealmente c on la profundidad como en el caso de una viga recta. En consecuencia, el eje neutro n o pasa por el centroide de la sección transversal. -Por lo general, la componente del esfuerzo radial causada por la flexión puede pasars e por alto, en especial si la sección transversal es una sección sólida y no está fabricad a de láminas delgadas.

||Procedimiento del análisis. Se desea aplicar la fórmula de la viga curva, se sugiere aplicar el siguiente procedimie nto. Propiedades de la sección. -Determine el área A de la sección transversal y la ubicación del centroide, medida des de el centro de curvatura. -Encuentre la ubicación R del eje neutro mediante la ecuación (c). Si el área de la secc ión transversal es "compuesta" y consiste de n partes, determine ∫dA/r para cada parte. Entonces, a partir de la ecuación (c), para toda la sección, R = ΣA/Σ (∫dA/r).

||Esfuerzo normal. -El esfuerzo normal situado en un punto r alejado del centro de curvatura se determina con base en la ecuación (g). Si la distancia y al punto se mide desde el eje neutro, ento nces encuentre e=r-Y use la ecuación (f). -Como r- R suele producir un número muy pequeño, lo mejor es calcular r y R con la pr ecisión suficiente para que la resta conduzca a un número e que tenga al menos cuatro cifras significativas. -Si el esfuerzo es positivo será de tensión, y si es negativo será de compresión. -La distribución del esfuerzo puede graficarse para toda la sección transversal, o bien p uede aislarse un elemento de volumen del material y utilizarlo para representar el esfue rzo que actúa en el punto de la sección transversal donde se ha calculado di cho esfue rzo.

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Ejemplo. La barra curva tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si se somete a los momentos de flexión de 4kn.m. determine el esfuerzo máximo normal desarrollado en la barra.

Solución: Momento interno: cada sección de la barra esta sometida al mismo momento resultant e interno de 4kn.m, como este momento tiende a disminuir el radio de curvatura de la b arra, es negativo. Así, M= -4kn.m Propiedades de la sección: aquí se considerará que la sección transversal esta compu esta por un rectángulo y un triángulo. El área total de la sección transversal es:

La ubicación del centroide se determina con referencia al centro de curvatura, es decir el punto O’.

Es posible encontrar ∫a dA/r para cada parte para el rectángulo.

Y para el triángulo.

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Así la ubicación del eje neutro se determina a partir de:

Observe que R...