Examens finals probabilitat PDF

Preview

Summary

Recopilatorio de todos los exámenes de probabilidad de años anteriores!!!...

Description

UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

Examen Final Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees

Nom i Cognom ................................................., Grup ..... NIA .............................

Nom i Cognoms ...............................

1

Test A

Llegiu aquestes instruccions: 1. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI. 2. Poseu les vostres dades (nom, cognom, etc. en aquest full i tamb´ e el vostre primer cognom i signatura al peu de p` agina de cada un dels fulls adjunts. 3. Temps m` axim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts. 4. Sota cap concepte, NO des-grapeu el quadarnet. 5. Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta m´ ultiple. Cada pregunta t´e tres respostes possibles, solament una e´s correcta. Marqueu amb una X la casella de la resposta que cregueu que e´s la correcta. Si voleu rectificar, marqueu amb NO la casella que hav´ıeu assenyalat, i poseu una X a la nova casella que assenyaleu com a correcta. Tota pregunta amb m´ es d’una casella assenyalada ser` a considerada no contestada. A l’hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuaci´ o de l’examen s’efectuar` a de la forma seg¨ uent: Resposta correcta: +1.0 Resposta incorrecta: 0.5 Pregunta no contestada: 0.0.

` 6. Full de Lectura Optica que s’acompanya. Poseu les vostres dades personals i del tipus de test La resposta ` v` alida ´ es la que passeu al Full de Lectura Optica.

Nom i Cognoms ...............................

2

Test A

Nom i Cognoms ...............................

3

Test A

1. Si A, B, C s´ on tres esdeveniments d’un experiment aleatori i A ⇢ B, aleshores A \ (B [ C) ´es  A\C  B  A 2. Si A, B s´ on esdeveniments d’un experiment aleatori i P (A) = P (B) = 0.6, aleshores, necess`ariament  A i B s´ on independents  A\B = 6 ;  A=B 3. Suposeu una variable aleat` oria X amb E(X) = 0; aleshores, necesses`ariament  Var(X) = (E(X))2  Var(X) = 0  Var(X) = E(X 2 ) 4. Si X ⇠ N (1, 2) (2 e´s la vari` ancia) i Y = 3(X + X), aleshores la distribuci´o de Y ´es  N (3, 18)  N (6, 72)  N (6, 36) 5. En la tirada de 6 monedes (no trucades), el nombre de cares segueix una distribuci´ o  de Poisson  de Bernoulli  sim`etrica 6. Si la distribuci´ o de massa de probabilitat conjunta de X i Y ´es Y X

pX,Y 1 -1

1 3/12 3/12

-1 3/12 3/12

Aleshores, X i Y s´ on variables  incorrelacionades per` o no independents  incorrelacionades i independents  independents per` o correlacionades 7. Suposeu dues variables aleat` ories X i Y amb distribuci´ o conjunta normal bivariant. La correlaci´ o entre les variables X i Y ´es 0, els valors esperats de X i Y s´ on 0 i les vari` ancies de X i de Y s´ on 1. El valor esperat de Y quan X = 1 ser` a:  0  0.5  1 ancia, σ 2 . Aleshores, Cov(X1 , 2X1  X2 ) ´es 8. Suposeu X1 , X 2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa vari`  σ 2  0  2σ 2

Nom i Cognoms ...............................

4

Test A

9. Suposeu dues distribucions binomials X ⇠ B(n1 , p) i Y ⇠ B(n2 , p), amb 0 < p < 1. Suposeu que n1 < n 2 . Aleshores,  La vari` ancia de Y ´es m´es gran que la de X  La vari` ancia de X ´es m´es gran que la de Y 

Les dues vari` ancies s´ on iguals

10. De dues variables aleatories X i Y ens diuen que E (XY ) = E (X)E(Y ); aleshores, necess`ariament,  aquesta afirmaci´ o no pot ser certa  les variables X i Y estan incorrelacionades 

les variables X i Y s´ on independents

11. Suposem que X e´s una variable aleat` oria cont´ınua amb funci´ o de densitat de probabilitat f (x) i E(X) = 0. Aleshores 

f 0 (x) = F (x), on F (x) ´es l a f unci o´ acumul ada de di st r i buci ´o

 f (x) pot pendre valors m´ es gran que 1 R +1  f (x)dx = 0 1 X 12. Si X e´s binomial amb par` ametres n = 3 i p = 0.5, aleshores la probabilitat que X sigui different de 1 ´es:  0.375  0.625  0.5 13. Marca la correcta:  ρX Y = ρ(2X + 3, Y + 1) 

σX Y = cov (2X + 3, Y + 1)



ρX Y = ρ(2X + 3, Y + 1)

14. Si X i Y s´ on variables aleat` ories amb correlaci´ o negativa, aleshores  V ar(X  Y ) = V ar(X)  V ar(Y )  V ar(X  Y ) > V ar(X) + V ar(Y )  V ar(X  Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) 15. Suposeu una variable aleat` oria X amb funci´ o de massa de probabilitat. X pX

-1 1/10

-2 2/10

1 1/10

2 2/10

a 4/10

Si E(X) = 40, aleshores el valor de a ´es  200  100  20 16. Dem` a ´es 22 de desembre i, com cada any, se celebra a Espa˜ na el sorteig de “La Grossa”. Des del 2011 hi ha en el bombo 100.000 n´ umeros, del 00000 al 99999. En Josep va comprar un d`ecim del n´ umero 11111 a una administraci´ o de Loterias y Apuestas del Estado del seu barri. La Josefina, molt m´ es curosa, va anar a Madrid i a la famosa administraci´ o de Loterias y Apuestas del Estado de Do˜ na Manolita (veure foto adjunta de la cua, d’hores, que va haver de fer) va comprar un d`ecim de cada un dels n´ umeros seg¨ uents: 45077 i 12514. En Josep i la Josefina no tenen altres n´ umeros que els esmentats. En aquest escenari  Aquest any la probabilitat que el “El Gordo” sigui el n´ umero 11111 e´s m´ es petita que la del 12514 Nom i Cognoms ...............................

5

Test A

 La probabilitat que a la Josefina li toqui “El Gordo” e´s exactament el doble que la probabilitat que “El Gordo” toqui a en Josep  cap de les anteriors 17. Un casino estableix el joc seg¨ uent: tirada repetida d’una moneda (no trucada) fins que surt cara i pagar al jugador amb euros dues vegades el n´ umero de tirades necess` aries per aconseguir la cara. Per exemple, si la cara apareix a la primera tirada, el jugador cobra 2(= 2 ⇥ 1) euros. Si el preu d’entrada a una jugada e´s de 4 euros, aleshores:  el casino t´ e quany esperat de dos euros per jugada  el casino t´ e perdua esperada d’un euro per jugada  aquest e´s el joc de la Paradoxa de Sant Petersburg, en el que no podem calcular guany esperat 18. Suposeu un tel` efon on el temps d’espera X en minuts per una trucada segeuix distribuci´ o exponencial amb par` ametre λ = 4; ´es a dir, f (x) = 4e4x , x > 0. Aleshores, el nombre esperat de trucades en un minut e´s:  0.25  0.5  4 19. Si A \ B = ;, P (A) > 0, i P (B) > 0; aleshores,  A i B s´ on complementaris  A i B no s´ on independents  A⇢B 20. En sintaxis de R, def inim un dau de deu cares: dau = 1:10. Despr´es simulem tirades independents del dau: monte = sample(dau, 1000 , replace = "T"). Finalment, calculem el promitg de les 1000 tirades del dau: m = mean(monte) . En aquest cas, m segueix distribuci´ o:  uniforme de 1 a 1000  normal amb mitjana 5.5 i vari` ancia 8.25  normal amb mitjana 5.5 i vari` ancia 8.25/1000 21. Reordenem a l’atzar els n´ umeros 1,2,3,4,5,6. La probabilitat que el n´ umero de 6 xifres acabi amb 12 e´s  0.3333 Nom i Cognoms ...............................

6

Test A

 factorial(4)/factorial(6) = 0.03333  2*factorial(4)/factorial(6) = 0.06666 22. Sigui A i B una partici´ o de l’espai mostral Ω amb P (A) = 0.8. Sigui C un esdeveniment tal que P (C | A) = 0.1 i P (C | B) = 0.9. Aleshores P (A | C) e´s igual a  0.3076923  0.969697  no es pot calcular amb aquestes dades 23. Sigui A i B i C una partici´ o de l’espai mostral Ω. Aleshores el complementari de A [ B ´es  C  Ac [ B c (aqu´ı ()c denota complementari)  A\B 24. Si X e´s una variable aleat` oria, i V (.) denota vari` ancia, aleshores una d’aquestes igualtats sempre e´s certa  V (3X  6) = 9V (X  10)  V (3X  6) = 9V (X)  6  V (3X  6) = 3V (X  6)

Nom i Cognoms ...............................

7

Test A

Nom i Cognoms ...............................

8

Test A

Nom i Cognoms ...............................

9

Test A

UPF, Curs 2013-14 Trimestre 1 Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees

Nom i Cognom ................................................. DNI: NIS (codi de campus): Grup:

Signatura: .............................

1. Ompliu les dades sol.licitades sense girar aquest full (NO OBRIR EL QUADERNET!) 2. Quan el professor ho indiqui, des-grapeu aquest full, que ser` a recollit pel professor de l’aula 3. No des-grapeu la resta del quadernet

Nom i Cognoms ...............................

1

Test A

Instruccions sobre el test: 1. Poseu nom i cognom al peu d’aquesta p` agina 2. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI 3. Sota cap concepte NO des-grapeu el quadarnet 4. Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta m´ ultiple Cada pregunta t´ e tres respostes possibles, solament una ´ es correcta A l’hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuaci´ o de l’examen s’efectuar` a de la forma seg¨ uent: Resposta correcta: +1.0 Resposta incorrecta: 0.5 Pregunta no contestada: 0.0. 5. Temps m` axim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts 6. De tot el material entregat solament recollirem el Full de Lectura `Optica 7. Marqueu les respostes en el full de lectura o `ptica que s’adjunta 1. Dades Personals en el Full de Lectura ` Optica:

(a) Nom i Cognoms (b) DNI (c) NIS (Codi de Campus) (d) Grup (e) Permuta del Test: Test A ! 1, Test B ! 2 , Test C ! 3, Test D ! 4

Nom i Cognoms ...............................

2

Test A

UPF, Curs 2013-14 Trimestre 1, Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

Nom i Cognoms ...............................

3

Test A

UPF, Curs 2013-14 Trimestre 1, Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

1. Si X e´s binomial amb par` ametres n = 3 i p = 0.5, aleshores  P (X = 1) = P (X = 3)  P (X = 1) = P (X = 2)  P (X = 1) = 1/3 2. Marca la resposta correcta ( ρXY ´es cor r el aci ´o i σXY e´s covari` ancia)  ρXY = ρ(X + 3, 3Y + 1) 

σXY = cov (X + 3, 2Y + 1)



ρXY = ρ(2X + 3, Y + 1)

3. Sabem que els esdeveniments A i B s´ on disjunts (incompatibles), A \ B = ;, amb P (A) i P (B) diferent de zero. Aleshores,  P (A | B) = P (A)  P (A \ B) = P (A)P (B)  P (A | B) = 0 ancia, σ 2 . Aleshores, Cov(3X1 , X 4. Suposeu X1 , X 2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa vari` ´es

1

 3X2 )

 3σ 2  3  3σ 2 o. 5. Suposeu X1 , X 2 dues variables independents amb la mateixa distribuci´  Aix` o e´s impossible, ja que si tenen la mateixa distribuci´ o no poden ser independents  X1 + X2 = 2X1  var(X1 + X2 ) = 2var(X1 ) 6. Suposeu dues distribucions de Bernoulli X i Y , amb par` ametres pX and pY respectivament. Suposeu que pX < p Aleshores,

Y

.

 necess` ariament, el valor esperat de X ´es m´es gran que el de Y  necess` ariament, la vari` ancia de Y ´es m´es gran que la de X  les vari` ancies de X i de Y podrien ser iguals 7. Suposeu dues variables aleatories X i Y i tals que E (XY ) = E(X)E (Y ); aleshores, necess`ariament, 

l’esperan¸ca de X  Y ´es zer o

 la vari` ancia de X + Y ´es l a suma de l es var i a`nci es de X i de Y 

les variables X i Y s´ on independents

8. Suposem que X e´s una variable aleat` oria cont´ınua amb funci´ o de densitat de probabilitat f (x) i E(X) = 0. Aleshores 

f (x) = P (X  x)



f (x) no pot prendre valors m´es gran que 1 R +∞  −∞ xfX (x)dx = 0 9. Un centre d’investigaci´ o de risc bancari ha investigat la probabilitat de fallida de dos bancs A i B. S’ha estimat que la probabilitat de fallida del banc A e´s 0.2, i que la probabilitat de fallida del banc B suposant que el banc A faci fallida e´s de 0.6. La probabilitat de fallida conjunta dels dos bancs e´s Nom i Cognoms ...............................

4

Test A

 0.12  0.8  0.2 10. Si A, B, C s´ on tres esdeveniments d’un experiment aleatori i C = A [ B, aleshores 

(A [ C) = A \ B

 A\C =B  A[C =A 11. Si A, B s´ on esdeveniments d’un experiment aleatori i P (A) = P (B) = 0.3, aleshores, necess`ariament  A i B s´ on independents  A=B  P (A [ B)  0.6 12. Suposem A, B dos esdeveniments d’un experiment aleatori. Es pot donar els cas que P (A \ B) = P (A)?  Solament si A i B s´ on independents  Solament si A i B s´ on disjunts  S´ı! es pot donar el cas que P (A \ B) = P (A) 13. Suposeu una variable aleat` oria X amb E(X) = 0; aleshores, necess`ariament  Var(X + 2) = Var(2X + 2)  Var(3X) = 3Var(X)  E(3X + 5) = E(X + 5) 14. Si X i Y s´ on variables aleat` ories amb σXY > 0, aleshores 

Var (X + Y ) > Var (X) + Var (Y )

 Var (X  Y ) > Var (X) + Var (Y )  Var (X  Y ) = 0 15. Suposeu una variable aleat` oria X amb funci´ o de massa de probabilitat. X pX

-1 a

0 b

1 c

Se sap que E(X) = 0 i Var (X) = 1. Aleshores  a = 0.25  b=0  a=b 16. Un casino estableix el joc seg¨ uent: tirada repetida d’un dau fins que que surt la cara sis, i pagar al jugador 4 vegades el n´ umero de tirades necess` aries fins aconseguir el sis. Per exemple, si el sis apareix a la tercera tirada, el jugador cobra 12 = 4 ⇥ 3 euros. Si el preu d’entrada a una jugada e´s de 25 euros, aleshores:  el guany esperat del casino e´s 1 euro per jugada  el guany esperat del casino e´s 2 euros per jugada  en aquest joc no hi ha valor esperat 17. En sintaxis de R, def inim un dau de sis cares: dau = 1:6. Despr´es simulem tirades independents del dau: monte = sample(dau, 100 , replace = "T"). Finalment, calculem la mitjana aritm` etica de les 100 tirades del dau: m = mean(monte). En aquest cas, m segueix distribuci´ o aproximadament:  uniforme discreta de 1 a 100 Nom i Cognoms ...............................

5

Test A

 normal amb valor esperat 3.5 i vari` ancia 2.916667(=

5×7 12

)

 normal amb valor esperat 3.5 18. Reordenem a l’atzar els n´ umeros 1,2,3,4,5. La probabilitat que el n´ umero de 5 xifres acabi amb 123 ´es  1/choose(6,3) = 0.05  factorial(2)/factorial(5) = 0.01666667  1/factorial(5) = 0.008333333 19. En sintaxis de R, considereu a= mean(3*rnorm(1000) + 2) (´es a dir, a ´es l a mi t j ana ar i t m`et i ca de 1000 observacions independents de la variable Y = 3Z + 2, Z ´es l a nor mal est andar di t zada). El val or de a ser` a aproximadament  normal amb valor esperat 0  3  2 20. Suposeu una variable aleat` oria X amb E(X) = 0; aleshores, necess`ariament,  Var(X) = Var(X)  Var(X) = Var(X)  Var(X) = (E(X))2 21. Si X ⇠ N (1, 4) (4 e´s la vari` ancia) i Y = 3X + 2, aleshores la distribuci´o de Y ´es  N (3, 6)  N (5, 36)  N (5, 12) 22. En la tirada de 10 daus de sis cares, numerades del 1 al 6, el nombre de sisos segueix una distribuci´ o  binomial de par` ametres n = 6 i p = 1/6  assim` etrica (coeficient d’assim` etria diferent de zero)  binomial de par` ametres n = 10 i p = 1/2 23. Suposeu dues variables aleat` ories X i Y amb distribuci´ o conjunta

X

pX,Y 1 -1

Y 1 .1 .4

-1 .4 .1

Aleshores,  X i Y s´ on variables incorrelacionades  X i Y tenen la mateixa vari` ancia  X i Y s´ on variables independents 24. Suposeu dues variables aleat` ories X i Y amb distribuci´ o conjunta normal bivariant. La correlaci´ o entre les variables X i Y ´es 0, els valors esperats de X i Y s´ on 0 i les vari` ancies de X i de Y s´ on 1. El valor esperat de Y quan X = 0 ser` a:  Igual al valor esperat de Y quan X = 2  0.5  1

Nom i Cognoms ...............................

6

Test A

Nom i Cognoms ...............................

7

Test A

Nom i Cognoms ...............................

8

Test A

UPF, Curs 2014-15 Trimestre 1 Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Luz Mary Pinz´ on

Nom i Cognom ................................................. DNI: Grup:

Signeu aqu´: .............................

1. Ompliu les dades sol.licitades sense girar aquest full (NO OBRIR EL QUADERNET!) 2. Quan el professor ho indiqui, des-grapeu aquest full, que ser` a recollit pel professor de l’aula 3. No des-grapeu la resta del quadernet

Nom i Cognoms ...............................

1

Test A, desembre 2014

Instruccions sobre el test: 1. Poseu nom i cognom al peu d’aquesta p` agina 2. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI 3. Sota cap concepte NO des-grapeu el quadarnet 4. Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta m´ ultiple Cada pregunta t´ e tres respostes possibles, solament una ´ es correcta A l’hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuaci´ o de l’examen s’efectuar` a de la forma seg¨ uent: Resposta correcta: +1.0 Resposta incorrecta: 0.5 Pregunta no contestada: 0.0. 5. Temps m` axim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts 6. De tot el material entregat solament recollirem el Full de Lectura `Optica 7. Marqueu les respostes en el full de lectura o `ptica que s’adjunta 1. Dades Personals en el Full de Lectura ` Optica:

(a) Nom i Cognoms (b) DNI (c) Grup (d) Permuta del Test: Test A ! 1, Test B ! 2 , Test C ! 3, Test D ! 4

Nom i Cognoms ...............................

2

Test A, desembre 2014

UPF, Curs 2014-15 Trimestre 1, Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

Nom i Cognoms ...............................

3

Test A, desembre 2014

UPF, Curs 2014-15Trimestre 1, Probabilitat i Estad´ıstica, Groups 1 a 4

1. Tirem dos daus de sis cares. La probabilitat que com a m´ınim surti un 6 e´s  1/6 + 1/6 = 1/3 = 0.3333  1/6 + 1/6  1/36 = 0.3055  1/6 = 0.1666 2. Tenim una variable aleatoria X continua amb funci´ o de densitat de probabilitat f (x); aleshores, necess`ariament,  La vari` ancia V (X) ´es m´es gran que el valor esperat E(X)  f (3)  1  P (X = 3) = 0 3. Suposeu variables aleatories X1 , . . . , X n independents cada una amb vari` ancia finita i valor esperat igual a 2; aleshores, a mesura que n tendeix a +1 la variable Y = (X1 + X2 · · · + Xn )/n tendeix en probabilitat a  0  +1  2 4. Tenim una variable aleatoria X tal que E(X) = 10 i E(X 2 ) = 100, aleshores necess`ariament  El valor esperat de X ´es m´es pet i t que l a var i `anci a de X  la variable X ´es una constant (no varia)  Aquests valors esperats no s´ on possibles 5. Tenim dos esdeveniments A i B d’un experiment aleatori tals que ¯ = 3/5 • P (A | B) = P (A | B) • P (B) = 1/2; aleshores, P (B | A) ´es igual a:  2/3  3/5  1/2 on independents cada un amb P (Ai ) = 6. Considereu esdeveniments A1 , . . . , A n d’un mateix experiment aleatori que s´ .7. En aquest cas la probabilitat de l’esdeveniment B = A1 \ A2 · · · \ An quan n = 100 ser` a proper a  .7  .5  0 7. En un grup de tres persones, la probabilitat de coincid` encia d’aniversari (al menys dues persones que celebrin l’aniversari el mateix dia) ´es  (365*364*363)/(365*365*365)  1/(365*365*365)  1 - ((365*364*363)/(365*365*365)) 8. Suposeu dues variables aleatories X i Y tals que E (XY ) = E (X)E(Y ).  Aquesta igualtat e´s verifica sempre  necess` ariament, les dues variables s´ on incorrelacionades  necess` ariament, les dues variables s´ on independents Nom i Cognoms ...............................

4

...