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ESTUDIO DE FUNCIONES MATE 1...

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Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I

DOCUMENTO DE CLASE

Clase N°9: Estudio de funciones

1. Objetivo/s de la clase: Estudio de recursos analíticos imprescindibles para el análisis de funciones

2. Mapa conceptual de la clase: Estudio de funciones

Dominio, ceros, asíntotas Crecimiento y decrecimiento de una función

Concavidad, puntos de inflexión

Extremos de una función Condiciones necesarias y suficientes

Estudio completo y grafico de la función

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3. Desarrollo Función estrictamente creciente en un intervalo Sea una función𝑓(𝑥) continua en un intervalo(𝑎; 𝑏).

Se dice que dicha función es estrictamente creciente en el intervalo(𝑎; 𝑏) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖

∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏) ∶ 𝑥1 < 𝑥2

entonces 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ).

Definición de función estrictamente decreciente en un intervalo Sea una función 𝑓(𝑥) continua en un intervalo(𝑎; 𝑏).

Se dice que dicha función es estrictamente decreciente en el intervalo(𝑎; 𝑏) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ (𝑎; 𝑏):

𝑥1 < 𝑥2

entonces 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ).

Ahora, a través de un ejemplo iremos relacionando el concepto del crecimiento de una función con el signo de la derivada de la función en un punto.

Tomaremos una función 𝑓(𝑥) derivable sobre en un intervalo (−12; 12)

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Nos interesa saber, en primera medida, qué le ocurre a la función en los puntos marcados.

Nótense que hay puntos verdes

y puntos rojos

¿Cómo se comporta dicha función en los puntos rojos y cómo se comporta en los puntos verdes?¿Puede decir algo de la función en esos puntos? ¿Cómo es? En los puntos rojos la función es creciente. En los puntos verdes la función es decreciente.

Ahora bien, lo siguiente que haremos es vincular de manera intuitiva el crecimiento y decrecimiento de la función con el signo de la derivada primera de la función. Esto lo vamos a hacer de la siguiente manera… Trazaremos primero la recta tangente en cada uno de los puntos rojos 3

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¿Cómo es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto rojo? Rta.: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangente es positivo. No estamos preguntando ¿cuánto vale la pendiente?, solamente sino ¿cuál es el signo de la pendiente de cada recta tangente? (Recuerde que se puede conocer el signo de la pendiente de una recta observando el crecimiento de la función lineal.) Ahora toca el turno de trazar las rectas tangente en los puntos verdes

¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta tangente en cada punto verde? Rta.: El signo de la pendiente de cada una de las rectas tangente es negativo. Reunamos ahora los datos obtenidos en un cuadro. Para eso pondremos nombre a los puntos rojos y verdes para hacer más fácil y ordenada la lectura:

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Recuerde que es lo mismo decir que dado cierto punto de la función la recta tangente a la curva en ese punto tiene pendiente positiva, o que la función tiene derivada positiva en ese punto. Observando los gráficospodemos ampliar el cuadro y completarlo aún más incluyendo

el crecimiento de 𝑓(𝑥):

Punto

Pendiente Sg 𝑓 ′ (𝑥)

Función

A

Positivo

Positivo

Creciente

B

Positivo

Positivo

Creciente

C

Positivo

Positivo

Creciente

D

Negativo

Negativo Decreciente

E

Negativo

Negativo Decreciente

F

Negativo

Negativo Decreciente

G

Negativo

Negativo Decreciente

H

Negativo

Negativo Decreciente

I

Positivo

Positivo

Creciente

J

Positivo

Positivo

Creciente

K

Positivo

Positivo

Creciente

Entonces, vinculemos ahora sólo el crecimiento de la función y su derivada. ¿Puede aventurar alguna conclusión? Podemos inferir que: Si la derivada es positiva la función es estrictamente creciente. Si la derivada es negativa la función es estrictamente decreciente.

Esto que acabamos de afirmar no es gracias a este ejemplo. Es gracias a la teoría que demuestra esto, el ejemplo sólo sirvió para ilustrar y hacer más accesible la teoría. Visto lo anterior, necesitamos ahora precisar ciertos conceptos.

Criterio de la Derivada Primera para determinar el crecimiento de una función Sea 𝑓(𝑥)una función es continua [𝑎; 𝑏 ] y derivable en un intervalo (𝑎; 𝑏).

I)Si 𝒇′ (𝒙) > 0 para toda 𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃) entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente creciente en (𝒂; 𝒃).

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Justificación: Recordemos la definición de función derivada:

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ Por hipótesis esta derivada es positiva, por lo tanto el cociente es positivo. Si un cociente es 𝑓 ′ (𝑥) = lim

positivo tenemos dos posibilidades: •

denominador y numerador ambos positivos:ℎ > 0

∧

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓(𝑥) > 0

Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) > 0 entonces podemos escribir 𝑓(𝑥 + ℎ ) > 𝑓(𝑥)

O sea, con ℎ > 0 llegamos a que 𝑓(𝑥 + ℎ) > 𝑓(𝑥) pero además también podemos decir que si ℎ > 0 ocurre que 𝑥 + ℎ > 𝑥 . En un gráfico se vería así:

Reuniendo lo anterior en una sola expresión:

si 𝑥 + ℎ > 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ ) > 𝑓(𝑥) pero esta no es otra cosa que la definición de

función estrictamente creciente en un intervalo (fue la primera definición que vimos en este capítulo). •

denominador y numerador ambos negativos: ℎ < 0

∧

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓(𝑥) < 0

Pero si 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) < 0 entonces podemos escribir 𝑓(𝑥 + ℎ ) < 𝑓(𝑥)

O sea, con ℎ < 0 llegamos a que 𝑓(𝑥 + ℎ ) < 𝑓(𝑥) pero además también podemos decir que

si ℎ < 0 ocurre que 𝑥 + ℎ < 𝑥 . En un gráfico se vería así:

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Reuniendo lo anterior en una sola expresión: si 𝑥 + ℎ < 𝑥 entonces 𝑓(𝑥 + ℎ ) < 𝑓(𝑥) pero

esta no es otra cosa que la defininión de función estrictamente creciente en un intervalo (fue la primera definción que vimos en este capítulo). II)Si 𝒇′ (𝒙) < 0 para toda 𝒙 ∈ (𝒂; 𝒃) entonces 𝒇(𝒙) es estrictamente decreciente en (𝒂; 𝒃).

Se puede justificar de manera análoga. Dejamos al lector su justificación junto a los dos gráficos posibles de referencia. En esta caso la derivada tiene signo negativo y por tanto el cociente deberá ser negativo, es decir o denominador positivo y numerador negativo o al revés.

Función creciente

Sea una función continua en un intervalo (𝑎; 𝑏) y derivable en (𝑎; 𝑏) si 𝑓 ′ (𝑐) ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) entonces f(x) es creciente en (𝑎; 𝑏)

Función decreciente

Sea una función continua en un intervalo (𝑎; 𝑏) y derivable en (𝑎; 𝑏) si 𝑓 ′ (𝑐) ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) entonces f(x) es decreciente en (𝑎; 𝑏).

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Máximo relativo

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).

Decimos que 𝑓(𝑐) es un máximo relativo o local de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si existe un entorno 𝐸(𝑐; 𝑟) tal que𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐸(𝑐; 𝑟 )

(mayor valor que toma la función es ese intervalo)

Mínimo relativo

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).

Decimos que 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo o local de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si existe un entorno 𝐸(𝑐; 𝑟) tal que𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐸(𝑐; 𝑟 )

(Menor valor que toma la función en ese intervalo) Extremo relativo Decimos que 𝑓(𝑐) es un extremo relativo de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) es un mínimo o un máximo relativo de la función 𝑓(𝑥).

Recordamos, del capítulo anterior el “Teorema de Fermat”

Si una función 𝑓(𝑥)tiene un extremo relativo en𝑥 = 𝑐 y además existe 𝑓′(𝑐)entonces 𝑓 ′ (𝑐) = 0.

El recíproco de este teorema es falso, ya que no es cierto que si 𝑓 ′ (𝑐) = 0 implica que existe un extremo local en 𝑥 = 𝑐 .

Ponemos como ejemplo de lo anterior el Gráfico 5 de abajo. Aclaración importante para entender el gráfico: se ha trazado con rojo ciertas rectas tangentes a la curva. Como se observa todas son horizontales, por lo tanto todas tienen pendiente cero, por lo tanto también es cero la derivada de la función en cada punto de tangencia.

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Gráfico 5 Nótese en el gráfico que no es cierto que si la derivada se anula en un punto existe en él un extremo. Pero probablemente usted me dirá:

- ¡Pero yo veo que 𝑓 ′ (𝑎) = 0 y allí hay un extremo! Y yo le contesto:

- ¡Es cierto!, pero fíjese también lo que ocurre en 𝑥 = 𝑏 . Allí 𝑓 ′ (𝑏) = 0 y sin embargo en 𝑥 = 𝑏 no hay extremo alguno.

Para determinar entonces en qué puntos del dominio de una función será posible que existan máximos o mínimos locales deberemos encontrar los puntos “sospechosos” o “candidatos” a ser extremos de dicha función. Los mencionados “candidatos” se conocen como Puntos Críticos de 1ª especie. Lo que sigue es la definición de Punto Crítico de 1ª especie.

Puntos Críticos de 1ª especie Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥).

Decimos que 𝑥 = 𝑐 es un punto crítico de 1ª especie, si está en algunos de estos casos:

Tipo 1: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 𝑓 ′ (𝑐) = 0 Tipo 2: 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 𝑦

∄𝑓 ′ (𝑐) (no existe la derivada primera en 𝑥 = 𝑐)

En el siguiente gráfico mostramos las diferentes posibilidades de puntos críticos que podríamos encontrar al estudiar una función.

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Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑎 o 𝑥 = 𝑏 en donde la derivada se anula (se hace cero) y en donde luego se comprobará que existen allí extremos.

Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑐 en donde la derivada no existe

(derivadas laterales finitas y distintas) y en donde luego se comprobará que existen allí extremos.

Puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en 𝑥 = 𝑑 en donde la derivada tampoco

existe (derivadas laterales infinitas de distinto signo) y en donde luego se comprobará que existen allí extremos.

Pero también puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en: 𝑥 = 𝑒 en donde si

bien la derivada se anula luego se comprobará que no existen allí extremos.

Y finalmente puede ocurrir que encontremos puntos críticos como en : 𝑥 = 𝑓 en donde si

bien la derivada no existe (derivadas laterales infinitas de igual signo) luego se comprobará que no existen allí extremos. Que un punto sea critico no significa que deba alcanzar un extremo necesariamente, simplemente quiere decir que puede haber en el un extremo. Luego hay que verificar, con algún criterio, si hay o no extremo. Para determinar esto utilizaremos dos criterios: o

Criterio de la Primera Derivada

o

Criterio de la Segunda Derivada (para extremos).

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Criterio de la Derivada Primera (para la determinación de extremos relativos)

Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏)que contiene a un único punto crítico de

1ª especie:𝑥 = 𝑐 . Si la derivada a izquierda de 𝑥 = 𝑐

es positiva (función creciente) y la

derivada a derecha de 𝑥 = 𝑐 es negativa (función decreciente) entonces en (𝑐; 𝑓(𝑐)) un máximo relativo de 𝑓(𝑥).

existe

Sea una función continua en el intervalo abierto (𝑎; 𝑏) que contiene a un único punto crítico 𝑥 = 𝑐 . Si la derivada a izquierda de 𝑥 = 𝑐 derivada a derecha de 𝑥 = 𝑐 (𝑐; 𝑓(𝑐))

es negativa (función decreciente) y la

es positiva (función creciente) entonces en

existe un mínimo relativo de 𝑓(𝑥).

Ponemos a continuación un ejemplo de cómo se hallan los extremos de una función.

EJEMPLO: 3

Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 + 1 se pide hallar sus extremos relativos. 2 1°) Primero hallemos la Derivada Primera:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑥 − 6

2°) Hallemos los Puntos Críticos de 1ª especie, plateando la condición necesaria, ( como es un polinomio con dominio todos los reales, solo tenemos de tipo 1)

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𝑓 ′ (𝑥) = 0

Analicemos primero qué valores del dominio verifican 𝑓′(𝑥) = 0

3𝑥 2 − 3𝑥 − 6 = 0 ↔ 𝑥1 = 2 ∨ 𝑥2 = −1

entonces el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´ = {2; −1}

3°) Ahora aplicamos el Criterio de la Derivada Primera para determinar el crecimiento en cada uno de los intervalos determinados por los puntos críticos.

𝑓 ′ (−2) = 3 ⋅ (−2)2 − 3 ⋅ (−2) − 6 = +12 𝑓 ′ (0) = 3. 02 − 3.0 − 6 = −6

𝑓 ′ (3) = 3. 32 − 3.3 − 6 = +12 Luego, existen un máximo en 𝑥 = −1 y un mínimo en 𝑥 = 2. Hallemos las imágenes para cada valor reemplazando en la función (sí, en la función original) y concluyamos el ejercicio. 3 9 3 𝑓(−1) = (−1)3 − (−1)2 − 6(−1) + 1 = 𝑓(2) = 23 − . 22 − 6.2 + 1 = −9 2 2 2 3

Respuesta: La función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 + 1 posee : 2 9

un punto máximo en 𝑀 = (−1; ) y un punto mínimo en 𝑚 = (2; −9) 2

Avancemos un poco más con la teoría. ¡Nuevas definiciones que se suman! 😊

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Criterio de la Derivada Segunda (para extremos relativos)

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto crítico de la función 𝑓(𝑥)/ 𝑓´(𝑥) = 0 entonces: • •

si 𝑓 ′′ (𝑐) < 0 entonces 𝑓(𝑐) es un máximo relativo de la función 𝑓(𝑥)

si 𝑓 ′′ (𝑐) > 0 entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo de la función 𝑓(𝑥)

En el caso de que ocurra 𝑓 ′′ (𝑐) = 0 o bien en el caso de que ∄𝑓 ′′ (𝑐) el criterio no aporta información. En este caso se deberá emplear el criterio anterior (el de la Derivada Primera).

EJEMPLO: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒 −𝑥 se pide hallar sus máximos y mínimos relativos. 2

Calculemos primero 𝑓 ′ (𝑥)

𝑓 ′ (𝑥) = 1. 𝑒 −𝑥 + 𝑥. 𝑒 −𝑥 . (−2𝑥 ) = 𝑒 −𝑥 . (1 + 𝑥. (−2𝑥 )) = 𝑒 −𝑥 . (1 − 2. 𝑥 2 ) 2

2

2

2

Busquemos ahora los Puntos críticos: Tipo 1:

Analizaremos la primera derivada: 𝑓 ′ (𝑥) = 0

𝑒 −𝑥 . (1 − 2. 𝑥 2 ) = 0 2

𝑒 −𝑥 ≠ 0 2

∨

entonces:

1 − 2. 𝑥 2 = 0 ↔ 𝑥1 =

√2 2

y 𝑥2 = −

√2 2

De la primera ecuación no obtenemos nada y de la segunda dos valores Tipo 2:

No hay, ya que no ocurre para ningún valor de 𝑥 que ∄𝑓 ′ (𝑥), ya que dicha derivada existe

para todo número real.

Por lo tanto, el conjunto de los puntos críticos será: 𝑃𝐶´ = {

√2 2

;−

√2 2

}

Analizamos ahora cada punto crítico: Utilizaremos el Criterio de la Segunda Derivada. Encontremos primero esta derivada: ′

𝑓 ′′ (𝑥) = (𝑒 −𝑥 . (1 − 2. 𝑥 2 )) = 𝑒 −𝑥 . (−2𝑥). (1 − 2. 𝑥 2 ) + 𝑒 −𝑥 . (−4. 𝑥 ) 2

2

2

Sacando factor común obtenemos 13

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𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑒 −𝑥 . [(−2𝑥). (1 − 2. 𝑥 2 ) + (−4. 𝑥 )] = 𝑒 −𝑥 . [4. 𝑥 3 − 6𝑥] 2

2

Evaluemos ahora 𝑓 ′′ (𝑥) en cada uno de los puntos críticos hallados. 𝑓 ′′ ( 𝑓 ′′

√2

2

−( ) √2 )=𝑒 2 2

√2 (− 2

)=𝑒

−(−

. [4. (

2 √2 ) 2

√2 ) 2

3

− 6(

. [4. (−

√2 ) 2

3

√2 )] 2

0 ⟹ en 𝑥 = −

√2 2

existe un mínimo

Hallemos las imágenes de cada valor de 𝑥 para responder el ejercicio. √2 √2 √2 − 1 −( ) √2 . 𝑒 2 ≈ 0,429 𝑓( ) = ( ).𝑒 2 = 2 2 2 2

√2 √2 √2 √2 − 1 −(− ) 2 ).𝑒 𝑓 (− . 𝑒 2 ≈ −0,429 ) = (− =− 2 2 2 2

Respuesta: √2

El máximo relativo de 𝑓(𝑥) es 𝑀 = ( ; 0,429 ) y el mínimo relativo es 2 𝑚 = (−

√2 2

; −0,429)

Máximo absoluto

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥) . Decimos que 𝑓(𝑐) es el máximo absoluto de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓.

Gráfico 1

Gráfico 2

En el Gráfico 1 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio son todos los números reales, se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el máximo absoluto de esa función.

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En el Gráfico 2 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio ya no es el conjunto

de los números reales, sino que el dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏 ]. Se muestra allí que

𝑓(𝑏) es el máximo absoluto de esa función. Mínimo absoluto

Sea 𝑥 = 𝑐 un punto del dominio de una función 𝑓(𝑥) . Decimos que 𝑓(𝑐) es el mínimo absoluto de la función 𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓.

Gráfico 3

Gráfico 4

En el Gráfico 3 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio son todos los números reales, se muestra allí que 𝑓(𝑐) es el mínimo absoluto de esa función.

En el Gráfico 4 tenemos el gráfico de una función cuyo conjunto dominio ya no es el conjunto

de los números reales, sino que el dominio es el intervalo cerrado [𝑎; 𝑏 ]. Se muestra allí que

𝑓(𝑎) es el mínimo absoluto de esa función.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado Tenemos que recordar que si la función 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏 ] por el

teorema de Weierstrass 𝑓(𝑥) tiene un máximo y mínimo absolutos en [𝑎; 𝑏 ] razón por la cual, cuando querramos determinar los máximos y/o mínimos absolutos de una función, deberemos determinar los máximos y/o mínimos relativos y compararlos con los valores que toma la función en los valores 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 . •

Si buscamos el mínimo absoluto elegiremos el menor valor obtenido entre el mínimo

•

Si buscamos el máximo absoluto elegiremos el mayor valor obtenido entre el máximo

relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). relativo (si existe), 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).

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Observación: Por lo tanto si 𝑫𝒇 = [𝒂; 𝒃] los extremos del intervalo 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒃 son puntos críticos donde puede haber un extremo absoluto y habrá que revisarlos. EJEMPLO: Hallar los valores máximos y mínimos absolutos que alcanza la función si: 𝑓: [0; 3] → 𝑅 / 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 5

Como 𝑓(𝑥) es una función polinómica, continua en el intervalo [0; 3] sabemos que tendrá un

máximo y un mínimo absolutos en él.

Por otro lado como 𝑓(𝑥) es derivable en el intervalo (0; 3) y el teorema de Fermat nos afirma

que si alcanza algún extremo en el intervalo (0; 3), la derivada de la función en ese punto

valdrá cero.

Luego los puntos críticos “sospechosos” de ser ...