Deformación POR Deflexión EN Vigas PDF

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DEFORMACION POR DEFLEXION EN VIGAS

Equipo #1 C191023 Cisneros G ómez Fernan Fernanda da C191086 Hernánde Hernándezz Velázque Velázquezz Adriana C191077 Hi Hidal dal dalgo go Estrad Estradaa Itzel C191120 Urbina Martínez Abisaí c191037 Pérez Sánchez Nalle Nallely ly Guadalup Guadalupee C191020 mo moli li lina na Samayoa Ismael Enrique

DEFORMACION POR DEFLEXION EN VIGAS. .................................................................... 2 Relación Momento Curvatura ............................................................................................... 2 i. ii. iii. • • • •

Definición ........................................................................................................................................ 2 Relación momento-curvatura m-φ.................................................................................................. 2 Definición de los principales componen el diagrama M-φ.............................................................. 3 Inicio del agrietamiento .............................................................................................................. 3 Fluencia del acero ....................................................................................................................... 3 Momento último ........................................................................................................................ 3 Momento último confinado ....................................................................................................... 3

Formas alternativas de la educación de deflexión .................................................................. 3 i. ii.

Método de Doble Integración ......................................................................................................... 4 Método de Área de Momento ........................................................................................................ 4

Condiciones de frontera y continuidad para vigas .................................................................. 4 i. ii.

Viga empotrada en voladizo ............................................................................................................ 4 Viga Simplemente apoyada ............................................................................................................. 5

Cálculo de pendiente y deflexión por integración directa ....................................................... 5 i.

Ejemplo:........................................................................................................................................... 6 • Deflexión ..................................................................................................................................... 6 • Pendiente ................................................................................................................................... 6

Método de doble integración ................................................................................................ 6 Cálculo de pendiente y deflexión mediante el principio de la viga conjugada ......................... 9 i. ii.

¿En qué consiste el método de la viga conjugada? ......................................................................... 9 ¿Qué es una viga conjugada? ........................................................................................................ 10

Condición de apoyo de la viga conjugada ............................................................................ 10 i.

Equilibrio ....................................................................................................................................... 11

Cálculo de pendiente y deflexión por el teorema área-momento ......................................... 11 i. ii.

El primer teorema del área de momentos .................................................................................... 12 El segundo teorema del área de momentos ................................................................................. 13 • Teorema del área de momentos aplicados a vigas en voladizo ............................................... 14 • Teorema del área de momentos aplicados a vigas simplemente apoyadas ............................ 14

Deducción de los teoremas de mohr ................................................................................... 15 i.

Primer teorema de Mohr: variaciones angulares .......................................................................... 16 Deducción ................................................................................................................................. 16 ii. Segundo teorema de Mohr: flechas .............................................................................................. 16 • Deducción ................................................................................................................................. 16 •

Diagramas (M/EI) ............................................................................................................... 17

Cuestionario ................................................................................................................ 18 Bibliografía ................................................................................................................. 22

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DEFORMACION POR DEFLEX ION EN VIGA GAS S RELACIÓN MOMENTO CURVATURA i. Definición El comportamiento de las secciones de concreto reforzado sometidos a acciones de diseño puede comprenderse de manera más clara mediante el uso de gráficas que relacionen el momento flexionante resistente en una sección con la curvatura, correspondiente. La curvatura es el ángulo que forman con la vertical, la línea que describe el perfil de deformaciones unitarias en la sección. El diagrama momento-curvatura es de gran importancia en el diseño de estructuras ante cargas estáticas y dinámicas, ya que de forma rápida se visualiza que tan dúctil y resistente es un miembro. Además, el área bajo la curva representa la energía interna, la parte bajo la región elástica es la energía de deformación acumulada en el miembro, mientras que el área bajo la región de postfluencia corresponde a la energía disipada en las deformaciones plásticas del mismo. ii. Relación momento-curvatura m-φ La relación momento-curvatura de una sección de concreto reforzada se obtiene a partir de las curvas esfuerzo-deformación del concreto y del acero, dicha relación depende de la geometría, del refuerzo longitudinal y transversal de la sección. Una consideración de suma importancia para calcular el diagrama momento-curvatura de una sección de concreto reforzado, es que se deben usar relaciones esfuerzo-deformación representativas de las condiciones de los materiales. Por ejemplo, si el concreto del núcleo se puede considerar como confinado, usar una relación para éste y otra para el concreto del recubrimiento. Si no sé puede considerar como confinado, bastará con usar una relación esfuerzodeformación para todo el concreto de la sección. Los puntos más importantes de la gráfica, como se muestran en la ilustración, son aquellos donde los materiales del elemento fallan o fluyen, como es el caso del momento correspondiente al agrietamiento del concreto a tensión, el momento correspondiente cuando el acero empieza a fluir y el momento cuando falla el elemento por compresión del concreto. El comportamiento de los elementos sujetos a flexión antes de la falla, nos permite determinar la curvatura del elemento en el estado de servicio o la deformación del acero en tensión. Por otro lado, con la gráfica M-φ se puede analizar la influencia del acero en compresión antes y después del agrietamiento así como después de la fluencia del acero hasta llegar a la falla del elemento. Los elementos de concreto reforzado son diseñados bajo la teoría de resistencia última usando especificaciones de diferentes códigos, asumiendo en la mayoría de los casos una distribución rectangular de esfuerzos de compresión del concreto y despreciando su resistencia a la tensión. Sin embargo, para conocer el comportamiento del elemento antes de falla, se asume una distribución Ilustración 1 Gráfico generalizado de la relación M-φ pág. 2

parabólica de esfuerzos de compresión y una distribución lineal de los esfuerzos de tensión del concreto. iii. Definición de los principales componen el diagrama M-φ •

Inicio del agrietamiento

En el principio del fisuramiento se presenta cuando en la fibra extrema a tensión, el concreto alcanza su resistencia a la tensión, por falla local empiezan a parecer las primeras grietas. En la ilustración se aprecia que la capacidad a flexión correspondiente al punto A es muy baja por este motivo muchas veces se le ignora, incluso en varios estudios se le considera a este punto como el comienzo del rango elástico. •

Fluencia del acero

Este punto define el final del comportamiento elástico de la sección. En varios estudios se considera la rama elástica a la recta que une el origen de coordenadas con el punto Y. Este punto se determina cuando el acero a tensión alcanza su fluencia. •

Momento último

En el momento máximo o momento último podemos decir que este punto se establece comúnmente cuando el concreto llega a su máxima deformación útil a compresión εu o cuando el acero llega a la rotura, el que se alcance primero. •

Momento último confinado

Este es el último punto de la gráfica momento-curvatura, en esta fase o transición se debe considerar el papel que juega el refuerzo transversal en la ductilidad de los elementos estructurales al otorgar al concreto confinamiento permitiéndole llegar a deformaciones más dúctiles. En esta fase el recubrimiento ya no trabaja por lo que debe eliminarse por lo tanto debe calcularse las dimensiones efectivas de la sección transversal.

Ilustración 2 Estados límites en el diagrama momento-curvatura

FORMAS ALTERNATIVAS DE LA EDUCACIÓN DE DEFLEXIÓN Se hará mención de métodos para la deflexión de vigas, con una breve explicación que más adelante serán mejormente detallados. pág. 3

i. Método de Doble Integración Es el más general para determinar deflexiones, se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. ii. Método de Área de Momento Proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga.

CONDICIONES DE FRONTERA Y CONTINUIDAD PARA VIGAS El cálculo de las deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructurales; por ejemplo, la determinación de deflexiones es esencial en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Las deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se investigan las vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a sismos. Las condiciones de frontera y continuidad se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estáticamente determinadas, donde se utiliza la ecuación de momentos flexionantes por medio de la resolución de ecuaciones diferenciales; como son vigas estáticamente determinadas se pueden obtener los momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Las condiciones de frontera se refieren a las deflexiones y a las pendientes en los apoyos de una viga; por ejemplo, en un apoyo simple, la deflexión como la pendiente son cero y en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero. Cada una de tales condiciones de frontera da una ecuación que puede usarse para evaluar las constantes de integración. Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración confluyen, como en el punto C de la viga en la figura. La curva de deflexión de esta viga es físicamente continua en el punto C, de suerte que la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte derecha. De manera similar, las pendientes encontradas para cada parte de la viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones de continuidad proporciona una ecuación para evaluar las constantes de integración. Las condiciones de frontera y continuidad solas bastan para determinar las constantes de integración. i. Viga empotrada en voladizo Se identifica donde se encuentra el origen del sistema. Se deduce para fines de facilita miento que el origen sea en el empotramiento. De acuerdo a la configuración del sistema el extremo izquierdo está fijo: V (0) = 0 Deflexión en cero es igual a cero. V’ (0) = 0 La pendiente en 0 es igual a cero.

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Sin importar cuanto se deforme, la pendiente en 0 cero deberá ser 0 cero. El momento en el empotramiento deberá ser el momento máximo (M el extremo libre deberá ser 0 cero.

máx.)

y el momento en

ii. Viga Simplemente apoyada En la articulación V (0) = 0 desplazamiento es igual a cero. Claro está porque el perno impide que la barra se desplace. El momento es igual a cero ya que el perno no ofrece ninguna resistencia al giro. En el otro extremo las condiciones son similares: V (L)=0 deflexión en L es igual a cero. M (L)=0 también es igual a cero. El origen está en el perno, ya que en la barra la carga se encuentra en la mitad y es simétrica, la curva de deflexión dirá que hay una pendiente igual a cero, V’ (L/2) = 0, se deduce que en el centro habrá un momento máximo (M máx.). Estas condiciones ocurrían si en lugar de una carga puntual, hubiera una carga uniformemente distribuida sobre la viga (barra). En el caso de las deflexiones en los extremos, las deflexiones siguen siendo las mismas, pero ahora referimos a una condición especial, la condición de “Continuidad”. De la estática reconocemos que tenemos 2 ecuaciones de momentos de A-B y B-C, entonces, si utilizáramos el método de integración sucesiva tendríamos que emplear 2 ecuaciones de momento y por lo tanto, nos darían 2 ecuaciones de deflexión y 2 de pendiente, en ese caso la continuidad de la viga en el punto B que es la unión entre el primer segmento y el segundo segmento tendría que ser igual. La pendiente medida en A de la ecuación que va de AB tiene que ser igual a la pendiente en A medida de la ecuación de BC, pasa lo mismo con la ecuación de deflexión.

CÁLCULO DE PENDIENTE Y DEFLEXIÓN POR INTEGRACIÓN DIRECTA La figura muestra la elástica de una viga deformada por cargas (que no se indican). El objeto del procedimiento de integración es expresar la ecuación para la elástica de la viga en términos de las cargas y de las coordenadas x y y. Teniendo establecido que las deflexiones de la viga son pequeñas en comparación con la longitud de la viga, se

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puede considerar a cada pequeño segmento de la elástica como el arco de un círculo que tiene un radio de curvatura ρ, dicha curvatura se define como: 1

𝑑 2 𝑦/𝑑𝑥 2 2 3/2 = 𝜌 [1 + (𝑑𝑦/𝑑𝑥) ]

Donde ρ = radio de curvatura; x, y = coordenadas de un punto sobre la curva. En las vigas, la pendiente dy/dx es muy pequeña que cuando el término se eleva al cuadrado, se hace tan pequeño que puede despreciarse. Con esta aproximación, la ecuación de la elástica de una viga puede escribirse como: 1 𝑑2 𝑦 = 𝜌 𝑑𝑥 2

La curvatura de una viga está relacionada con el momento flexionante, cuya relación puede expresarse con la siguiente ecuación:

Por lo tanto se puede escribir:

1 𝑀 = 𝜌 𝐸𝐼

𝑑2 𝑦 𝑀 = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

La solución de esta ecuación son ecuaciones que permiten calcular la pendiente y la deflexión de la elástica de la viga. i. Ejemplo: La ecuación de la elástica para todo el claro de una viga simplemente apoyada, de longitud 1.7𝑥

L es: 𝑦 = 24𝐸𝐼 (𝐿3 − 2𝐿𝑥 2 + 𝑥 3 ). Determinar las ecuaciones de deflexión y pendiente. •

Deflexión

𝑦= •

Pendiente

1.7𝑥 3 1.7𝑥𝐿3 − 3.4𝐿𝑥 3 + 1.7𝑥 4 (𝐿 − 2𝐿𝑥 2 + 𝑥 3 ) = 24𝐸𝐼 24𝐸𝐼 𝑑𝑦 1.7𝐿3 − 10.2𝐿𝑥 2 + 6.8𝑥 3 = 𝑑𝑥 24𝐸𝐼

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN El método de la doble integración permite determinar una función que describe la deflexión de la viga. Este método nos permite calcular las pendientes y deflexión de la viga en

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cualquier punto. La dificultad radica en despejar las constantes de integración. Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformación de la viga. Considérese una viga en voladizo con una carga concentrada que actúa hacia arriba en el extremo libre. Debido a la acción de esta carga el eje de la viga se deforma y adopta una forma curva, como se muestra en la figura. Los ejes de referencia tienen su origen en el empotramiento de la viga, con el eje x dirigido hacia la derecha y el eje y dirigido hacia arriba. El eje z está dirigido hacia fuera de la figura (hacia el observador). La deflexión v es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto sobre el eje de la viga. Dado que el eje y es positivo hacia arriba, las deflexiones también son positivas hacia arriba. Para obtener la ecuación de la curva de deflexión, debe expresarse la deflexión v como una función de la coordenada x. La deflexión v en cualquier punto m1 sobre la curva de deflexión se muestra en la figura. El punto m1 está ubicado a una distancia x desde el origen (medida a lo largo del eje x). También se muestra un segundo punto m2, ubicado a una distancia x + dx desde el origen. La deflexión es este segundo punto es v + dv donde dv es el incremento en la deflexión conforme se describe ds a lo largo de la curva m1 a m2. Cuando la viga se flexiona, no solo hay una deflexión en cada punto a lo largo del eje, sino también una rotación. El ángulo de rotación θ del eje de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión. El ángulo de rotación en el punto m2 es θ + dθ, donde dθ es el incremento angular conforme se describe el arco del punto m1 al punto m2. Si se trazan líneas normales a las tangentes el ángulo entre estas normales es dθ. Se observa que: 𝜌𝑑𝜃 = 𝑑𝑠.

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La curvatura κ (igual al recíproco del radio de curvatura) está dada por la ecuación: 𝑘=

1

𝑑𝜃 = 𝑑𝑠

𝜌 La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada dv/dx de la expresión para la deflexión v. La pendiente es el incremento dv en la deflexión dividido entre el incremento dx en la distancia a lo largo del eje x. Como dv y dx son infinitesimalmente pequeños, la pendiente dv/dx es igual a la tangente del ángulo de rotación θ: 𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑣

= tan 𝜃, 𝜃 = arctan 𝑑𝑥

Las curvas de deflexión de la mayor parte de las vigas y columnas tienen ángulos de rotación muy pequeños, deflexiones muy pequeñas y curvaturas muy pequeñas. Si el ángulo de rotación θ es una cantidad muy pequeña (y de aquí que la curva de deflexión sea casi horizontal), se observa que la distancia ds a lo largo de la curva de deflexión es prácticamente la misma que el incremento dx a lo largo del eje x (𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥). La curvatura resulta: 𝑘 =

1

𝜌

=

𝑑𝜃

𝑑𝑠

Para θ pequeño θ ≈ tan θ: 𝜃 ≈ tan 𝜃 =

𝑑𝑣

𝑑𝑥

Si las rotaciones de una viga son pequeñas, se puede suponer que el ángulo de rotación θ y la pendiente dv/dx son iguales. Al derivar θ con respecto a x en la ecuación anterior, se obtiene: 𝑑𝜃 𝑑 2 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

La relación entre la curvatura de una viga y su deflexión es: 𝑘=

1 𝑑2𝑣 = 𝜌 𝑑𝑥 2

Esta ecuación es válida para una viga de cualquier material, siempre que las rotaciones sean pequeñas. Si el material de una viga es linealmente elástico y sigue la ley de Hooke: 𝑘=

1 𝑀 = 𝜌 𝐸𝐼

M es el momento flexionante y EI es la rigidez a la flexión de la viga. La ecuación anterior muestra que un momento flexionante posi...