Capítulo 7 - Fuerzas Internas en Vigas - copia PDF

Preview

Summary

Download Capítulo 7 - Fuerzas Internas en Vigas - copia PDF

Description

FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmación, de corregir errores”. Julius Robert Oppenheimer

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Rockefeller Center, Nueva York

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

1



Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.1 DEFINICIÓN DE VIGA Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra.

h L L >>> b , h

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

b

2

V

Tipos de apoyos:

H

H

M

Q

V Móvil

Fijo

R

Rótula

Empotramiento

Tipos de cargas: P1

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

W2 (tn/m)

P2

P3 (tn)

W1

Cargas repartidas Cargas concentradas

m1

m2 (tn- m)

 Para determinar las reacciones, pueden sustituirse las cargas repartidas por cargas concentradas equivalentes.  Para calcular las fuerzas internas en una viga, se puede hacer esa sustitución pero con

Momentos concentrados o pares

especial cuidado.

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Vigas estáticamente determinadas (ISOSTÁTICA): Cuando se pueden determinar las reacciones de los apoyos utilizando las ecuaciones del equilibrio estático.

Vigas estáticamente indeterminadas (HIPERESTÁTICA): Cuando el número de las reacciones excede el número de ecuaciones de equilibrio; para determinar las reacciones será necesario usar ecuaciones basadas en la deformación de la viga.

V igadeGalileo

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

3

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

L: luz (distancia entre apoyos) L

Vigas estáticamente determinadas

Vigas estáticamente indeterminadas

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Nota 01: Una estructura es estable cuando puede soportar cualquier sistema de carga, resistiendo sus elementos en forma elástica la aplicación de las cargas. Estabilidad externa: Número de reacciones mayores a dos, no concurrentes en un punto, ni paralelas. Estabilidad interna: Referido a los elementos que conforman la estructura, siendo necesario que las deformaciones sean pequeñas.

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

4

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Nota 02: Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio estático, cuando ante la acción de fuerzas externas, la estructura permanece en estado de reposo. El equilibrio estático se puede aplicar a toda una estructura en sí, como también a cada una de sus partes o componentes. Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio dinámico, cuando ante la acción de cargas generadas por sismo, viento, motores, etc., la estructura responde (se deforma) con un movimiento o vibración (aceleración) controlado de cada una de sus partes; mas no así sus soportes o apoyos.

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS Se pretende determinar las fuerzas internas que mantienen juntas las diversas partes de una viga. En esta parte presentaremos lo que han denominado “Fuerza Cortante” y “Momento Flector” en cualquier sección de la viga.

Y

Y

P

Y

P

P

Y



X

X

h

X

X

X

X

X

X

b

Y

Y

a

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

e

P

Y

Y

b

c

5

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Caso

a :

Si las cargas están contenidas en el plano de simetría de la sección, entonces se produce flexión y fuerza cortante. P

X

X

h

X

X

b R1

Y

Y

P

Y

R2

Y

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Caso

b :

Si la carga es excéntrica, entonces, adicionalmente, se produce momento torsional. e Y

Y

P

P

X

X

h

X

X

b

Y

Y

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

6

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Caso

c :

Si la carga es centroidal e inclinada, entonces se produce cortante y flexión en dos planos (X e Y). P

Y

Y

P



X

X

h

X

X

b

Y

Y

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Caso

d :

Si la carga es inclinada en el plano longitudinal, entonces, adicionalmente a la fuerza cortante y flexión, se producen fuerzas axiales en la viga (tracción y compresión). Y

Y

P

P

X

X

X

h

X

b

Y

Y

P

Compresión Axial

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

Tracción Axial

7

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

 FUERZAS INTERNAS EN BARRAS DE UN RETICULADO:

C

C

A

F

F

B

F

F

A

F

F

F

F

B

F

F F

F

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

 FUERZAS INTERNAS EN UNA PLACA EN FORMA DE “L”:

Q M

B

D A

P

V

C

P

P

V Q

M

P

Si cortamos un elemento que está en equilibrio, para que cada subsistema o subelemento se mantenga en equilibrio, debe “haber” en la sección del corte fuerzas internas que generen acciones opuestas a las que se producen las fuerzas externas.

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

8

 FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Tenemos una viga como la que se muestra en la figura (apoyada en sus extremos y con cargas concentradas).

b a

P1

Y

P2

P3

1

X

1 R1

R2

X

Si hacemos el corte 1-1 a la viga, a una distancia “X” metros del apoyo izquierdo, para mantener el equilibrio aparecerán los efectos internos que se indican: V y M.

(x-a)

El objetivo es determinar el valor de esas fuerzas internas.

(x-b)

P1

P2

1

R1

M

1

V

Efectos internos

X

(Si consideramos el equilibrio en la zona izquierda del corte, entonces habrá que tener en cuenta las fuerzas internas del lado derecho del corte).

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

 Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el subsistema:

(+)   F y = 0

:

R1 – P1 – P2 – V = 0

 M1-1 = 0

:

-R1 (x) + P1 (x-a) + P2 (x-b) + M = 0

+

 V = R1 – P1 – P2

Fuerza cortante

(en el lugar del corte)

 M = R1 (x) – P1 (x-a) – P2 (x-b)

Momento flector

Fuerza cortante (V):

Suma algebraica de las fuerzas verticales situadas a un lado de la sección en estudio.

Momento flector (M):

Suma algebraica de los efectos de momento producido por las fuerzas externas situadas a un lado de la sección en estudio.

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

9

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

C

A

F

F

F

B

F

F

F

B D C

A

P

P

Q M V

V

M

P

P

Q

CRITERIO DE SIGNOS:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

X

Cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre una viga, tienden a cortar o doblar a la viga como se muestra, se considera el signo indicado.

dx L

+

-

dx

dx

Momento

Momento

positivo

negativo

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

10

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

X

dx L

Cortante

Cortante

positivo

negativo

X

dx Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

L

dx

Parte izquierda

M

dx

Parte derecha

T

M

C

C

T

M

Momento positivo

M Momento negativo

V

V

+

V

V

Cortante positivo

Q

+ Normal positiva

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

-

Cortante negativo

Q Q

-

Q

Normal negativa

11

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

1. Cálculo de las reacciones en los apoyos.

2. Determinación del corte y momento genérico para toda la viga. V

3. Diagrama de fuerza cortante:

o

+ -

X

-

X

M

Diagrama de momento flector:

o

+

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.4 RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR W (Tn/m) 1

2 a

R1

b

L

R2

(m)

X

i

d V dx

:

Vb  Va    xxba w dx  

d M dx

:

M b M a   xx ba v dx 

w 

ii

v

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

(Área bajo la curva de cargas entre los puntos “a” y “b”).

(Área bajo la curva de fuerza cortante entre los puntos “a” y “b”).

12

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Ecuación (i):

La variación en la fuerza cortante entre dos puntos es igual a menos el área comprendida bajo la curva de carga entre los mismos dos puntos. Válida sólo para cargas repartidas, las cargas concentradas mostrarán cambios bruscos (discontinuidades en la curva o función).

Ecuación (ii):

El área entre dos puntos bajo la curva de fuerza cortante es igual a la variación en el momento flector entre estos mismos puntos.

Aplicable para cargas repartidas y concentradas pero no para pares (momentos concentrados). También muestra que la fuerza cortante es nula en los puntos donde el momento flector es máximo, facilitando la determinación de las secciones en la que la viga podría fallar debido a la flexión.

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.5 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

PROBLEMA 1: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector en la viga mostrada.

300 Lb/pie

A

B 10 pies

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

2 000 Lb-pie

5 pies

5 pies

13

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

 Cálculo de reacciones:

P = (300 Lb/pie) (10 pie) = 3000 Lb 1

RA

300 Lb/pie

1

A

10 pies

2 000 Lb-pie

2

3

2

3

B

+

5 pies

+   FY = 0 :

RA = 1 866,67 Lb

corte 1-1:

X

V

RB = 1 133,33 Lb

 Cálculo de las fuerzas internas:

RB

5 pies

 MA = 0 :

0  x  10

+

(izq.)

1 866,67

(Lb)

300 (x)

X/2

300 Lb/pie

+

1

X

-

V 1

- 1 133,33

RA

M

X

(Lb-pie)

+

X

3 666,7

M1-1 = RA x – 300 x2/2

V1-1 = RA – 300 x M

 

X = 0  V1-1 = 1 866,67 Lb X = 10  V1-1 = -1 133,33 Lb

X = 0  M1-1 = 0 X = 10  M1-1 = 3 666,7 Lb-pie

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

1

300 Lb/pie

2 000 Lb-pie

2

RA

1

A

10 pies

2

B

RB

10  x  15

+

(izq.)

5 pies

300 (10)

3 5

5 pies

X

V

corte 2-2:

3

300

(X – 5)

2

Lb

M

pie

1 866,67

V

2

(Lb)

RA X

+

X

V2-2 = RA – 3 000 = -1 133,33 Lb

- 1 133,33

M

- 2 000

-

(Lb-pie)

+ 3 666,7

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

X

M2-2 = RA x – 3 000 (x – 5)



X = 10  M = 3 666,7 Lb-pie X = 15  M = -2 000 Lb-pie

14

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

300 Lb/pie

1

2 000 Lb-pie

2

3

2

3

corte 3-3: RA

1

A

10 pies

B

5 pies

0x5

(derch.)

+

RB

5 pies

M

X

X

V3 2 000 Lb-pie

V

1 866,67

3

(Lb)

X

+

X

-

V3-3 = 0

- 1 133,33

- 2 000

M

-

(Lb-pie)

X

M3-3 = – 2 000 Lb-pie

+ 3 666,7

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

300 Lb/pie

RA

2 000 Lb-pie

B

A 10 pies

5 pies

Determinación del momento máximo: M máx

V RB

d M 0 dx

 V11  1866,67 300x

5 pies

 x 6,22pies V

1 866,67

(Lb)

 Mmáx  M X  6,22 +

X

6,22

- 1 133,33

T

 1866,67(6,22) 

300 (6,22)2 2

 Mmáx  M X  6,22  5 807,4 Lb  pie

C

- 2 000

M

-

6,22

(Lb-pie)

+ C

3 666,7

5 807,4 (M máx)

X

NOTA: Si la curva de cargas es una línea recta horizontal, la de las fuerzas cortantes será una línea recta oblicua (1er. grado), y la de los momentos flectores será una parábola (2do. grado). Estas dos últimas curvas son siempre un grado y dos grados, respectivamente, mayores que la curva de la carga.

T

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

15

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 2: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

Rótula 2 tn/m

A

D

B

2m

2m

C

3m

Rótula

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

1

2

2 tn/m

 Cálculo de reacciones: A

D

RA

2m

B

1

RB

2m

C

2

RC

3m

RA = 2 tn RB = 11,67 tn RC = 0,33 tn

X

 Cálculo de fuerzas internas: 0x4

corte 1-1

(izq.)

+ X = 0  V = 2 tn

2x

V1-1 = 2 - 2x

X/2 2 tn/m

1

X = 4  V = - 6 tn

M

1 V

RA X

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

X=1V=0 X = 2  V = - 2 tn

X=0M= 0

M1-1 = 2 x – 2 x (x/2)

X = 1  M = 1 t n-m X = 2  M = 0 (Rótula) X = 4  M = - 8 tn-m

16

Rótula

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

1

2 tn/m

2

corte 2-2: A

D

RA

2m

B

1

RB

2m

3m

X/2

M V

5,67 2

RC 0

X

X - 0,33

-

-2

2 tn/m

2

2

+

0

+

2x

RC X

V

(derch.)

C

2

X

(tn)

0x3

V2-2 = 2 x - RC

-6

M

-8



X = 0  V = - 0,33 tn X = 3  V = 5,67 tn

(tn-m)

0

+

X

0

+

1

M2-2 = – 2 x (x/2) + RC (x)

0

0,027



X=0M=0 X = 3  M = - 8 tn-m

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 3: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

2 tn-m

4 tn-m

A

B

2m

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

3m

1m

17

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

2 tn-m

1

2

4 tn-m

 Cálculo de reacciones:

3

B

A

RA

1

2

3

2m

3m

1m



RB

 M

   F

0

B

:

 0

Y

R

:

R

X

A

B

1 tn 3 1 tn  3 

 Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:

0  x  2 (izq.)

corte 2-2:

+

1 M

A

2 tn-m

V...