Examen-calculo-especial 07 PDF

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EITE - ULPGC 2019-20 - Convocatoria Especial - 07.octubre.20

C´ alculo I

En cada uno de los siguientes problemas hay tres versiones distintas A, B y C con creciente di´ UNA de las versiones (seg´ un la nota ficultad. SE DEBE ELEGIR EN CADA PROBLEMA SOLO a la que se aspire). Los problemas se˜ nalados A valen 1.2 puntos, los se˜ nalados B valen 1.6 puntos y los se˜ nalados C valen 2 puntos. DURACION DEL EXAMEN: 3 horas Problema 1.A Hallar el l´ımite: l´ım

x→0+

πx − sen(πx) . x3

1 + 22 + 32 + . . . + n2 . n→∞ n3

Problema 1.B Hallar el l´ımite: l´ım

Problema 1.C Hallar α y β para que l´ım

x→0+

α cos x + β sen(αx) − 2 = 1. π arc sen x

Problema 2.A Hallar la ecuaci´ on de la recta normal a la superficie de ecuaci´ on z = x2 + 4y 2 en el punto (−1, 1, 5). Problema 2.B Demostrar que la funci´on y = y(x) definida en forma impl´ıcita por la ecuaci´ on x + y − 1 = ex−y presenta un m´ınimo local en el punto (1, 1). Problema 2.C La ecuaci´ on 3y + xx+z − 2z = 6 define impl´ıcitamente a z = z(x, y). Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto P (1, 1, −1).

Problema 3.A Estudiar en el origen la continuidad de la funci´ on ( (x+y )3 si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 , . f (x, y) = x +y 0, si (x, y) = (0, 0) Problema 3.B Sea la funci´ on f (x, y) =

(

2x3 y , x6 +y 2

0,

si (x, y) 6= (0, 0) . si (x, y) = (0, 0)

1) Calcula el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las rectas y = λx. 2) Calcula el l´ımite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la curva y = x3 .

´ Plaza Prof. Angel

10 de octubre de 2020

EITE - ULPGC 2019-20 - Convocatoria Especial - 07.octubre.20

C´ alculo I

Problema 3.C Sea la funci´ on f (x, y) = Halla el l´ımite de la funci´on

δf (x, y) δx

(

xy , x2 +y 2

0,

si (x, y) 6= (0, 0)

si (x, y) = (0, 0)

en (0, 0).

Problema 4.A Hallar las siguientes integrales: 1)

Z

e2x cos 3x dx,

Problema 4.B Hallar las siguientes integrales: 1)

Z

dx , cosh x + sinh x

de ab 6= 0. Problema 4.C 1) Si Im =

Z

.

2)

dx , halla Im en funci´on de Im−1 , 2) (1 + x2 )m

Z

2)

Z

cotg2 x dx. Z

eax cosh(bx) dx, don-

dx . 1 + cos x

Problema 5.A En las siguientes series justificar su car´ acter: √ ∞ ∞ n 3 X X n (−1) 1) . , 2) ln(n + 1) n+2 n=1 n=1 Problema 5.B En las siguientes series justificar su car´ acter: ∞ ∞ n X X (−1) n ! 1 . , 2) 1) n n n ln n n=2 n=1 ∞ X 1 + 22 + 32 + . . . + n2 (−1)n , 3 n n=1 ∞ X 1 + 22 + 32 + . . . + n2 . 2) En funci´ on del par´ ametro α ≥ 0, hallar el car´ acter de la serie nα n=1

Problema 5.C 1) Justificar el car´acter de la serie

´ Prof. Angel Plaza

10 de octubre de 2020...