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ESTUDIO DE LAS LENTES DELGADAS: APROXIMACIÓN PARAXIAL RESUMEN Las imágenes se forman, ya sea por reflexión o por refracción, y es posible diseñar espejos y lentes para formar imágenes que tengan las características que se deseen. Para el estudio de los mismas, se utiliza la aproximación de rayo y el supuesto de que la luz viaja en línea recta: estas dos conducen a predicciones válidas en el campo conocido como óptica geométrica – teoría paraxial. Usualmente las lentes se utilizan para formar imágenes por refracción en los instrumentos ópticos, como es el caso de cámaras fotográficas, telescopios y microscopios. En esta práctica se estudiarán las lentes delgadas y se localizará el foco imagen en una lente convergente y en una divergente, así como también localizaremos el centro óptico de una lente convergente, y con esto poder medir el radio de curvatura y la distancia focal. Palabras claves: Reflexión de la luz, refracción de la luz, lentes delgadas, óptica paraxial, foco imagen, foco objeto, rayo, centro óptico, radio de curvatura. INTRODUCCIÓN Las lentes son medios materiales transparentes, como el vidrio o el plástico, cuyas superficies pueden ser curvas, planas o una combinación de las dos. Por su forma, las lentes pueden ser esféricas si pertenecen a una porción de esfera, o cilíndricas, si esas superficies son una porción de cilindro. Sin embargo, es más frecuente clasificarlas como convergentes y divergentes. Una lente es convergente si al incidir en ella rayos de luz paralelos, los reemite de tal forma que convergen en un mismo punto. Estas lentes son más gruesas en el centro que en los extremos. Por otra parte, una lente es divergente si al incidir en ella rayos de luz paralelos, los reemite de tal forma que divergen completamente, como si provinieran de un mismo punto. Estas lentes son angostas en el centro y más gruesas en los extremos. Dado esto, nuestra principal motivación para la realización de esta práctica es observar la marcha de un haz de rayos paralelos (dominio paraxial) cuando atraviesa una lente convergente y cuando atraviesa una lente divergente, y con esto tener la capacidad de poder localizar el foco imagen. Así como también, la localización del centro óptico en una lente convergente, para poder calcular el radio de curvatura y medir la distancia focal, encontrando además como se relacionan la distancia focal y el radio de curvatura. TEORÍA RELACIONADA Un caso muy práctico de la refracción son las lentes. Se puede comprender una lente analizando trayectorias de tiempos iguales, como hicimos antes, o se puede suponer que está formada por un conjunto de varios prismas y bloques de vidrio en el orden indicado en la figura 1. Los prismas y los bloques refractan los rayos paralelos de luz que les llegan, de manera que convergen hacia un punto (o divergen de éste). El arreglo que muestra la figura 1a hace converger a la luz, y a esa lente se le llama convergente. Observamos que es más gruesa en su parte media.

Figura 1. Una lente se puede considerar como un conjunto de bloques y de prismas. a) Una lente convergente. b) Una lente divergente. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.42, p. 546.

El arreglo del inciso b) es diferente. La parte media es más delgada que las orillas, y hace que la luz diverja. A esa lente se le llama lente divergente. Observamos que los prismas hacen diverger a los rayos incidentes en una forma que los hace parecer que provienen de un solo punto frente a la lente. En ambas lentes, la máxima desviación de los rayos ocurre en los prismas más alejados, porque tienen el ángulo mayor entre las dos superficies refractoras. No hay desviación alguna exactamente en el centro, porque en esa parte las caras del vidrio son paralelas entre sí. Desde luego, las lentes reales no se fabrican con prismas como muestra la figura 1; se fabrican de una sola pieza de vidrio, con superficies que por lo general se tallan en forma esférica. En la figura 2 observamos cómo las lentes lisas refractan las ondas que les llegan.

Figura 2. Los frentes de onda se propagan con más lentitud en el vidrio que en el aire. a) Las ondas se retardan más en el centro de la lente, y resulta la convergencia. b) Las ondas se retardan más en los bordes, y se produce la divergencia. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.43, p. 547.

Algunos puntos clave para describir las lentes se muestran en la figura 3, para una lente convergente. El eje principal de una lente es la línea que une los centros de curvatura de sus superficies. El foco es el punto donde converge un haz de luz, paralelo al eje principal. Los rayos paralelos que no son paralelos al eje principal se enfocan en puntos arriba o abajo del foco. Todos los puntos posibles así definidos forman un plano focal. Como una lente tiene dos superficies, tiene dos focos y dos planos focales. Cuando la lente de una cámara se ajusta para captar objetos lejanos, la película está en el plano focal, detrás de las lentes en la cámara. La distancia focal de la lente es la que hay entre su centro y cualesquiera de los focos.

Figura 3. Propiedades fundamentales de una lente convergente. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.44, p. 547.

Formación de imagen por una lente convergente Estimado lector, en este momento, hay luz que se refleja desde su cara y va hacia esta página. Por ejemplo, la luz que se refleja en la frente llega a todas las partes de esta página. Sucede lo mismo con la luz que se refleja en la barbilla. Cada parte de la página está iluminada con luz reflejada de la frente, la nariz, la barbilla y todas las demás partes de su cara. Usted no ve una imagen de su cara en la página porque hay demasiado traslape de la luz. Pero si pone una barrera con un orificio de alfiler entre su cara y la página, la luz que parte de su frente y llega a la página no se traslapa con la que le sale del mentón. Es igual para el resto de la cara. Al no haber esas superposiciones, se forma una imagen de su cara en la página. Será muy oscura, porque es muy poca la luz que la cara refleja y que a la vez pasa por el orificio de alfiler. Para ver la imagen debe proteger esta página de otras fuentes de luz. Lo mismo sucede con el florero y las flores de la figura 4b. Las primeras cámaras no tenían lentes, y admitían la luz por un orificio pequeño. En la figura 4b y c puede ver por qué la imagen que se forma está invertida (de cabeza) siguiendo los rayos de muestra.

Figura 4. Formación de la imagen. a) No aparece imagen en el muro, porque los rayos de todas las partes del objeto se enciman en todas las partes del muro. b) Una sola abertura pequeña en una barrera evita que los rayos traslapados lleguen al muro; se forma una imagen difusa e invertida. c) Una lente hace converger los rayos en el muro sin que se encimen; como hay más luz, la imagen es más brillante. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.46, p. 548.

Se requerían largos tiempos de exposición por la pequeña cantidad de luz que admitía el orificio pequeño. Si éste fuera un poco más grande, admitiría más luz, pero los rayos se encimarían y producirían una imagen borrosa. Un orificio demasiado grande permitiría demasiado traslape y no se formaría imagen discernible. Es donde entra una lente convergente (figura 4c). La lente hace que la luz converja hacia la pantalla sin que haya el indeseable encimamiento de los rayos. Mientras que las primeras cámaras oscuras (estenopeicas) sólo se

podían usar con objetos inmóviles, por el largo tiempo de exposición que se requería, con una lente se pueden fotografiar objetos en movimiento, porque el tiempo de exposición es corto y, como se dijo antes, debido a esto las fotografías que toman las cámaras con lente se llaman instantáneas. De manera cuantitativa, para relacionar las distancias del objeto con las distancias de la imagen se utiliza la ecuación de la lente delgada

1 1 1 + = do di f O bien,

d i=

do f . Donde d o−f

do

distancia a la imagen desde la lente y

es la distancia al objeto desde la lente,

f

(1)

di

es la

es la distancia focal de la lente.

El uso más sencillo de una lente convergente es en una lupa. Para entender cómo funciona, imaginemos la manera en que examinamos los objetos cercanos y lejanos. Sin ayuda en la visión, un objeto lejano se ve dentro de un ángulo relativamente angosto; en tanto que un objeto cercano se ve dentro de un ángulo de visión más amplio (figura 5). Para ver los detalles de un objeto pequeño debemos acercarnos todo lo posible, para que nuestro ángulo de visión sea el máximo. Pero el ojo no puede enfocar estando muy cerca. Es donde entran en acción las lupas. Cuando se acerca al objeto, una lupa proporciona una imagen clara que sin ella se vería borrosa.

Figura 5. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.47, p. 549.

Al usar una lupa la sujetamos cerca del objeto que deseamos examinar. Esto se debe a que una lente convergente proporciona una imagen aumentada y derecha, sólo cuando el objeto está dentro del foco (figura 6). Si se pone una pantalla a la distancia de la imagen, no se forma imagen, porque no hay luz que se dirija hacia el lugar de la imagen. Sin embargo, los rayos que llegan al ojo se comportan como si provinieran de la posición de la imagen. A esta imagen la llamamos imagen virtual.

Figura 6. Cuando un objeto está cerca de una lente convergente (menor a su distancia focal f), la lente funciona como lupa y produce una imagen virtual. La imagen se ve más grande y más alejada de la lente que el objeto. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.48, p. 549.

Cuando el objeto está suficientemente alejado y más allá del foco de una lente convergente, se forma una imagen real, en vez de una imagen virtual. La figura 7 muestra un caso donde una lente convergente forma una imagen real en la pared. Esa imagen real está invertida, o de cabeza. Se aprovecha un arreglo parecido para proyectar transparencias y películas en una pantalla, así como para proyectar una imagen real en la película de una cámara. Las imágenes reales producidas con una sola lente siempre están invertidas.

Figura 7. Cuando un objeto está lejos de una lente convergente (más allá de su foco), se forma una imagen real e invertida. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.49, p. 549.

Formación de imagen por una lente divergente Una lente divergente, cuando se usa sola, produce una imagen virtual reducida. No importa lo alejado que esté el objeto. Cuando una lente divergente se usa sola, la imagen siempre será virtual, derecha y más pequeña que el objeto. A menudo, una lente divergente se usa como “buscador” en una cámara. Cuando miramos el objeto que vamos a fotografiar a través de esa lente, lo que ves es una imagen virtual que tiene más o menos las mismas proporciones que saldrán en la fotografía.

Figura 8. Una lente divergente forma una imagen virtual y derecha de la niña y su mascota. Tomado de: HEWITT, Paul (2007). Física Conceptual (10Ed), PEARSON EDUCACIÓN. Fig. 28.50, p. 550.

La pregunta ahora es: ¿Por qué la mayoría de la fotografía en la figura 8 está fuera de foco? Pues bien, la niña, su mascota y sus imágenes virtuales son “objetos” para el objetivo de la cámara que tomó esta fotografía. Como los objetos están a distintas distancias de la lente, sus respectivas imágenes están a diferentes distancias con respecto a la película de la cámara. Así, sólo se pudo enfocar una. Lo mismo sucede con los ojos. No puedes enfocar objetos cercanos y lejanos al mismo tiempo. Ecuación de las lentes Es posible encontrar una ecuación que relaciona la distancia de la imagen al centro de la lente d i , la distancia del objeto al centro de la lente d o , el tamaño o altura de la imagen hi , el tamaño o altura del objeto ho y la distancia focal f . En la siguiente figura se han trazado rayos, el que llega paralelo al eje por el foco y el que pasa por el centro de la lente.

y se desvía pasando

Figura 8. Geometría simplificada para el caso de una lente delgada . Tomado de: ROMERO MEDINA, Olga Lucía & BAUTISTA BALLÉN, Mauricio (2011). Física (tomo 2), SANTILLANA S.A. p. 128.

Se puede observar que los triángulos MNF y LIF son semejantes, debido a que sus respectivos ángulos F son opuestos por el vértice, por tanto,

hi ho

=

d i−f f

(2)

También son semejantes los triángulos LIN y KON, ya que sus respectivos ángulos N son opuestos por el vértice, entonces se puede establecer la proporción:

hi d i = ho d o Juntando (2) y (3)

d i−f di = f do

1 1 1 − = f di do

(3)

Al reorganizar los términos encontramos la ecuación para las lentes:

1 1 1 = + f do di

(4)

Notamos que (1) y (4) son ecuaciones equivalentes. Ahora bien, El aumento de la lente se refiere a la relación entre la altura, o tamaño de la imagen con respecto a la del objeto, es decir,

M=

hi −d i = ho d o

El signo menos resulta de las convenciones de signos que a continuación se describen:    

La distancia focal es positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. La distancia objeto es positiva, si el objeto se encuentra al lado del que proviene la luz. En otro caso es negativa. La distancia imagen es positiva, si se encuentra en el lado opuesto de la lente, de donde proviene la luz. Las alturas o los tamaños del objeto y la imagen, ho o hi respectivamente, son positivas, si se encuentran por encima del eje óptico. Si están por debajo del eje óptico son negativas.

Los optómetras y los oftalmólogos no usan la distancia focal sino su recíproco para especificar la intensidad (poder de convergencia o divergencia) de las lentes para anteojos o para lentes de contacto. A esta cantidad se le conoce como potencia de la lente y se simboliza con la letra P . La unidad de la potencia de una lente es la dioptría, una dioptría equivale a 1 m−1 . La expresión potencia de una lente es:

P=

1 f

(5)

Con frecuencia se utilizan dos o más lentes alineadas para obtener una potencia diferente, en este caso, la potencia total del sistema está dada por la expresión:

1 1 1 P= = + =P 1+ P2 f f1 f2 Cuando las lentes no están yuxtapuestas su expresión es:

P= P1 + P2−d P1 P2 Donde

d es la distancia entre las lentes.

Ejemplo. En un proyector se utiliza una lente convergente cuya potencia es de 10 dioptrías. Si se desea que, al proyectar las diapositivas sobre una pared, estas adquieran un tamaño 59 veces la diapositiva: a) ¿Cuál debe ser la distancia de la diapositiva con respecto a la lente? b) ¿Cuál debe ser la distancia del proyector a la pared, si se toma como referencia la lente? a) En las lentes convergentes cuando la imagen es real, es invertida, para saber la distancia que debe existir entre la diapositiva y la lente se tiene que:

hi −d i = ho d o Al reemplazar

−59=

−d i do

Despejando a

di

d i=59 d o Como la potencia de la lente está dada por la expresión

f=

P=1/ f , entonces

1 1 = =0.1 m 10 dioptrias 10 m−1

Así,

1 1 1 = + f do di 1 1 60 1 = + = 0.1m d o 59 d o 59 d o d o=

6 m≈ 10.17 cm 59

La diapositiva debe estar a

10.17 cm de la lente.

b) La distancia de la lente a la pared está dada por:

hi −d i = ho d o Al reemplazar

−59=

−d i 6 m 59

Así,

d i=6 m El proyector debe estar a

6 m de la pared.

Reglas convencionales para signos Puesto que la luz pasa en ambas direcciones a través de una lente, cada lente tiene dos focos, uno para los rayos luminosos que pasan en una dirección y el otro para rayos luminosos que pasan en la otra dirección. Éstos quedan ilustrados en la figura 9 para una lente plana convexa (lente convergente) y una lente plana cóncava (lente divergente).

Figura 9. Los rayos luminosos paralelos pasan a través de a) una lente convergente y b) una lente divergente. La distancia focal es la misma para los rayos luminosos que pasan a través de cierta lente en cualquiera de las direcciones. Los focos F1 y F2 están a la misma distancia de la lente. Tomado de: SERWAY, Raymond A. & JEWETT, John W., Jr. (2009). Física para ciencias e ingeniería con Física Moderna (volumen 2), Cengage Learning Editores, S.A. Fig. 36.23, p. 1023.

La figura 10 resulta útil para obtener los signos de convenciones de signos para lentes delgadas.

do

y de

d i , y la tabla 1 contiene las

Figura 10. Diagrama para obtener los signos de d o y de d i para lentes delgadas. Adaptado de: SERWAY, Raymond A. & JEWETT, John W., Jr. (2009). Física para ciencias e ingeniería con Física Moderna (volumen 2), Cengage Learning Editores, S.A. Fig. 36.24, p. 1023.

Tabla 1. Reglas convencionales para signos en el caso de lentes delgadas Cantidad Positivos cuando … Negativos cuando … d El objeto está delante de la El objeto está detrás de la Ubicación del objeto o lente (objeto real) lente (objeto virtual) Ubicación de la imagen La imagen está detrás de la La imagen está delante de la di lente (imagen real) lente (imagen virtual) La imagen es vertical La imagen está invertida Altura de la imagen hi Distancia focal f La lente convergente La lente es divergente En la figura 11 se muestran varias formas de lentes. Observemos que una lente convergente es más gruesa en su parte central que en los bordes, en tanto que una lente divergente es más delgada en el centro que en los bordes.

Figura 11. Diferentes formas de lentes. a) Las lentes convergentes tienen una distancia focal positiva y son más gruesas en su parte central. b) Las lentes divergentes tienen una distancia focal negativa y su parte más gruesa está en los bordes. Tomado de: SERWAY, Raymond A. & JEWETT, John W., Jr. (2009). Física para ciencias e ingeniería con Física Moderna (volumen 2), Cengage Learning Editores, S.A. Fig. 36.25, p. 1023.

MATERIALES UTILIZADOS Los materiales utilizados en esta práctica fueron: Material Banco Óptico Diafragma de tres ranuras Disco de Hartl Filtro de tres colores Foco luminoso Lente de f =+50 mm , 40 ∅ Sección de lente

1 1 1 1 1 1 convergente 1

R=+ 40 mm Sección

de

lente

convergente 1

R=+ 80 mm Sección de lente divergente R=−40 mm 1 Soporte para el foco y el disco 2 Soporte para el diafragma 1 1 Transformador S . 12 V −20 W Triple decímetro 1 Productos Cinta adhesiva Disco de papel Compás Tabla 2. Materiales y productos utilizados en la experiencia experimental. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Primera parte. Foco imagen en las lentes convergentes y en las lentes divergentes En esta primera parte de la práctica nos concentramos en observar la marcha de un haz de rayos paralelos cuando atraviesa una lente convergente y una divergente para así poder localizar el foco imagen de estás lentes. Para cumplir nuestro objetivo primero preparamos tres hojas de papel blanco del tamaño del disco de Hartl.

Figura 12. Montaje experimental: Foco imagen en las lentes convergentes y en las lentes divergentes. Dispositivo marca ENOSA.

Hecho esto, preparamos el montaje de la figura 12, en el cual situamos el foco luminoso con el recuadro marcado en el banco óptico tal que su filamento coincidió con el cero de la escala. Luego, colocamos la lente en la división, 5cm, para así obtener rayos de luz paralelos. Después de esto, se colocó el disco de Hart...