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HLMA101 - Alg`ebre lin´eaire et analyse 1 —— Feuille d’exercices n°5

1. Exercices d’´echauffement 2

Exercice 1.1. Montrer que 1 + 3 + 5 + · · · + (2 − 1) =

pour tout

∈ N ∗ par récurrence.

Exercice 1.2. Quelle est la partie entière de −4, 89 ? De 56/23 ? Exercice 1.3. Montrer que 21 est décimal et que 31 ne l’est pas. Exercice 1.4. Donner les bornes supérieures, inférieures, plus grand élément, plus petit élément (s’ils existent) des parties suivantes de R : [0, 1], [0, 1[, ]0, 1[, [1, +∞[, N et Q. Exercice 1.5. Soient

et

deux réels. Montrer que || | − | || ≤ | − |.

2. Exercices d’entraˆinement Exercice 2.1. Soit (

)

pour tout

( −1)/2

≥ 1,

≤2

∈N

une suite de réels tels que

0

= 1 et pour tout

≥ 1, (

)2 ≤

! P −1 2 ( ) . Montrer que =0

.

Exercice 2.2. Soit ∈ N ∗ et : {0, 1, . . . , } → {0, 1, . . . , } une application croissante. Montrer que point fixe (c’est-à-dire qu’il existe un élément de {0, 1, . . . , } tel que ( ) = ).

admet un

Exercice 2.3. Soit et deux rationnels distincts tels que < . Montrer qu’il existe un rationnel tel que < < . En déduire qu’entre deux rationnels distincts on peut toujours trouver une infinité de rationnels distincts. Exercice 2.4. Soit

un rationnel. L’ensemble { ∈ D |

> } a-t-il un plus petit élément ?

Exercice 2.5. (a) Quel est l’ensemble des majorants dans N de [0, 311] ∩ N ? L’ensemble [0, 11 ] ∩ N a-t-il un plus 3 grand élément dans N ? Et une borne supérieure ? ] ∩ Q a-t-il un plus grand élément (b) Quel est l’ensemble des majorants dans Q de [0, 311] ∩ Q ? L’ensemble [0, 11 3 dans Q ? Et une borne supérieure ? ] ∩ D a-t-il un plus grand élément (c) Quel est l’ensemble des majorants dans D de [0, 11 ] ∩ D ? L’ensemble [0, 11 3 3 dans D ? Et une borne supérieure ? Exercice 2.6. Démontrer qu’il n’existe aucun rationnel tel que 2 = 2. Même question si 2 = 3 puis si 2 = avec un entier premier. Pourquoi le même raisonnement ne marche-t-il pas si on considère l’équation 2 = 4 ? Exercice 2.7. Donner les bornes supérieures, inférieures, plus grand élément, plus petit élément (s’ils existent) des   − parties suivantes de R : 1 | ∈ N ∗ , { (−1) | ∈ N ∗ }, { | ∈ N ∗ }. Exercice 2.8. Soit

= Q∩]0, 1[ et ,

∈ R + . On considère les applications suivantes de

+ − ; : 7→ + + Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de ( ) et de ( ). :

7→

dans R + :

.

Exercice 2.9. Soit et deux parties bornées de R. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (a) ⊂ ⇒ sup 6 sup ; (b) ⊂ ⇒ inf 6 inf ; (c) sup(− ) = − inf ; (d) sup( ∪ ) = max(sup , sup ). Exercice 2.10. Soit ∈ R. Montrer que (∀ε > 0, | | < ε) ⇒ et sont deux réels distincts, alors | − | > 0.)

= 0. I(ndication : on pourra utiliser le fait que si

3. Exercices d’entraˆinement suppl´ementaires Exercice 3.1. Montrer que

P

3

=

=1

Exercice 3.2. Montrer que

P

P

=1

3

2

!2

∈ N∗ .

pour tout

= 23 (3 (

2

− + 1) − 1) pour tout

∈ N∗ .

=1

Exercice 3.3. Soit ϕ : N → Z l’application définie par ∀ ∈ N, ϕ(2 + 1) = −( + 1) et ϕ(2 ) = . L’application ϕ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Exercice 3.4. Trouver un intervalle de N contenu dans [0, 1] t qui contient exactement deux entiers. Peut-on faire de même avec un intervalle de Q ? De D ? De R ? Exercice 3.5. Démontrer que si ∈ Q et

< Q alors +

< Q et si , 0 alors

< Q.

Exercice 3.6. Y a-t-il un plus petit élément de l’ensemble de tous les rationnels strictement positifs ? Une borne inférieure dans Q ? Dans R ? Exercice 3.7. (a) Montrer qu’il n’existe aucune application bijective et de N dans Q. (b) Même question avec Q+ (autrement dit, on ne peut pas numéroter dans l’ordre croissant les éléments de Q+ ). Exercice 3.8. Le maximum de deux nombres réel et (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté max( , ). De même on notera min( , ) le plus petit des deux nombres et . Démontrer que : + −| − | + +| − | . et min( , ) = max( , ) = 2 2 Trouver une formule pour max( , , ). Exercice 3.9. Soient et deux parties non vides de R. On définit alors + = que si et sont majorées, alors + l’est aussi et sup( + ) = sup + sup . Exercice 3.10. Soit

une partie de R. Montrer que le fait que ∀ ∈ R, = sup{ ∈

|

< } ou



+ |

∈ ,

∈

 . Montrer

soit dense dans R est équivalent à : = inf { ∈

|

> }.

Exercice 3.11. Soient et des parties non vides et bornées de R vérifiant les propriétés (1) ∀ ∈ , ∀ ∈ , , et (2) ∀ε > 0, ∃ ∈ , ∃ ∈ tels que | − | < ε. Montrer que sup ≤ inf puis que sup = inf .

≤

4. Exercices d’approfondissement Exercice 4.1. Soit : [0, 1] ∩ D → [0, 1] ∩ D une application croissante. Est-il vrai que admette toujours un point fixe ? Même question si les ensembles de départ et d’arrivée de sont égaux à [0, 1] ∩ Q. Exercice 4.2. Soit un entier ≥ 2. (a) Montrer qu’il existe un entier naturel ℓ tel que 2ℓ ≤ ≤ 2ℓ+1 . (b) Soit ∈ {1, . . . , } ; montrer qu’il existe un entier tel que 0 ≤ ≤ vérifiant = 2 avec impair. (c) Montrer que si = ℓ dans la question précédente, alors = 2ℓ . (d) Déduire des questions précédentes que 1 + 21 + 13 + · · · + 1 n’est pas un entier (indication : on pourra exercer son intuition en mettant sous forme de fraction irréductible les résultats de ces sommes pour = 2, 3, 4, 5...) Exercice 4.3. o supérieure, inférieure, plus grand élément, plus petit élément (s’ils existent) de la n Donner les bornes partie = (−1) + 12 | ∈ N ∗ de R . Exercice 4.4. Soit : R → R telle que ∀( , ) ∈ R 2 , ( + ) = ( ) + ( ). Montrer que : (a) ∀ ∈ N, ( ) = · (1) ; (b) ∀ ∈ Z, ( ) = · (1) ; (c) ∀ ∈ Q, ( ) = · (1) ; (d) si est croissante, alors ∀ ∈ R, ( ) = · (1)....