Estimación y error muestral PDF

Preview

Summary

Estimación y error muestral...

Description

Estimación y error muestral

Herramientas Matemáticas III Estadística I

Estimación. Concepto Es el proceso de utilizar un estadístico para inferir sobre el valor del parámetro poblacional desconocido. El objetivo final de la estadística es el de inferir acerca de una población a partir de la información adquirida de una muestra, y justamente está basada en la estimación. Suele ser la media el parámetro más estimado además de ser el de mayor exactitud. Tipos de estimación:  De punto: cuando al parámetro se le asigna un único valor.  De intervalo: cuando al parámetro se le asigna un valor dentro de un intervalo.

Error muestral Si se estima la media poblacional a través de la media de una muestra, se comete un error, el cual es igual a:

E = x –m El cual, expresado como una proporción del desvío estándar de esa distribución que se denomina como error muestral estándar, es:

𝐗− 𝛍 𝐄 = 𝐳. 𝛔(𝐗) =  Si se tiene en cuenta que:

𝝈(𝑿) =

𝝈

√𝒏

La expresión del error de estimación será:

E = z.

σ

√n

El error de estimación es un valor que se puede estimar a priori como el máximo error permitido entre el valor de la media de una muestra y el

2

valor de la media poblacional, siendo este error función de estándar poblacional y de n, tamaño de la muestra:

z del desvío

z: que definirá el grado de bondad o nivel de confianza. σ: desvío estándar poblacional. n: tamaño de la muestra.

Estimación puntual Es un número determinado a través de una fórmula que se utiliza para estimar un parámetro de población desconocido. El ejemplo más simple lo constituye la media, ya que está dada por la expresión matemática:

= 𝑿

∑(𝒙(𝒊). 𝒇(𝒊) ) 𝒏

Una estimación puntual es mucho más útil si viene acompañada por una estimación del error que podría estar implicado. La media de la muestra 𝑋 es el mejor estimador de la media de la población 𝜇. Es el estimador más eficiente, siempre y cuando la muestra sea lo suficientemente grande. Así, su distribución muestral puede ser aproximada por medio de la distribución normal.

Estimación por intervalos Describe un rango de valores dentro del cual es posible que esté un parámetro de la población. Sin embargo, se necesita, debido a la variabilidad de muestreo, tener en cuenta que los estadísticos no coincidirán con los parámetros poblacionales, por lo cual es conveniente acompañar al estimador puntual con una estimación de intervalo.

3

Estimaciones por intervalos de la media Supón tener una población con media μ y desvío estándar s. De acuerdo con el teorema central del límite, si de ella se extraen todas las muestras posibles del mismo tamaño, cada una de las muestras tendrá su media X y una desviación estándar muestral S. Se sabe que con las medias de todas las muestras se genera la distribución muestral de medias, la que es normal, y su media x m es igual a la media poblacional. Si se toma una muestra cualquiera, su media estará ubicada bajo la curva a una distancia máxima E de la media poblacional, ya que, si se estima la media poblacional a través de la media de esa muestra, se comete un error, el cual está dado por E. Figura 1: Gráfico de error de la media poblacional respecto de la media muestral

Fuente: Lectura N°4- Pag. N°24-HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS III (ESTADÍSTICA I) Profesor: MARIO MARÍN

Si se considera una de las muestras, su media tendrá un valor x y se ubicará sobre el eje de las abscisas a una distancia E de la media poblacional m. Por lo tanto, si se estima la media poblacional a través de la media de esa muestra, se comete un error, el cual es igual a:

E = x –m

4

El cual,si es expresado como una proporción del desvío estándar de esa distribución, se denomina como error muestral estándar.

Determinación del tamaño de una muestra El problema es determinar cuál es el tamaño de la muestra necesaria para que el estadístico tenga la mayor exactitud y, por lo tanto, el error cometido sea el menor posible o el que sea aceptable.

Determinación del tamaño de una muestra para estimar la media poblacional Si se analiza la distribución muestral para una muestra de tamaño n y se ubica a la media de la muestra en el eje horizontal y a una distancia E al que se ha denominado error en el que se ha incurrido cuando se ha estimado la media poblacional (coincidente con la media de la distribución muestral) con la media de esa muestra. Ese error responde a la expresión:

𝑬 = 𝒁. 𝝈(𝑿)  Si se tiene en cuenta que:

𝝈(𝑿) =

𝝈

√𝒏

Reemplazando en la primera expresión, se tiene:

𝑬 = 𝒁.

𝝈

√𝒏

Despejando el valor de n, se tiene:

𝒁. 𝝈 𝟐 𝒏=( ) 𝑬

5

Teniendo en cuenta entonces que:  E: es el máximo error que se propuso cometer. Se llama error permitido.  s: desviación estándar poblacional (cuando no se conoce, se tienen dos opciones).  Z: define el grado de seguridad con el que se efectúa la inferencia.  n: tamaño de la muestra.

Determinación del tamaño de una muestra para proporciones La determinación del tamaño de muestra para la determinación del porcentaje poblacional se realiza de la misma manera que en la determinación de tamaño de muestra para la media; teniendo en cuenta que es este caso:

𝛔(𝐩) = √ Y:

𝐩. 𝐪 𝐧

𝐄 = 𝐙. 𝛔(𝐩) Reemplazando y despejando n, se tiene:

𝐙 𝟐 𝐧 = ( ) . 𝐩. 𝐪 𝐄 El error tendrá que estar en relación con p. Si p es la proporción poblacional, se la tiene expresada en porcentaje. Del mismo modo, se tendrá a E. Comúnmente, el porcentaje poblacional no se conoce, por lo que se puede tomar una de dos opciones: 1) Método subjetivo. Se adopta un valor de p de acuerdo con experiencias anteriores.

6

2) Si se determina que p toma el valor de 0,5, entonces q= (1-p) = 0,5. En este caso, el producto de p. q toma su máximo valor.

7

Referencias Levin, R. y Rubin, D. (1996). Estadística para administradores. México DF: Pearson Educación.

8...