Exercices #3 - 2021 - qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq PDF

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Description

Finance de march´e N.S. Tuchschmid Session exercices No 3 2021 Exercice 1 : Effets de Diversification Vous disposez d’un montant initial de 200’000 CHF. Vous envisagez investir ce capital durant les deux prochaines ann´ees dans des start-ups du secteur des nouvelles technologies. Chacune de ces entreprises investit dans des projets particuliers. Seuls deux aboutissements peuvent subvenir pour un projet : succ`es ou ´echec. En cas de succ`es d’un projet, la valeur de l’entreprise double, alors qu’en cas d’´echec elle diminue de moiti´e. Pour chaque entreprise, la probabilit´e de succ`es se monte `a 50% (cela implique que la probabilit´e d’´echec se monte aussi `a 50%). a) D´eterminez la distribution de votre richesse finale si vous investissez la totalit´e de votre fortune dans une seule entreprise. A combien s’´el`event la richesse finale esp´er´ee ainsi que son ´ecart-type ? b) Supposons maintenant que vous avez deux entreprises ind´ependentes. D´eterminez la distribution de votre richesse finale si vous investissez 100’000 CHF dans chacune de ces deux entreprises. A combien s’´el`event la richesse finale esp´er´ee ainsi que son ´ecart-type ? c) A partir des deux distributions d´efinies aux points a) et b), que pouvez-vous dire du rendement esp´er´e et du risque des deux placements ? Expliquez. d) L’un de vos amis pr´etend que pour r´ealiser d’´enormes gains financiers (notamment en bourse), il faut tout miser sur une seule valeur. Qu’en pensez-vous ? e) Si vous ne disposez pas d’information privil´egi´ee sur les diff´erents start-ups, lequel des deux placements (d´efinis aux points a) et b)) est-il pr´ef´erable ? Justifiez. f) Citez un exemple dans lequel le risque d’un investissement dans une seule ou dans une multitude d’entreprises demeure identique.

1

Exercice 2 : Effets de Diversification Votre conseiller financier vient de vous faire parvenir les informations suivantes concernant deux titres A et B : Rendement esp´er´e

Ecart-type

Corr´elation -1

Titre A

6%

5%

Titre B

13%

15%

1. A partir des informations pr´ec´edentes, d´eterminez la composition, le rendement esp´er´e ainsi que l’´ecart-type d’un portefeuille qui ne comporte aucun risque ? 2. On suppose que les ventes `a d´ecouvertes ne sont pas permises. Quel est le rendement maximal que vous pouvez esp´erer obtenir d’un portefeuille compos´e de ces deux titres ? Quel est alors son ´ecart-type ?

Exercice 3 : Diversification, effet de la corr´elation 1 En lisant un quotidien sp´ecialis´e en finance, vous apprenez que le march´e boursier est en hausse. Vous d´ecidez alors d’investir en bourse et contactez alors votre broker (courtier) qui vous propose de placer votre capital dans les titres de deux entreprises : ABC et XY Z. Selon une majorit´e d’analystes financiers, il semble que ces entreprises pr´esentent de bonnes perspectives de rentabilit´e. Votre broker vous confie ses anticipations de rentabilit´e et de risque concernant ces deux titres. Les rendements et les ´ecart-types qu’il anticipe sont les suivants : E (RABC ) = 20%

E (RXY Z ) = 14%

σABC = 12%

σXY Z = 8%

Les ventes `a d´ecouvert ne sont pas permises. a) Si la corr´elation entre les rendements des titres ABC et XY Z ´etait parfaitement positive (c’est-`a-dire que ρ = 1), quel devrait ˆetre la r´epartition de votre budget si vous recherchez un risque minimum ? b) Si la corr´elation entre les rendements des titres ABC et XY Z ´etait parfaitement n´egative (c’est-`a-dire que ρ = −1), quel devrait ˆetre la r´epartition de votre budget si vous recherchez un risque minimum ? c) Si la corr´elation entre les rendements des titres ABC et XY Z ´etait de -0,6, quel devrait ˆetre la r´epartition de votre budget si vous recherchez un risque minimum ? d) Votre courtier vous recommande de r´epartir votre placement de la fa¸con suivante : 30% dans ABC et 70% dans XY Z (supposez que la corr´elation est toujours de -0.6). Investisseur rationnel que vous ˆetes, allez-vous accepter cette recommandation ?

2

Exercice 4 : Diversification, effet de la corr´elation 2 Soit deux titres ayant les caract´eristiques suivantes : Rendement esp´er´e

Ecart-type

Corr´elation

Titre A

8%

20%

+0.6

Titre B

15%

40%

a) Sachant que vous avez une aversion extrˆeme face au risque (ceci veut dire que vous n’aimez pas le risque), formez `a l’aide de ces deux titres le portefeuille `a variance minimum (MVP). Calculez le rendement esp´er´e ainsi que l’´ecart-type de ce portefeuille. b) On suppose que les ventes `a d´ecouvert sont interdites. D´eterminez la composition, l’esp´erance de rendement ainsi que l’´ecart-type du portefeuille `a variance minimum. c) D´eterminez la variance d’un portefeuille compos´e de A et B en fonction des poids wA et wB dans les deux cas sp´eciaux suivants : 1) ρA,B = +1 2) ρA,B = −1 Les portefeuilles `a variance minimum (avec ventes `a d´ecouvert permises) dans ces deux cas sp´eciaux sont-ils diff´erents de ceux d´etermin´es au point a) ? Toujours dans ces deux cas sp´eciaux, quels sont les compositions, les rendements esp´er´es ainsi que les ´ecart-types des portefeuilles `a variance minimum et sans vente `a d´ecouvert ? Sont-ils diff´erents de celui d´etermin´e au point b) ? d) L’un de vos amis affirme que dans un univers a` deux titres, le risque minimum d’un portefeuille est toujours celui du titre le moins risqu´e. Au vu des r´esultats pr´ec´edents, qu’en pensez-vous ?

3

Exercice 5 : Diversification, effet de la corr´elation 3 a) On consid`ere un univers form´e de 100 titres ind´ependants (les corr´elations ρi,j entre les titres sont toutes nulles) ayant tous un ´ecart-type ´egal a` 35%. Calculez l’´ecart-type d’un portefeuille ´equi-pond´er´e 1 contenant : - 3 titres (d´enot´e par P3 ) - 100 titres (d´enot´e par P100) Quantifiez la r´eduction de risque obtenue (en termes absolus) en passant de P3 a` P100 . A quel effet attribuez-vous cette diminution ? Expliquez. b) Supposez a` pr´esent que les 100 titres soient corr´el´es positivement entre eux. Le coefficient de corr´elation ρi,j entre chaque paire de titres i et j est ´egal a` 0.3. Le tableau ci-dessous indique la relation entre l’´ecart-type d’un portefeuille ´equi-pond´er´e et le nombre de titres qui le composent dans les cas o` u ρi,j = 0 et ρi,j = 0.3 respectivement : N

σP

N

σP∗

1

35.0%

1

35.0%

3

20.2%

3

?

5

15.6%

5

23.2%

10

11.1%

10

21.3%

20

7.8%

20

20.3%

30

6.4%

30

19.9%

50

4.5%

50

19.6%

100

3.5%

100

19.4%

— Completez le tableau ci-dessus. — Donnez une repr´esentation graphique du tableau ci-dessus en consid´erant les deux coefficients de corr´elation possible. — Comment expliquez-vous que la diminution du risque soit plus forte lorsque ρi,j = 0 ? Expliquez. c) L’un de vos amis vous explique que si tous les titres sont positivement corr´el´es entre eux, il n’est pas possible d’´eliminer compl`etement le risque en augmentant le nombre de titres. Qu’en pensez-vous ? R´epondez a` l’aide du graphique dessin´e pr´ec´edemment et illustrez sur le graphique la notion de risque de march´e.

1. un portefeuille ´ equi-pond´ er´ e est un portefeuille dont les poids des titres le composant sont tous ´ egaux.

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Exercice 6 : Diversification et ventes a` d´ecouvert Vous avez a` votre disposition deux titres risqu´es dont les caract´eristiques sont les suivantes : Rendement esp´er´e

Ecart-type

Corr´elation 0.7

Titre A

5%

20%

Titre B

10%

30%

a) Exprimez la variance d’un portefeuille compos´e de A et B en fonction des poids wA et wB . En utilisant la contrainte budg´etaire (wA + wB = 1), exprimez la variance de ce portefeuille en fonction de wA uniquement. b) D´eterminez la composition, l’esp´erance de rendement ainsi que l’´ecart-type du portefeuille `a variance minimum. NB Pour d´eterminer la composition de ce portefeuille, il suffit de minimiser la variance du portefeuille  2  ∂σ par rapport a` wA ∂wp = 0 . A

c) Sous l’hypoth`ese que les positions n´egatives sont interdites (les positions n´egatives repr´esente les ventes a` d´ecouvert) et dans un univers `a deux titres, commentez l’affirmation suivante : le risque maximum du portefeuille est toujours celui du titre le plus risqu´e (not´e Y), le risque minimum du portefeuille n’est pas toujours celui du titre le moins risqu´e (not´e X). d) Dans cette question, les ventes `a d´ecouvert sont permises. Formez le portefeuille dont l’esp´erance de rendement est de 20%. Expliquez ensuite en d´etail comment on peut obtenir un rendement esp´er´e de 20% alors que le titre le plus rentable a une esp´erance de 10%.

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