Examen 10 Mayo 2019, preguntas y respuestas PDF

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primer parcial resuelto de fluidos, con 3 ejercicios solucionados...

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PRIMER PARCIAL RESUELTO DE FLUIDOS EJERCICIO 1. Tres conductos horizontales conectados en paralelo, de igual longitud y área, conducen un fluido viscoso entre dos depósitos que mantienen sus presiones constantes. En esas condiciones circula un caudal total de 36 l/min. Si se reemplazan los tres conductos por sólo dos, iguales entre sí, de igual longitud que los anteriores pero de sección doble, y también conectados en paralelo, el caudal circulante en esas condiciones será (en lt/min): a) 36 b) 48 c) 9 d) 192 e) 64 f) 96 Tenemos aquí dos situaciones para comparar. 1) En la primera: hay tres caños en paralelo entre dos depósitos, los tres con la misma geometría. Llamemos L y S a la longitud y la sección de cada uno de estos 3 caños respectivamente. La resistencia de uno solo de ellos es: R = 8 pi eta L/S^2 A la resistencia del conjunto de LOS TRES en paralelo la llamaremos Req (resistencia equivalente), y debe ser:

Req = R/3 = 8 pi eta L/(3 S^2)

ya que los tres caños son iguales entre sí. Escribamos cómo queda, en esta situación, la Ley de Poiseuille:

Delta P = Req. Q

(1)

Ahora pasamos a la segunda situación. Aquí tenemos DOS caños solos en paralelo, primero

escribamos la resistencia de UNO solo de ellos dos, la llamaremos R' :

R' = 8 pi eta L'/S'^2 donde L' y S' son la longitud y la sección de este nuevo caño. Nos dicen que L' = L (misma longitud que los caños anteriores) y que S' = 2 S (la sección de cada uno es el doble que en el caso anterior). Por lo tanto: R' = 8 pi eta L/(4 S^2 ) = 2 pi eta L/ S^2 Por lo tanto, la resistencia equivalente de los DOS caños (en paralelo) en esta nueva situación es de: R'eq = R'/2 = pi eta L/S^2

Nos piden el nuevo caudal. La Ley de Poiseuille en esta nueva situación se escribe: Delta P = R'eq . Q'

(2)

Como nos dicen que las presiones de los tanques no cambian, entonces en ambas situaciones tenemos la misma diferencia de presiones. Entonces, los miembros izquierdos de (1) y (2) son iguales, por lo tanto podemos igualar los miembros derechos: Req . Q = R'eq . Q' Y reemplazando las expresiones de Req y R'eq, nos queda: 8 pi eta L/(3 S^2) Q = pi eta L/S^2 Q' Simplificando pi, eta, L, S^2, y despejando Q', nos queda: Q' = 8 X Q / 3 = 8 X 36 /3 (l/min) = 8 X 12 l/min = 96 l/min. (Opción f))

EJERCICIO 2 Un fluido incompresible y sin viscosidad escurre a régimen permanente, en una cañería dispuesta horizontalmente que consta de tres tramos, cuyas secciones son 400 cm^2, 100 cm^2 y 400 cm^2, respectivamente. La densidad del fluido es de 1200 kg/m^3 y el caudal es de 200 lt/s.

Visto en perspectiva:

Se pide hallar: a) La diferencia de presión entre el tramo 1 y el tramo 2. b) Δh entre las ramas del manómetro de mercurio (δHg = 13600 kg/m^3) Resolución: Nota: ¡Primero trata de hacerlo vos sin leer esto!

Tenemos que calcular una diferencia de presiones entre los tramos 1 y 2. Nota: Se está asumiendo que hay una única presión en cada tramo, es decir, estamos despreciando la variación de la presión con la altura que puede haber dentro de una misma sección. Tomamos un punto A en el tramo 1, y un punto B en el tramo 2, ambos sobre una misma línea de corriente. Entre A y B podemos plantear el Teorema de Bernouilli ya que el fluido se considera ideal. Podemos tomar el origen del eje vertical sobre la línea AB, con lo cual HA = HB = 0.

Entonces queda: pA + (1/2) δL VA2 = pB + (1/2) δL VB2 Donde VA y VB son las velocidades en los tramos 1 y 2 respectivamente, y δ L es la densidad del líquido que circula (NO confundir con la del mercurio que sólo está en el manómetro). Como nos piden pA - pB entonces despejamos: pA - pB = (1/2) δL VB2 - (1/2) δL VA2

(1)

En el miembro derecho de la ecuación anterior, conocemos la densidad del líquido, aunque todavía no tenemos las velocidades. Pero hay otro teorema que sabemos, es el de la conservación del caudal: Q = VA AA = VB AB Como nos dan el caudal Q=1200 kg/m^3 y las dos secciones AA=400 cm^2 y AB= 100 cm^2, entonces podemos despejar las velocidades: Q = VA AA ---> VA = Q/AA Q = VB AB ---> VB = Q/AB Reemplazando estas expresiones para las velocidades en (1), nos queda: pA - pB = (1/2) δL Q2/AB2 - (1/2)δL Q2 /AA2 ----> pA - pB = (1/2) δL Q2 (1/AB2 - 1/AA2)

Y sólo faltaría reemplazar los valores a la derecha: Q=200 litros/s, δL= 1200 kg/m^3, AA=400 cm^2 y AB= 100 cm^2, y hacer la cuenta. Así termina el punto a). b) Observar que el manómetro está marcando la diferencia entre las presiones de los tramos 2 y 3. Tomamos puntos auxiliares A, B, C, D, E (ver figura), que relacionaremos mediante los teoremas que conocemos.

Vamos a suponer despreciable la variación de presión en los sectores arriba del mercurio, desde el punto D al B y desde el E al C. (¿Cómo cambiaría la resolución sin despreciar eso? Pensálo). Es decir: vamos a suponer que la presión en D es muy parecida a la de B y que la de E es muy parecida a la de C. Entonces, por el teorema de la hidrostática (ya que el mercurio en el manómetro está en reposo):

pC - pB = pE - pD = δHg g Δh

(2)

Esto nos permitiría calcular Δ h... si tuviéramos la diferencia pC - pB. Si bien no la tenemos, podemos calcularla por Bernoulli + Conservación del caudal como hicimos antes con pA - pB. Ahora bien, para ahorrar cuentas, si nos fijamos bien: como el tercer tramo tiene la misma sección que el primero, entonces ambos (el tercero y el primero) tienen la misma velocidad, y como están a la misma altura y además el fluido es ideal--> entonces tienen la misma presión, es decir pC = pA. Por lo tanto: pC - pB = pA - pB = mismo valor calculado en a). Entonces, reemplazando en (2): Δh = (pA - pB)/(δHg g)

EJERCICIO 3 El tanque de la figura tiene una sección de 1 m^2 y contiene dos fluidos de viscosidad prácticamente nula, el superior de densidad delta1=1,5 g/cm^3 y el inferior de densidad delta2 = 2,3 g/cm^3. Dos tapones (el área de sus caras es de 75 cm^2), ubicados como indica la figura, bloquean la salida del líquido. a) Mientras NO se retiren los tapones, ¿cuáles son las fuerzas aplicadas en los mismos? ¿Cuáles son las fuerzas "responsables" de que los tapones no se salgan y cuánto valen? b) Calcular la velocidad a la que saldrá el fluido por cada uno de los orificios inmediatamente después de retirar los tapones.

a) Hagamos un esquema de cada tapón, con las fuerzas aplicadas en él.

Consideremos el tapón superior. En el esquema anterior están indicadas las fuerzas aplicadas sobre él: FA --> fuerza hecha por el AIRE

FL --> fuerza hecha por el LIQUIDO P --> Peso del tapón El RECIPIENTE también hace fuerza sobre el tapón, ya que está en contacto con él; como no conocemos para donde va esa fuerza, en general podemos desdoblarla en dos: una fuerza horizontal y otra vertical: FR1 --> fuerza hecha por el recipiente, componente horizontal FR2 --> fuerza hecha por el recipiente, componente vertical Como el tapón está en equilibrio, debe cumplirse: Para las fuerzas verticales: FR2 - P = 0 Para las fuerzas horizontales: FL - FA - FR1 = 0

(*)

Si bien todavía no calculamos las fuerzas, hemos dibujado FL más grande que FA ya que intuitivamente sabemos que el líquido hace más fuerza, ya que la presión es mayor que la del aire (el líquido tiene densidad mayor que la del aire). FR1 es una fuerza de "rozamiento" con el recipiente; notar que es la fuerza responsable de que el tapón no se salga. Esta es la fuerza que nos piden calcular. Como no nos dicen cuánto pesan los tapones, no tenemos forma de saber ni P ni FR2, así que, nos ocuparemos solamente de calcular FR1. Despejando de la ecuación marcada con (*) FR1 = FL - FA

(1)

Expresamos FA y FL: FA = Presión aire X Superficie_tapón

(2)

FL = Presión líquido sobre el tapón superior X Superficie_tapón

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1), queda: FR1 = (Presión líquido sobre el tapón superior - presión aire) . Superficie_tapón (4) Pero necesitamos calcular la presión del líquido a la altura del tapón superior para calcular FR1; es decir, necesitamos la presión a 0.5 m por debajo de la superficie superior.

Planteamos entonces el teorema de la hidrostática relacionando la presión sobre el tapón, con la presión atmosférica arriba de todo: Presión líquido sobre tapón superior - 1 atm = 1,5 g/cm^3 . g . 0,5 m = 7500 Pa Reemplazando esta presión en la ecuación (4), sacamos FR1. Queda:

FR1 = 7500 Pa . 75 cm^2 = 56,25 N

Pasando al tapón inferior, el planteo es análogo, cambiando las fuerzas por las que tienen "prima" ('). Por eso no voy a repetir todo acá. Lo que sí va a cambiar sustancialmente, es la expresión de la presión del líquido sobre el tapón inferior. Mediante el teorema de la hidrostática (planteálo, hay que hacerlo dos veces, tomando un punto intermedio en la interfase entre los líquidos!!), se llega a: Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1 m + 2,3 g/cm^3 . g . 2m Notar que la presión sobre el tapón inferior tiene las siguientes contribuciones: el primer término es la presión atmosférica, el segundo término es la presión hecha por la capa de líquido 1, y el tercer término es la presión hecha por la capa de líquido 2. Resolviendo, queda que: Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 61000 Pa

Con esta presión, se puede calcular la fuerza que hace el líquido sobre el tapón inferior y, por diferencia con la fuerza que hace el aire, se calcula F'R1, como en el caso anterior. También se simplifica el término de la presión atmosférica, y sólo "sobreviven" las contribuciones a la presión hechas por los líquidos. Queda:

F'R1 = 61000 Pa . 75 cm^2 = 457,5 N b) Ahora se quitan los tapones y queremos las velocidades de salida. Ojo que ahora ya no vale el teorema de la hidrostática, porque el líquido está en movimiento!!. Podemos plantear el teorema de Bernouilli, vamos a necesitar varios puntos (En el dibujito adjunto se muestran)... ¡no se puede hacer entre A y D directamente porque A y D están en distintos líquidos!. Como referencia tomaremos el CERO en el piso:

Entre A y B vale el Teorema de Torricelli, ya que A y B están en el mismo líquido, tienen la misma presión, y además la velocidad en A es despreciable frente a la de B. Por lo tanto:

Para el tapón inferior, planteamos Bernouilli entre C y D (para Bernoulli siempre tenemos que elegir puntos en el mismo líquido!!):

En la ecuación anterior conocemos: PD = P atmosférica = 1 atm, HD = 0 (el tapón está casi al nivel del piso), Hc = 2 m, Delta2 = 2,3 g/cm^3. Como Vc está sobre una superficie tan grande como la de arriba, entonces también podemos aproximar Vc a cero (la velocidad en C se desprecia frente a la velocidad de D). Queda: PC + 2,3 g/cm^3 . 10 m/s^2 . 2m = patm + (1/2) . 2,3 g/cm^3 . VD^2 PC + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2 (*) Lo que queremos calcular es VD. Pero nos falta la presión en el punto C, entonces planteamos Bernouilli entre A y C, OJO, ahora es el líquido 1:

OJO, fijáte bien qué densidad usamos en cada caso, así como las alturas!! En esta ecuación se van los términos con las velocidades, ya que vA = vC, dado que la sección en A es la misma que en C, y también podemos reemplazar PA = 1 atm, HA = 3m, HC = 2m, Delta1 = 1,5 g/cm^3 quedando: PC = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1m PC = patm + 15000 Pa Reemplazando Pc en la ecuación de Bernoulli (*) y simplificando, ahora sí podemos hallar VD: patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2

61000 Pa = 1150 kg/m^3 . VD^2 --> VD = 7,28 m/s...