Extremos Relativos y Absolutos (Clase) PDF

Preview

Summary

Download Extremos Relativos y Absolutos (Clase) PDF

Description

1

Extremos Relativos y Absolutos

Extremos y Valores Extremos Un punto extremo o simplemente extremo, es un punto ( a , b ) en el dominio de f ( x , y ) para el cual la imagen f ( a , b ) es valor extremo.

Los valores extremos pueden ser relativos o absolutos, máximos o mínimos. Un valor extremo es valor máximo relativo, si no hay otro valor mayor a él en su proximidad. De igual modo, un valor mínimo relativo es aquel para el cual no existe valor menor a él en un entorno. Considerando el conjunto de valores máximos relativos, el mayor de ellos es valor máximo absoluto. Análogamente, en el conjunto de valores mínimos relativos, el menor de ellos es valor mínimo absoluto. Si el valor máximo relativo o mínimo relativo es único, también es valor máximo o mínimo absoluto.

2

Extremos Relativos (Locales). Una función de dos variables solo puede asumir valores extremos relativos en los puntos interiores del dominio. Recordar que un punto interior es aquel para el cual existe una vecindad que lo contiene que está incluida en el dominio de la función. Definición: Sea f : D R2 R , definida en una región D que contiene al punto interior  

(a , b) .

Si f ( a , b )≥ f ( x , y ) para todo ( x , y ) en un disco abierto con centro en ( a , b ) contenido en D, entonces f ( a , b ) es valor máximo relativo de f. Si f ( a , b )≤ f ( x , y ) para todo ( x , y ) en un disco abierto con centro en ( a , b ) contenido en D, entonces f ( a , b ) es valor mínimo relativo de f.

Punto Crítico. Definición: En las funciones de variable real, se llama punto crítico a todo punto x que pertenece al dominio de f para el cual la derivada no existe o es igual a cero. Se llama punto crítico de f ( x , y ) a todo punto interior del dominio donde las primeras derivadas parciales se anulan simultáneamente o donde alguna de ellas no existe, es decir, Si

( f x (a , b )=0 f y ( a , b) =0 ) ⊻

( ∄ f x ( a , b ) ∄ f y ( a , b) ) ( a , b ) es punto crítico

Búsqueda de extremos relativos

 Para las funciones de variable real, con f ( x ) derivable, los extremos relativos se encuentran buscando los puntos críticos a del dominio para los cuales:  la imagen f ( a ) sobre la curva admite recta tangente horizontal, es decir, donde la pendiente de la recta es nula; donde f ' ( a) =0 . La ecuación de esta recta tangente horizontal es y=f ( a ) . Ejemplo: f ( x )= x 2

f ' ( x ) =2 x Como

' f ( x ) =0 cuando x=0 , entonces 0 es punto crítico.

3

 la imagen f (a ) sobre la curva no admite recta tangente, porque los límites laterales son distintos, entonces f ' ( a ) no existe. Ejemplo: f ( x )=|x |

Como la función valor absoluto es una función definida por partes, es decir:

{−x , x f (a , b ) y

( x 2 , y 2 ) D tal que f ( x 2 , y 2 )0 f ( a , b ) es valor mínimo relativo. H ( a , b )>0 f xx ( a , b) 0 . Para el inciso 1), la superficie se curva hacia arriba en todas direcciones y queda arriba del plano tangente horizontal. Para el inciso 2), la superficie se curva hacia abajo en todas direcciones y queda abajo del plano tangente horizontal. Si el hessiano es negativo en el punto direcciones y hacia abajo en otras.

( a , b) , la superficie se curva hacia arriba en algunas

Ejemplo 3. Determinar puntos y valores máximos y mínimos y puntos silla.

9

Sea

f ( x , y )=x 4 + y 4 −4 xy +1 a) Buscar los puntos críticos. 3

3

f x =4 x −4 y

f y =4 y −4 x

4 ( x3 − y )=0 3

x −y

y= x

4( y 3−x )=0 ¿0

3

y − x =0

( x 3 ) −x=0 3

→ sustitución →

3

9

x −x=0 8 x ( x −1 )=0

x ( x 4 −1 ) ( x 4 +1 ) =0 2 2 4 x ( x −1 ) ( x +1) ( x +1 )= 0

Hay 3 raíces reales

x 1=0, x 2=1, x 3=−1 , por lo cual los puntos críticos son

( 0, 0 ) ,

( 1,1 ) y (−1,−1 ) . b) Calcular las segundas derivadas parciales. f xx ( x, y )=12 x 2

f yy ( x , y )=12 y 2

f xy ( x , y )=−4

c) Calcular H ( x , y ) para cada uno de los puntos críticos. H (0,0 )=12 ∙0 2 ∙ 12 ∙ 02− (−4 2) =−16 0→ (1,1 ) es mínimo relativo . 2 2 2 H (1, 1 )=12 ∙ (−1 ) ∙ 12∙ (−1 ) −( −4 ) =128>0 → ( −1 , −1 )es mínimo relativo .

d) Obtener los valores de f en cada uno de los puntos anteriores. f (0, 0 ) =04 +04 −4 ∙ 0 ∙ 0+1=1

10

f (1, 1 ) =14 + 1 4 −4 ∙ 1 ∙ 1+ 1=−1 4 4 f (−1, −1 )= ( −1) + (−1 ) −4 ∙( −1) ∙ (−1 ) +1=−1

En conclusión: Existen dos puntos mínimos relativos relativo es

( 1,1)

−1 .

El punto silla tiene coordenadas ( 0, 0,1 ) .

El mapa de nivel es:

y (−1 ,−1) , cuyo valor mínimo

11

Las curvas de nivel cerca de

( 1,1)

y

(−1 ,−1 )

son de forma oval e indican que a medida que

se alejan de dichos puntos en cualquier dirección, los valores de f son crecientes. Las curvas de nivel cerca de ( 0, 0 )

se asemejan a hipérbolas y dejan ver que cuando se aleja

del origen, los valores de f decrecen en unas direcciones y crecen en otras.

Extremos Absolutos (Globales) Los valores extremos absolutos a diferencia de los relativos, son únicos, esto quiere decir que, si la función admite valores extremos absolutos, puede alcanzar a lo sumo un valor máximo y a lo sumo un valor mínimo. Por otro lado, como se dijo anteriormente un valor extremo relativo es además valor extremo absoluto si su punto extremo del dominio es punto interior. Y será exclusivamente valor extremo absoluto, pero no relativo si su punto extremo del dominio corresponde a un punto frontera. Para las funciones de una variable, el Teorema del Valor Extremo establece que, si f es continua en un intervalo cerrado [ a , b ] entonces, tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto. Así, f se evalúa en los puntos críticos y en los extremos a y b del intervalo. En las funciones de dos variables, el conjunto cerrado en R2 es un disco que contiene todos los puntos frontera (el disco es una región que puede tener forma circular, triangular, cuadrada o de cualquier otra figura geométrica). Recordar que ( a , b ) es punto frontera de D, si todo disco con centro ( a , b ) contiene puntos de D y también puntos que no están en D. Conjunto acotado en R2 es aquel que está contenido dentro de algún disco.

12

TEOREMA 3. Teorema del Valor Extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un dominio cerrado y acotado, entonces f alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto. (Sin demostración). Ejemplo La función f ( x , y ) =x 2+ y 2 , tiene un mínimo absoluto en f ( 0,0 )=0 . No tiene máximos.

Si se acota el dominio de f ( x , y )=x 2+ y 2 manera: 2 2 2 f : D R R , D= {( x , y ) : x + y...