F. Cuadráticas 4 PDF

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Cuaderno de ejercicios ...

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Funciones Cuadráticas

Tema: Forma estándar de una función cuadrática Ficha 6 La función cuadrática: y = a(x - h)2 + k, está escrita en la forma estándar, de ahí sabemos que su vértice está en el punto (h, k) y su eje de simetría en la recta x = h. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, la parábola abre hacia abajo. Ej1. La función y = x2 + 6x + 4, puede expresarse en la forma estándar, completando el trinomio cuadrado perfecto. y = x2 + 6x + 4 = (x2 + 6x) + 4 = (x2 + 6x + 9 - 9) + 4

9 es la mitad de 6 al cuadrado

= (x2 + 6x + 9) - 9 + 4

agrupa trinomio cuadrado perfecto

2

= (x +3) - 5

sustituye y simplifica

Vértice en el punto (-3,-5) Eje de simetría en la recta x = -3 El coeficiente de x2 es > 0, por lo que la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo igual a -5. Ej2. La función y = -x2 + 8x + 6, también puede expresarse en la forma estándar, completando el trinomio cuadrado perfecto. y = -x2 + 8x + 6 = -(x2 - 8x) + 6

factoriza -1

= -(x2 - 8x + 16 - 16) + 6

16 es la mitad de 8 al cuadrado

= -(x2 - 8x + 16) + 16 + 6

agrupa trinomio cuadrado perfecto

= -(x - 4)2 + 22

sustituye y simplifica

Vértice en el punto (4,22) Eje de simetría en la recta x = 4 El coeficiente de x2 es < 0, por lo que la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo igual a 22.

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Funciones Cuadráticas

Ej3. Escribir en la forma estándar la función: y = -2x2 + 10x - 7

y = -2x2 + 10x - 7 = -2(x2 - 5x) - 7 25 25 - )-7 4 4 25 50 = -2(x2 - 5x + -7 )+ 4 4 5 50 28 = -2(x - )2 + 4 2 4 5 2 11 = -2(x - ) + 2 2

= -2(x2 - 5x +

la mitad de 5 al cuadrado es

25 4

5 11 , ) 2 2 5 Eje de simetría en la recta x = 2 El coeficiente de x2 es < 0, por lo que la parábola abre hacia abajo y 11 tiene un máximo igual a . 2

El vértice está en el punto (

Ej4. Escribir en la forma estándar la función: y = 3x2 - 24x - 50

y = 3x2 - 24x - 50 = 3(x2 - 8x) -50 = 3(x2 - 8x +16 - 16) - 50 = 3(x - 4)2 - 48 -50 = 3(x - 4)2 - 98 La gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice en (4, -98), eje de simetría en la recta x = 4. El coeficiente de x2 es > 0, por lo que la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo igual a -98.

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Funciones Cuadráticas

Escribe en la forma estándar las siguientes funciones, completando el trinomio cuadrado perfecto. y1 = -x2 + 4x + 6

y2 = -x2 - 2x + 3

y3= -x2 + x - 2

y4= -2x2 + 6x + 1

y5 = 3x2 + 6x - 2

y6= x2 - 4x -5

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Funciones Cuadráticas

y7 = x2 + 3x + 2

y8 = 2x2 + 4x + 6

y9 = -2x2 - 2x + 3

y10 = -3x2 - 9x - 4

Haz un análisis de cada función en términos de explicitar su vértice y eje de simetría, indica asimismo, si la parábola tiene un máximo o mínimo según abra hacia arriba o hacia abajo y su valor correspondiente.

y1

y2

y3

y4

y5

y6

Vértice en :

Eje de simetría

máx o mín

25

y7

y8

y9

y10

Funciones Cuadráticas

Tema: Problemas de máximos y mínimos Ficha 7 Problemas de áreas. Se desea cercar un terreno rectangular con 60 m. de alambrado de manera que el área sea máxima. Hallar las dimensiones.

y x Perímetro: 2x + 2y =60

(despejando y =

60 − 2 x ) 2

Área = x · y Área = x ·

60 − 2 x = x (30 - x) 2

Y = 30x - x2 función cuadrática, que se puede escribir en forma estándar para determinar el valor de x en el cual se da el punto máximo.

Y = -x2 + 30x = -(x2 - 30x) = -(x2 -30x + 225 -225) = -(x - 15)2 + 225 La parábola abre hacia abajo (coeficiente de x2 negativo), tiene su vértice en el punto (15,225) y en x = 15 su punto máximo. Perímetro = 2x + 2y = 2 ·15 + 2 · 15 = 30 + 30 y = 15 x = 15

= 60 m Área = x · y = 15 · 15 = 225 m2

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Funciones Cuadráticas

Problemas de números ¿Cuál es el producto máximo de dos números cuya suma sea 20? Un procedimiento aritmético sería tomar en cuenta las distintas posibilidades, 1er. núm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2º

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

suma

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

producto

19

36

51

64

75

84

91

96

99

100

núm

y concluir que el producto es máximo cuando los dos números son iguales a 10. Si nos hubiéramos propuesto hacer lo mismo para una suma igual 100,1500, 5300 sería muy engorroso, por lo que en necesario recurrir a otro tipo de herramientas. Sea x el primer número y 20 - x el segundo, construimos una función que tome en cuenta las condiciones del problema. Y = x(20 - x)

si x = 1, 20 - x = 19 etc.

Y = 20x- x2 Y = -(x2 -20x +100 - 100) Y = -(x - 10)2 + 100 La parábola abre hacia abajo, tiene su vértice en el punto (10,100) y en x =10 su punto máximo. El primer número debe ser x = 10 y el segundo 20 - x = 10 su producto es el máximo 10 * 10 = 100

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Funciones Cuadráticas

Problemas de repaso 1. Un granjero desea cercar un área rectangular con un perímetro fijo de 84 m. ¿Qué dimensiones producirían el área máxima? ¿Cuál es el área máxima que puede cercar? 3. ¿Cuál es son las dimensiones del corral rectangular más grande que se puede cercar con 200 metros de valla? 4. ¿Cuál es el producto máximo de dos números cuya suma es 30? ¿Qué números dan lugar a ese producto?. 5. ¿Cuál es el producto mínimo de dos números cuya diferencia es 6? ¿Cuáles son estos números? 6. La suma de la base y la altura de un triángulo es igual a 38 cm. Encuentra el área máxima para estos datos y sus dimensiones. 7. El perímetro del rectángulo RSTV es de 44 m. Encuentra el valor mínimo de la diagonal RT.

8. Un granjero desea construir una cerca rectangular cerca de un río , para lo que dispone de 160 m de valla. El lado que mira hacia el río no será cercado. ¿Cuál es el área de la región más grande que se puede cercar?

9. Cuando el propietario de un teatro cobra $20 por cada boleto de admisión, la asistencia promedio es de 100 personas. Por cada $1 de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en una persona.. ¿En cuanto deberá vender cada entrada para obtener una máxima ganancia.

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Funciones Cuadráticas

10.Una empresa vende al menudeo calzado para carreras a un precio de $400 el par, si se piden menos de 50 pares. Si un comerciante pide 50 o más, hasta 600, el precio por par se reduce a una taza de $.40 multiplicados por el número de pedido. ¿Qué tamaño de pedido dará un ingreso máximo para la empresa? 11.Una agencia de viajes ofrece un crucero por varias islas del Caribe durante tres días y dos noches. Para un grupo de 12 personas el costo por persona es de $8000. Por cada persona extra en el grupo de 12 personas, el costo se reduce en $200. El tamaño máximo de cada grupo es de 25 personas. ¿Qué tamaño de grupo da los máximos ingresos a la agencia de viajes

Ejercicios adicionales 1. Encuentra el vértice y el eje de simetría de la función y = ax2 + bx +c. 2. Aplica la técnica de completar el cuadrado a y = ax2 + bx +c. Encuentra una fórmula para (h, k) en términos de a, b, y c 3. Escribe la ecuación de la parábola que es una traslación de y = 2x2 y tiene un valor máximo o mínimo en el punto que se indica. A) Máximo (0,4)

B) Mínimo (2,0)

C) Mínimo (6,0)

D) Máximo (0,3)

E) Máximo (3,8)

F) Mínimo (-2,3)

4. Escribe la ecuación de la parábola. A) La parábola tiene un valor máximo en (2, 5) y pasa por el punto (1,2). B) La parábola tiene un valor mínimo en (-2,-6) y pasa por el punto (1,0).

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Funciones Cuadráticas

BIBLIOGRAFÍA

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Material de apoyo para Matemáticas II, Taller de docencia, C. C. H. Oriente 2003

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