Exercícios resolvidos Diomara - Funções varias variáveis PDF

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Resolvendo alguns exercícios de Calculo Diferencial e Integral sobre funções de varias variáveis...

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Nos exercícios 1 a 6, encontre as derivadas parciais indicadas. 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥

1. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 6𝑥 − 𝑦 2 ,

2. 𝑓 (𝑥, 𝑦) =

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = (3𝑥 )′ . 𝑦 + (3𝑥). (𝑦)′ + (6𝑥)′ 𝜕𝑥 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑦 + 6 𝜕𝑥

𝑥 + 𝑦 𝜕𝑓 , (𝑥, 𝑦) √𝑦² − 𝑥² 𝜕𝑦

(𝑥 + 𝑦 )′ . √𝑦² − 𝑥² − (𝑥 + 𝑦) . (√𝑦2 − 𝑥 2)′ 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 (𝑦 2 − 𝑥 2) 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦

3. 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑦 𝑥² ( ) 𝑥 ln ( )

𝑦

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦

2𝑦 √𝑦² − 𝑥² − (𝑥 + 𝑦) . 2√𝑦² − 𝑥² (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝑦 √𝑦² − 𝑥² − (𝑥 + 𝑦) . √𝑦² − 𝑥² (𝑥 2 − 𝑦 2 )

𝑦 𝑦 𝑦 ′ 𝑥2 𝜕𝑓 𝑥² ) ) (𝑥, 𝑦) = 𝑒 (𝑥 . ( ) . ln ( ) + 𝑒 (𝑥 . (ln ( )) 𝑦 𝑥 𝜕𝑦 𝑦

′

𝑦 𝑦 𝑥2 ′ 𝑥² 1 1 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 (𝑥 ) . . ln ( ) + 𝑒 ( 𝑥 ) . 2 . ( ) 𝑥 𝜕𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2 () 𝑒 𝑥 ln ( 𝑦 ) 𝑦 𝑥2 ( ) 𝑦 (𝑥, 𝑦) = + 𝑒 𝑥 2 . (− 2 ) 𝑦 𝑥 𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝑓

1

− 6. 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧²) 2 ,

𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑧

𝑒 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦

𝑦 𝑥2 ( ) 𝑥 ln ( )

𝑥

𝑦

−

𝑒

𝑦 ( ) 𝑥

𝑦

3 𝜕𝑓 1 − (𝑥, 𝑦, 𝑧) = − = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2) 2 . 2𝑧 2 𝜕𝑧

𝜕𝑓 𝜕𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑧

3

(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧2)2

7. Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de

Com o plano 𝑦 = 4 no ponto (3,4,2).

𝑧= √

A intersecção de 𝑧 com o plano 𝑦 = 4 é: 𝑧= √

𝑥 2 𝑦2 + −1 4 9

𝑥 2 16 −1 + 4 9

Lembrando que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto. Portanto:

𝜕𝑧

𝜕𝑥

(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 2 𝜕𝑧

1

.

81 2𝑥 . 9

𝑥1 9 +4− (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝜕𝑥 9√ + 4 − 1 9

8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0).

𝜕𝑧

𝜕𝑥

(3,4) =

3 18

𝑥𝑦 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) (𝑎) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = {𝑥² + 𝑦² (𝑥, 𝑦) = (0,0) 0,

Pela definição de derivada parcial em relação a 𝑥:

𝑓(𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = lim 𝑥→ 𝑥0 𝜕𝑥 0 0 𝑥 − 𝑥0 𝑓(𝑥, 0) − 𝑓(0,0) 𝜕𝑓 (0,0) = lim 𝑥→ 𝑥0 𝑥−0 𝜕𝑥

0 0 2 𝜕𝑓 𝑥 (0,0) = lim = lim 3 = 0 𝑥→ 0 𝑥 𝑥→ 0 𝑥 𝜕𝑥

Lembrando que tende a 0, ainda não é zero. Por isso não é indeterminação

𝑓(𝑥0 , 𝑦 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim 𝑦→𝑦0 𝜕𝑦 𝑦 − 𝑦0 𝑓(0, 𝑦) − 𝑓(0, 0) 𝜕𝑓 (𝑥 , 𝑦 ) = lim 𝑦→0 𝜕𝑦 0 0 𝑦−0 𝜕𝑓 0 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim = 0 𝑦→0 𝑦³ 𝜕𝑦

(𝑖𝑖) lim

𝑥→ 𝑥0 𝑦→ 𝑦0

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) − [𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + (𝑥0 , 𝑦0 )[𝑥 − 𝑥0 ] + 𝜕𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )[𝑦 − 𝑦0 ]] 𝜕𝑥 √𝑥² + 𝑦²

lim

lim

𝑥→ 0 𝑦→ 0

𝑥→ 0 𝑦→ 0

𝑥𝑦 𝑥² + 𝑦²

√𝑥² + 𝑦² 𝑥𝑦

𝑥² + 𝑦² . √𝑥² + 𝑦²

lim

𝑥𝑦

3 𝑥→ 0 𝑦→ 0 (𝑥² + 𝑦²)2

lim

𝑥→ 0 𝑦→ 0

𝑥𝑦

√(𝑥² + 𝑦²)³

0 ≤ |𝑥| ≤ √(𝑥² + 𝑦²)³

0 ≤ 𝑥² ≤ (𝑥² + 𝑦²)³ 𝑥2 0 ≤ (𝑥² + 𝑦²)³ ≤ 1

Pelo teorema do limite do produto de uma função limitada por uma que tende a 0 é igual a zero. Como satisfaz (𝑖) e (𝑖𝑖) a função é diferenciavel em (0,0)....