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FUERZAS INTERNAS EN VIGAS

“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmación, de corregir errores”. Julius Robert Oppenheimer

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Rockefeller Center, Nueva York

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

1



Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.6 PÓRTICOS ISOSTÁTICOS Un pórtico es una estructura reticular formada por elementos (vigas y columnas) conectados entre si mediante uniones rígidas (conexión vigacolumna), diseñado para soportar las fuerzas externas aplicadas en sus elementos. Las vigas y columnas de un pórtico no pueden girar independientemente en sus zonas de encuentro (conexión viga-columna), por lo que, en una conexión, las fuerzas internas de los elementos (fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores) se transmiten de un elemento a otro. Otras conexiones sólo permiten la transmisión de determinados esfuerzos. La más frecuente es la rótula, que impide la transmisión de momentos flectores.

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

2

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Eje de barras sin cargas

θ

Eje de barras deformadas

θ θ

θ

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Para el cálculo de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de un pórtico isostático, se propone el siguiente procedimiento: i.

Calcular las reacciones en los apoyos ( FX = 0,  FY = 0,  MA = 0). A: Punto en que podamos eliminar el mayor número de reacciones incógnitas.

ii.

Diagrama de cuerpo libre para cada una de sus vigas y columnas.

iii. Las fuerzas en la base de las columnas son las reacciones. iv. Los valores en la parte superior de las columnas pueden obtenerse de la estática. v. Dibujar los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector (se sugiere dibujar los diagramas como si se estuviera “situado” al interior del pórtico).

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

3

10 kN

B

C

10 kN

B

C Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

4m A

D

Ax

A

D

Ay

10 m

Dy

MBC

MCB NCB

NBC

NBA

MCD

MBA 10 kN

NCD

VCB

VBC

VBA

Dx

VCD

5 kN

5 kN 4 kN

4 kN 20 kN-m

20 kN-m 4 kN 20 kN-m 10 kN

5 kN

5 kN

4 kN

20 kN-m 4 kN

4 kN

5 kN

5 kN

5 kN

5 kN

4 kN

4 kN

10 kN

B

C Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

4m A

D

10 m

+

-

+

-

+

5 kN

4 kN

- 4 kN

5 kN

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

- 4 kN

- 5 kN

20 kN-m

+

+

- 20 kN-m - 20 kN-m

20 kN-m

+

DMF

+ -

-

-

+

-

-

DFC

+

-

DFN

4

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 14: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:

3m

6m

100 kN B

C

3m 50 kN

3m A

 Cálculo de Reacciones:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría



Cy

Ax

 MA 0

   FY  0

: C :

   FX  0

A :

Y

 50 kN

Y

 50 kN

A

X

 50 kN

Ay

 Diagrama de cuerpo libre: Columna AB: 50 kN

0x3

150 kN-m

(izda.)

+

0

N = - 50 kN V = + 50

B

kN

M = + 50 x

3m 50 kN

3x6 X

3m

A

50 kN

(izda.)

+

N = - 50 kN V = + 50 - 50 = 0 M = + 50 x - 50 (x - 3) = 150

kN-m

50 kN

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

5

3m

Viga BC:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

100 kN

50 kN B

0

6m

0x3

C

+

(izda.)

N=0 V = + 50

150 kN-m

50 kN X

kN

M = + 50 x + 150

X

0x6

+

(dcha.)

N=0 V = - 50

kN

M = + 50 x

DFN

DFC

DMF

(kN)

(kN)

(kN-m)

+ 150

+ 50

+ 150

- 50

- 50

+ 50

+ 150

+ 300

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 15: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:

3m

3m

500 kg 200 kg/m B

C 3m 400 kg

600 kg-m

6m

3m A

D

300 kg/m

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

6

 Cálculo de Reacciones:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría



M

A

0

   FY  0

: D :

   FX  0 Ay

Y

 1050 kg

A Y  650 kg :

A X  500 kg

Dy

 Diagrama de cuerpo libre: 650 kg 600 kg-m

Columna AB:

400 kg B

0x6

+

(izda.)

N = - 650 kg V = + 25 x2 - 300 x + 500

6m

X

M = + (25/3) x3 - 150 x2 + 500 x A 500 kg

300 kg/m 650 kg

1 050 kg

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Columna CD:

1 800 kg-m 400 kg

0x3

(dcha.)

C

+

N = - 1 050 kg V=0

3m 400 kg

600 kg-m

M=0

X

3m

3x6

(dcha.)

+

N = - 1 050 kg

D

V = + 400 kg M = - 600 - 400 (x - 3)

1 050 kg

3m

Viga BC:

3m

0x3

(izda.)

500 kg

+

200 kg/m 400 kg 600 kg-m

V = - 200 x + 650 400 kg

B

C

650 kg X

1 050 kg

N = - 400 kg

M = - 100 x2 + 650 x - 600

1 800 kg-m

3x6

(izda.)

+

N = - 400 kg V = - 200 x + 150 M = - 100 x2 + 150 x + 900

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

7

DFN

DFC

(kg)

(kg)

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

+ 650

- 400

- 450 - 1 050

- 1 050 + 500

- 650

+ 400

- 400

+ 50

- 1 800

DMF

- 1 800

- 600 - 600

(kg-m)

+ 450

0

+ 466,7

- 600 Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 16: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:

3m

3m

2 tn/m B

C Rótula

4m

A

D

3 tn/m

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

8

 Cálculo de Reacciones:

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

2 tn/m B Rótula

A

3 tn/m



M

A

 0

: D



 M

D

0

:



 M DERECHA  0 RÓT ULA

Y

 7,33

tn

Y

 4,67

tn

C

D

Ax

Ay

A

: D

X

 3,25

tn

Dx

   FX  0

Dy

:

A X  2,75

tn

 Diagrama de cuerpo libre: 4.67 tn 5 tn-m

Columna AB:

3.25 tn B

0x4

+

(izda.)

N = - 4,67 tn V = + (3/8) x2 - 3 x + 2,75

4m

X

M = + (1/8) x3 – 1,5 x2 + 2,75 x A 2.75 tn

3 tn/m 4.67 tn

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

7.33 tn

Columna CD:

13 tn-m 3.25 tn

0x4

C

(dcha.)

+

N = - 7,33 tn V = + 3,25 tn

4m

M = - 3,25 x

X

D 3.25 tn 7.33 tn

Viga BC: 3m

3m

0x6 2 tn/m 3.25 tn

3.25 tn 5 tn-m

B

C

4.67 tn

(izda.)

+

N = - 3,25 tn V = - 2 x + 4,67 M = - x2 + 4,67 x - 5

13 tn-m

7.33 tn

X

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

9

DFN

DFC

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

+ 4,67

(tn)

- 3,25

(tn)

- 3,25

+ 2,75

- 4,67

+ 3,25

- 7,33

- 7,33

- 13 -5

DMF (tn-m)

0

0

+ 1,38

-5

- 13

+ 0,45

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

PROBLEMA 17: Hallar los diagramas de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flector del siguiente pórtico:

3 tn

3m

3 tn

2 tn/m

2 tn/m Rótula

B

C

3 tn

6m

D

A

1,5 m

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

1,5 m

1,5 m

1,5 m

10

 Cálculo de Reacciones: 3 tn

3 tn

2 tn/m

3m

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

2 tn/m Rótula

B 3 tn

6m A



M

 0 :



 MD  0



M

A

D

 14,48

Y

tn

C

:

A Y  8,49

 0

DERECHA

RÓT ULA

tn

: D X  2,916

tn

D Dx

Ax Ay

   FX  0

:

A

X

 0,084

tn

Dy 1,5 m 1,5 m

1,5 m

1,5 m

 Diagrama de cuerpo libre: 8,49 tn 0,50 tn-m

Columna AB: 2,916 tn

3 tn

B

0x6

+

(izda.)

N = - 8,49 tn V = + 0,084 tn

6m

X

M = + 0,084 x A

0,084 tn

8,49 tn

14,48 tn Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

17,50 tn-m

Columna CD:

2,916 tn C

0x6

+

(dcha.)

N = - 14,48 tn

6m

V = + 2,916 tn

X

M = - 2,916 x D 2,916 tn

14,48 tn

Viga BC: 3 tn

2 tn/m

3 tn

3m 2,916 tn

2,916 tn B

C

0,50 tn-m

17,50 tn-m 14,48 tn

8,49 tn

1,5 m

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

1,5 m

1,5 m

1,5 m

11

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

1,41 tn/m

1,41 tn/m

2,12 tn

2,12 tn

2,06 tn

2,12 tn

+

2,12 tn

2,06 tn B

C

B

2,06 tn

2,06 tn

C

0,50 tn-m 10,24 tn

6 tn

0  x  2,12

+

(izda.)

10,24 tn

6 tn

17,50 tn-m

0  x  2,12

(dcha.)

+

N = - 8,06 + 1,41 x

N = - 12,3 + 1,41 x

V = + 3,94 - 1,41 x

V = - 8,18 + 1,41 x

M = + 0,50 + 3,94 x - 1,41 x (x / 2)

M = - 17,50 + 8,18 x - 1,41 x (x / 2)

2,12  x  4,24

+

(izda.)

2,12  x  4,24

(dcha.)

+

N = - 8,06 + 2,12 + 1,41 x

N = - 12,3 + 2,12 + 1,41 x

V = + 3,94 - 2,12 - 1,41 x

V = - 8,18 + 2,12 + 1,41 x

M = + 0,50 + 3,94 x - 2,12 (x - 2,12) - 1,41 x (x / 2)

M = - 17,50 + 8,18 x - 2,12 (x - 2,12) - 1,41 x (x / 2)

(tn)

Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

+ 2,916

- 14,48

+ 0,084

DFC

(tn)

- 8,49

DFN

0

DMF (tn-m)

+ 0,50

- 17,50

0

0

ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera

12...