Extremwertbestimmung mit Hesse-Matrix PDF

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Description

(Extremwertbestimmung 3

Die Funktion ( , ) Schritt 1:

2

2

8 soll auf Extrempunkte untersucht werden.

Bestimmung der 1. partiellen Ableitungen ( , )

Schritt 2:

Nebenbedingung)

3

2

2

( , )

2

Notwendiges Kriterium (Bestimmung der Nullstellen von

Bestimmung der Nullstellen von

:

( , )

0

⇒ ⇒

2

3

:

( , )

0

2)

0 2 3

0 oder

⇒

2

⇒

)

0

(3

⇒ Bestimmung der Nullstellen von

2

und

0 0 2 3

Es gibt somit zwei „stationäre“ Stellen: 0 | 0 und

| 0 . (Man nennt eine Stelle „stationär“, oder

auch „kritisch“, wenn dort die Steigung sowohl in -Richtung als auch in -Richtung gleich null ist.) Schritt 3:

Bestimmen der 2. partiellen Ableitungen ( , )

Schritt 4:

6

2

( , )

( , )

0

( , )

2

Hinreichendes Kriterium mit Hesse-Matrix

Zum Aufstellen der Hesse-Matrix muss nur noch bestimmt werden, da

= 0 und = –2.

Stationäre Stelle 0 | 0 : (0, 0)

det

Stationäre Stelle

2 |0 3

0  2

0|0|8

< 0 ist, handelt es sich bei dem Extremum um ein

.

: 2 ,0 3

det

 2   0

⇒

⇒ Extremum im Punkt 0 | 0 | (0, 0)

4 0

Da = –2 und somit

2

4

0

2

2  0

⇒

⇒ Sattel im Punkt

2 3

0

0   2 2 ,0 3

0 | 0 | 212 27...