Examen Abril 2019, preguntas PDF

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Grado en Estad´ıstica y Empresa No lic en se: P DF p ro d u c ed b y P S till (c ) F . S ieg ert - h ttp ://www.th is.n et/~ fran k /p still.h tm l

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Abril 2019

Nombre

GRUPO

1. [2ptos] Calcula el desarrollo en serie de potencias de f (x) = x2 e−2x+1 2. [2ptos] Determina el rango de valores de α, β ∈ Z

2

∞

para los que la integral impropia

(x − 2)β dx es convergente. eαx

3. [2ptos]1 Calcula los coeficientes de la serie de Fourier para la funci´on peri´odica de periodo 2π : f (x) = −4x si x ∈ [−π, π).

4. [2ptos] Calcula la antitransformada de Laplace de F (s) =

1 1 − . (s + 1)3 (s + 2)2 + 3

5. [2ptos] Sea y(x) una funci´on que cumple: y′ − 3y = e−2x con y(0) = 0.Calcula L{y}(s) e y(x). .

1

La entrega del ejercicio de Fourier exime de la realizaci´on de este ejercicio

Cu´al de la siguientes integrales impropias NO es convergente Z

a

1

0

dx √ √ 3 x 3 x+1

6. El valor de S =

∞ X

b

(−1)n

n=0

Z

1

x−1 dx (x + 1)2

0

c

Z

1 0

ex dx x (x − 1)

d

Z

1 0

ex

dx √ x−1

en es n!

√ a S= e

√ c S = 1/ e

b S = e2

d S = 1/ee

7. La transformada de Laplace de f (x) = x sin 2x es a

1 2 s − 22

b

4 (s + 2)4

c

4s 2 (s + 4)2

d

2s2 (s − 2)2

2

8. El desarrollo en serie de potencias de f (x) = x2 e−x es a

∞ X (−1)n xn+2 (2n)! n=0

b

∞ X

(−1)n

n=0

x(2+2n) (2n)!

9. La antitransformada de Laplace de F (s) =

a f (x) =

2(x − 2)3 3

b f (x) =

c

Soluci´on

1

d

∞ X x(2−2n) n! n=0

1 (s + 2)3

x2 e2x 2

Cuesti´on

∞ X x(2+2n) (−1)n n! n=0

c f (x) = e2x sin x

2

3

4

5

d f (x) =

4e2x cos x 3

Ejercicios 1. Calcula L{x2 e5(x+1) cos 2x}.

2. Calcula los coeficientes de la serie de Fourier para la funci´on peri´odica de periodo 2π : f (x) = −x si x ∈ [−π, π)....