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Factorización por Factor Común explicacion del tema...

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Factorización por Factor Común Este método se aplica cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común, que puede ser numérica o literal.

Factor Común Monomio Se aplica cuando todos los términos del polinomio tienen como factor común un monomio. Procedimiento para factorizar 1) Se extrae el factor común (letra o letras con el menor exponente) 2) El segundo factor se obtiene al dividir cada término del polinomio entre el factor común. Ejemplos 1. Factorizar el siguiente polinomio

Q=ax+bxQ=ax+bx Solución Se extrae el factor común «xx»

Q=ax+bxQ=ax+bx Q=x(a+b)Q=x(a+b) Respuesta. 2. Factorizar

M=x2a+x2bM=x2a+x2b Solución Se extrae el factor común «x2x2»

M=x2a+x2bM=x2a+x2b M=x2(a+b)M=x2(a+b) Respuesta. 3. Factorizar

N=ab+bN=ab+b Solución Se extrae factor común «b»

N=ab+bN=ab+b N=ab+b.1N=ab+b.1 N=b(a+1)N=b(a+1) Respuesta. 4. Factorizar:

P=5ax+5ay+5azP=5ax+5ay+5az Solución Se extrae el factor común «5a»

P=5ax+5ay+5azP=5ax+5ay+5az P=5a(x+y+z)P=5a(x+y+z) Respuesta. 5. Factorizar

Q=x2+2xQ=x2+2x Solución Se extrae el factor común «x»

Q=x2+2xQ=x2+2x Q=x.x+2xQ=x.x+2x Q=x(x+2)Q=x(x+2) 6. Factorizar:

R=a3+a2+aR=a3+a2+a Solución El factor común es «aa»

R=a3+a2+aR=a3+a2+a R=a.a2+a.a+a.1R=a.a2+a.a+a.1 R=a(a2+a+1)R=a(a2+a+1) Respuesta. 7. Factorizar

N=a2x+a2yN=a2x+a2y Solución Se extrae el factor común «a2a2»

N=a2x+a2yN=a2x+a2y N=a2(x+y)N=a2(x+y) Respuesta. 8. Factorizar :

M=2xabc+3yabc+5zabcM=2xabc+3yabc+5zabc

Solución factor común «abc»

M=2xabc+3yabc+5zabcM=2xabc+3yabc+5zabc M=abc(2x+3y+5z)M=abc(2x+3y+5z) Respuesta. 9. Factorizar:

P=m2n+mn2P=m2n+mn2 Solución Recuerda m2=m.mm2=m.m y n2=n.nn2=n.n

P=m.m.n+m.n.nP=m.m.n+m.n.n P=mmn+mnnP=mmn+mnn Se extrae el factor común «mnmn» P=mn(m+n)P=mn(m+n) Respuesta. 10. Factorizar :

Q=a2b7+a5b4Q=a2b7+a5b4 Solución El factor común son las letras comunes con el menor exponente a2b4a2b4

Q=a2b7+a5b4Q=a2b7+a5b4 Q=a2b4.b3+a2.a3.b4Q=a2b4.b3+a2.a3.b4 Se extrae el factor común a2b4a2b4 Q=a2b4(b3+a3)Q=a2b4(b3+a3) Respuesta. 11. Factorizar R=10x+15yR=10x+15y Solución Se extrae el factor común «5»

R=105×2x+155×3yR=10⏟5×2x+15⏟5×3y R=5.2x+5.3yR=5.2x+5.3y factor común «5»

R=5(2x+3y)R=5(2x+3y) 12. Factorizar N=3a+12bN=3a+12b Solución

N=3a+123×4bN=3a+12⏟3×4b

N=3a+3.4bN=3a+3.4b Factor común «3»

N=3(a+4b)N=3(a+4b)

Respuesta.

13. Factorizar M=15a+20bM=15a+20b Solución Factor común «5»

M=155x3a+205x4bM=15⏟5x3a+20⏟5x4b M=5(3a+4b)M=5(3a+4b) Respuesta. 14. Factorizar Q=a2+4aQ=a2+4a Solución

Q=a2a.a+4aQ=a2⏟a.a+4a Q=a.a+4aQ=a.a+4a Factor común «a»

Q=a(a+4)Q=a(a+4) Respuesta. 15. Factorizar R=a3+a2bR=a3+a2b Solución

R=a3a2.a+a2bR=a3⏟a2.a+a2b R=a2.a+a2bR=a2.a+a2b Factor común «a2a2» R=a2(a+b)R=a2(a+b) Respuesta. 16. Factorizar P=abc3+ab3c+a3bcP=abc3+ab3c+a3bc Solución

P=abc3c.c2+ab3b.b2c+a3a.a2bcP=abc3⏟c.c 2+ab3⏟b.b2c+a3⏟a.a2bc Todos tienen a,b y c se extrae factor común «abc»

P=abcc2+abb2c+aa2bcP=abcc2+abb2c+aa2bc Se extrae factor común «abc»

P=abc(c2+b2+a2)P=abc(c2+b2+a2)

Factor Común Polinomio Cuando los términos de la expresión algebraica tienen como factor común un polinomio.

Procedimiento 1) Se extrae el factor común en este caso es un polinomio. 2) El segundo factor se obtiene al dividir cad término entre el factor común. Ejemplos 1. Factorizar R=(a+b)m2+(a+b)nR=(a+b)m2+(a+b)n Solución Se extrae el factor común polinomio «(a+b)(a+b)»

R=(a+b)m2+(a+b)nR=(a+b)m2+(a+b)n R=(a+b)(m2+n)R=(a+b)(m2+n) Respuesta. 2. Factorizar Q=(m2+n2)a+(m2+n2)bQ=(m2+n2)a+

(m2+n2)b Solución Se extrae el factor común polinomio «(m2+n2)(m2+n2)»

Q=(m2+n2)a+(m2+n2)bQ=(m2+n2)a+(m2+n2)b Q=(m2+n2)(a+b)Q=(m2+n2)(a+b) Respuesta. 3. Factorizar M=2a(m+1)−(m+1)M=2a(m+1)−(m+1) Solución El factor común es (m+1)

M=2a(m+1)−(m+1)M=2a(m+1)−(m+1) M=2a(m+1)−(m+1).1M=2a(m+1)−(m+1).1 M=(m+1)(2a−1)M=(m+1)(2a−1) Respuesta. 4. Factorizar N=(a+5)x+(a+5)y−+(a+5)zN=(a+5)x+

(a+5)y−+(a+5)z Solución Se extrae factor común polinomio»(a+5)(a+5)»

N=(a+5)x+(a+5)y+(a+5)zN=(a+5)x+(a+5)y+(a+5)z N=(a+5)(x+y+z)N=(a+5)(x+y+z) Respusta.

Factorización por Agrupación de Términos Se trata de agrupar términos para obtener un factor común.

Ejemplos 1. Factorizar:

M=ax+ay+bx+byM=ax+ay+bx+by Solución Agrupando convenientemente

M=(ax+ay)+(bx+by)M=(ax+ay)+(bx+by) Extrayendo factor común

M=a(x+y)+b(x+y)M=a(x+y)+b(x+y) Extrayendo factor común «(x+y)»

M=(x+y)(a+b)M=(x+y)(a+b) 2. Factorizar:

Q=a2x+a2y+b2x+b2yQ=a2x+a2y+b2x+b2y Solución Agrupando adecuadamente

Q=(a2x+a2y)+(b2x+b2y)Q=(a2x+a2y)+(b2x+b2y) Q=a2(x+y)+b2(x+y)Q=a2(x+y)+b2(x+y) Se extrae factor común polinomio (x+y)

Q=(x+y)(a2+b2)Q=(x+y)(a2+b2) 3. Factorizar

Q=a2+ab+ac+bcQ=a2+ab+ac+bc Solución Agrupando convenientemente

Q=(a2+ab)+(ac+bc)Q=(a2+ab)+(ac+bc) Q=(a.a+ab)+(ac+bc)Q=(a.a+ab)+(ac+bc) Q=a(a+b)+c(a+b)Q=a(a+b)+c(a+b) Factor común «(a+b)»

Q=(a+b)(a+c)Q=(a+b)(a+c)

Factorización por Identidades Este método consiste en aplicar de forma inversa los productos notables.

Factorización por Diferencia de Cuadrados Es una diferencia de dos cuadrados perfectos. Para que un término sea cuadrado perfecto su exponentes tiene que ser par. a2–b2=(a+b)(a−b)a2–b2=(a+b)(a−b)Procedimiento 1) Se extrae la raíz cuadrada de cada cuadrado perfecto. Es decir: √a2=aa2=a y √b2=bb2=b 2) El primer factor es la suma de raíces cuadradas y el segundo factor es la diferencia de raíces cuadradas.

(a+b)(a−b)(a+b)(a−b) Nota Para extraer la raíz cuadrada de las variables es solo dividir su exponente entre 2. ∗ √x6=x62=x3x6=x62=x3 ∗ √a6b8c14=a62b82c142=a6b8c14a6b8c14=a62b82c142=a

6b8c14 Ejemplos 1. Factorizar

m2−n2m2−n2 Solución

√m2=mm2=m y √n2=nn2=n m2−n2=(m)2−(n)2m2−n2=(m)2−(n)2 =(m+n)(m−n)=(m+n)(m−n) 2. Factorizar

a2−4a2−4 Solución

√a2=aa2=a y √4=24=2 a2−4=(a)2−(2)2a2−4=(a)2−(2)2 =(a+2)(a−2)=(a+2)(a−2) 3. Factorizar

a2−1a2−1 Solución

√a2=aa2=a y

√1=11=1

a2−1=(a)2−(1)2a2−1=(a)2−(1)2 =(a+1)(a−1)=(a+1)(a−1) 4. Factorizar

4x2−254x2−25 Solución

√4x2=2x4x2=2x y √25=525=5 4x2−25=(2x)2−(5)24x2−25=(2x)2−(5)2 =(2x+5)(2x−5)=(2x+5)(2x−5)

Factorización por Trinomio Cuadrado Perfecto Para factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto se va utilizar el siguiente producto notable de izquierda a derecha.

a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=( a−b)2a2−2ab+b2=(a−b)2 Procedimiento Observamos el trinomio cuadrado perfecto a2+2ab+b2a2+2ab+b2 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término. Es decir: √a2=aa2=a y √b2=bb2=b 2) Separamos estas raíces por el signo del segundo término + y formamos el binomio al cuadrado (a+b)2(a+b)2 Para el caso del trinomio cuadrado perfecto a2−2ab+b2a2−2ab+b2 el binomio al cuadrado que se forma es con signo negativo (a−b)2(a−b)2 Ejemplos Recuerda la forma del trinomio cuadrado perfecto

(a)2+2(a)(b)+(b)2(a)2+2(a)(b)+(b)2 (a)2−2(a)(b)+(b)2(a)2−2(a)(b)+(b)2 1. Factorizar

M=x2+2xy+y2M=x2+2xy+y2 Solución

√x2=xx2=x y √y2=yy2=y

El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(x)(y)=2xy2(x)(y)=2xy Por lo tanto verificamos que es un trinomio cuadrado perfecto

M=x2+2(x)(y)+y2M=x2+2(x)(y)+y2 M=(x+y)2M=(x+y)2 Factorizado. 2. Factorizar

N=a2+2a+1N=a2+2a+1 Solución

√a2=aa2=a y √1=11=1 El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(a)(1)=2a2(a)(1)=2a Por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto

N=a2+2(a)(1)+12N=a2+2(a)(1)+12 N=(a+1)2N=(a+1)2 Factorizado. 3. Factorizar

Q=x2+10x+25Q=x2+10x+25 Solución

√x2=xx2=x y √25=525=5 El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(x)(5)=10x2(x)(5)=10x Entonces es un trinomio cuadrado perfecto

Q=x2+2(x)(5)+52Q=x2+2(x)(5)+52 Q=(x+5)2Q=(x+5)2 Factorizado. 4. Factorizar

P=x2+6x+9P=x2+6x+9 Solución

√x2=xx2=x y √9=39=3 El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(x)(3)=6x2(x)(3)=6x P=x2+2(x)(3)+32P=x2+2(x)(3)+32 P=(x+3)2P=(x+3)2 Factorizado. 5. Factorizar

M=x4+2x2+1M=x4+2x2+1 Solución

√x4=x2x4=x2 y √1=11=1 El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(x2)(1)=2x22(x2)(1)=2x2 M=(x2)2+2(x2)(1)+12M=(x2)2+2(x2)(1)+12 M=(x2+1)2M=(x2+1)2 Factorizado. 6. Factorizar

N=a6−2a3+1N=a6−2a3+1 Solución

√a6=a3a6=a3 y √1=11=1 El – doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .

−2(a3)(1)=−2a3−2(a3)(1)=−2a3 N=(a3)2−2(a3)(1)+(1)2N=(a3)2−2(a3)(1)+(1)2 N=(a3−1)2N=(a3−1)2 Factorizado. 7. Factorizar

N=4a2−12a+9N=4a2−12a+9 Solución

√4a2=2a4a2=2a y √9=39=3 El −− doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .

−2(2a)(3)=−12a−2(2a)(3)=−12a N=(2a)2−2(2a)(3)+(3)2N=(2a)2−2(2a)(3)+(3)2 N=(2a−3)2N=(2a−3)2 Factorizado.

8. Factorizar

Q=m4−2m2n2+n4Q=m4−2m2n2+n4 Solución

√m4=m2m4=m2 y √n4=n2n4=n2 El −− doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término .

−2(m2)(n2)=−2m2n2−2(m2)(n2)=−2m2n2 Q=m4−2m2n2+n4Q=m4−2m2n2+n4 Q=(m2)2−2(m2)(n2)+(n2)2Q=(m2)2−2(m2)(n2)+(n2)2 Q=(m2−n2)2Q=(m2−n2)2 Factorizado. 9. Factorizar

R=(m+n)2+2(m+n)(x+y)+(x+y)2R=(m+n)2+2(m+n) (x+y)+(x+y)2 Solución

√(m+n)2=(m+n)(m+n)2=(m+n) y √(x+y)2=(x+y) (x+y)2=(x+y) El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2(m+n)(x+y)=2(m+n)(x+y)2(m+n)(x+y)=2(m+n) (x+y) R=(m+n)2+2(m+n)(x+y)+(x+y)2R=(m+n)2+2(m+n) (x+y)+(x+y)2 R=[(m+n)+(x+y)]2R=[(m+n)+(x+y)]2 R=(m+n+x+y)2R=(m+n+x+y)2 Factorizado. 10. Factorizar

R=x2+2+1x2R=x2+2+1x2 Solución

√x2=xx2=x y √1x2=1x1x2=1x El doble producto de estas raíces debe ser igual al segundo término.

2x.1x=22x.1x=2 R=x2+2+1x2R=x2+2+1x2 R=(x)2+2x.1x+(1x)2R=(x)2+2x.1x+(1x)2 R=(x+1x)2R=(x+1x)2

Factorización Por Suma o Diferencia de Cubos Factorizar una suma de cubos «a3+b3a3+b3» o una diferencia de cubos «a3−b3a3−b3» consiste en transformarlo en el producto de dos factores.

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b) (a2−ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b) (a2+ab+b2)Procedimiento Recuerda el exponente de un cubo es múltiplo de 3. 1) Se extrae la raíz cúbica del primer y segundo término. Es decir: 3√a3=aa33=a y 3√b3=bb33=b 2) Luego formamos los dos factores Para el caso de la suma de cubos el primer factor es una suma y el segundo factor el signo del térmno central es negativo

(a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a2−ab+b2) Para el caso de la diferencia de cubos el primer factor es una diferencia y el segundo factor el signo del término central pasa a positvio

(a−b)(a2+ab+b2)(a−b)(a2+ab+b2) Ejemplos Los primeros ejemplos paso a paso los siguientes más directos. 1. Factorizar

x3+8x3+8 Solución Extraemos raíz cúbica a cada término

√x3=xx33=x

3

√8=3√23=283=233=2

3

Ahora le damos la forma de una suma de cubos

x3+8=x3+23x3+8=x3+23 Aplicamos suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por x y 2.

x3+23=(x+2)[x2−(x)(2)+(2)2]x3+23=(x+2)[x2−(x) (2)+(2)2] x3+23=(x+2)(x2−2x+4)x3+23=(x+2)(x2−2x+4) Factorizado!! 2. Factorizar

m3+1m3+1 Solución Extraemos raíz cúbica a cada término

√m3=mm33=m 3√1=113=1

3

Ahora le damos la forma de una suma de cubos

m3+1=m3+13m3+1=m3+13 Aplicamos suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por m y 1.

m3+13=(m+1)[m2−(m)(1)+(1)2]m3+13=(m+1)[m2− (m)(1)+(1)2] m3+13=(m+1)(m2−m+1)m3+13=(m+1)(m2−m+1) Factorizado!! 3. Factorizar

m6+n6m6+n6 Solución Extraemos raíz cúbica a cada término

√m6=m63=m2m63=m63=m2 3√n6=n63=n2n63=n63=n2

3

Ahora le damos la forma de una suma de cubos

m6+n6=(m2)3+(n2)3m6+n6=(m2)3+(n2)3 Aplicamos suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por m2m2 y n2n2.

(m2)3+(n2)3=(m2+n2)[(m2)2−(m2)(n2)+(n2)2](m2)3+ (n2)3=(m2+n2)[(m2)2−(m2)(n2)+(n2)2] (m2)3+(n2)3=(m2+n2)(m4−m2n2+m4)(m2)3+ (n2)3=(m2+n2)(m4−m2n2+m4) Factorizado!! 4. Factorizar

x3+27x3+27 Solución Se extrae la raiz cúbica a cada término

√x3=xx33=x

3

√27=3√33=3273=333=3

3

Le damos forma de una suma de cubos

x3+27=x3+33x3+27=x3+33 Aplicamos suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por x y 3.

x3+33=(x+3)[x2−(x)(3)+(3)2]x3+33=(x+3)[x2−(x) (3)+(3)2] x3+33=(x+3)(x2−3x+9)x3+33=(x+3)(x2−3x+9) Factorizado!! 5. Factorizar

x21+27x21+27 Solución Se extrae la raiz cúbica a cada término

√x21=x213=x7x213=x213=x7 3√27=3√33=3273=333=3

3

Por lo tanto es una suma de cubos

x21+27=(x7)3+33x21+27=(x7)3+33 Aplicamos suma de cubos

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

En lugar de a y b reemplazamos por x7x7 y 3.

(x7)3+33=(x7+3)[(x7)2−(x7)(3)+(3)2](x7)3+33=(x7+3) [(x7)2−(x7)(3)+(3)2] (x7)3+33=(x7+3)(x14−3x7+9)(x7)3+33=(x7+3) (x14−3x7+9) 6. Factorizar

x3−1x3−1 Solución Extraemos raíz cúbica a cada término

√x3=xx33=x 3√1=113=1

3

Ahora le damos la forma de una diferencia de cubos

x3−1=x3−13x3−1=x3−13 Aplicamos diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por x y 1.

x3−13=(x−1)[x2+(x)(1)+(1)2]x3−13=(x−1)[x2+(x) (1)+(1)2] x3−1=(x−1)(x2+x+1)x3−1=(x−1)(x2+x+1) Factorizado!! 7. Factorizar

8x3−18x3−1 Solución Extraemos raíz cúbica a cada término

√8x3=3√23x3=2x8x33=23x33=2x 3√1=113=1

3

Ahora le damos la forma de una diferencia de cubos

x3−1=(2x)3−13x3−1=(2x)3−13 Aplicamos diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por 2x y 1.

(2x)3−13=(2x−1)[(2x)2+(2x)(1)+(1)2] (2x)3−13=(2x−1)[(2x)2+(2x)(1)+(1)2]

(2x)3−1=(2x−1)(4x2+2x+1)(2x)3−1=(2x−1) (4x2+2x+1) Factorizado!! 8. Factorizar

x3−64x3−64 Solución Recuerda 64=4.4.4=4364=4.4.4=43

x3−64=x3−43x3−64=x3−43 Entonces aplicamos diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por x y 4.

x3−43=(x−4)[x2+(x)(4)+(4)2]x3−43=(x−4)[x2+(x) (4)+(4)2] x3−43=(x−4)(x2+4x+16)x3−43=(x−4)(x2+4x+16) Factorizado!! 9. Factorizar

(x+y)3−1(x+y)3−1 Solución

(x+y)3−1=(x+y)3−13(x+y)3−1=(x+y)3−13 Entonces aplicamos diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por (x+y) y 1.

(x+y)3−13=[(x+y)−1][(x+y)2+(x+y)(1)+(1)2] (x+y)3−13=[(x+y)−1][(x+y)2+(x+y)(1)+(1)2] Operando

(x+y)3−1=(x+y−1)[x2+2x+y2+x+y+1] (x+y)3−1=(x+y−1)[x2+2x+y2+x+y+1] (x+y)3−1=(x+y−1)(x2+3x+y2+y+1) (x+y)3−1=(x+y−1)(x2+3x+y2+y+1) Factorizado!! 10. Factorizar

(m+n)3−(m−n)3(m+n)3−(m−n)3 Solución Tiene la forma de una diferencia de cubos

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) En lugar de a y b reemplazamos por (m+n) y ( m-n).

(m+n)3−(m−n)3=[(m+n)−(m−n)][(m+n)2+(m+n)

(m−n)+(m−n)2](m+n)3−(m−n)3=[(m+n)−(m−n)] [(m+n)2+(m+n)(m−n)+(m−n)2] (m+n)3−(m−n)3=(m+n−m+n) [m2+2mn+n2+m2−n2+m2−2mn+n2](m+n)3− (m−n)3=(m+n−m+n) [m2+2mn+n2+m2−n2+m2−2mn+n2] (m+n)3−(m−n)3=(2n)(3m2+4mn+n2)(m+n)3− (m−n)3=(2n)(3m2+4mn+n2) Factorizado!!

Factorización Por Aspa Simple Cuando no se pueda factorizar por trinomio cuadrado perfecto entonces se ulitiza aspa simple. Este método se aplica a cualquier polinomio de 2do grado de la forma.Ax2+Bx+CAx2+Bx+CExpliquemos directamente con ejemplos Recuerda la ley de los signos

(+)(+)=+(+)(+)=+ (−)(−)=+(−)(−)=+ (+)(−)=−(+)(−)=− (−)(+)=−(−)(+)=−

Ejemplos Lo más adecuado es empezar con ejemplos muy sencillos para luego aumentar la dificultad. 1. Factorizar

x2+5x+6x2+5x+6 Solución Este primer ejemplo se va explicar paso por paso ponga mucha atención. Descomponemos el término cuadrático y el término indepediente en 2 factores x2 = x . x

+6=+2×+3+6=+2×+3 Los factores se escriben debajo de cada término. x2

+ 5x

+6

x x

+2 +3

Ahora multiplicamos en aspa, como se observa en el diagrama (x)(+3)=+3x (x)(+2)=+2x x 2

+5x

+ 6 + 2 + 3

x x

+2 ⇒ x +3 ⇒ x + +5 x

Luego sumamos +2x+3x = 5x esta suma debe ser igual al término central 5x Por lo tanto los factores se toman horizontalmente como observa

x2+5x+6=(x+2)(x+3)x2+5x+6=(x+2)(x+3) Factorizado!! 2. Factorizar

x2+3x+2x2+3x+2 Solución Descomponemos en dos factores x2 = x . x

2=+2×+12=+2×+1 Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa. x 2

+3x

+ 2

+ 2 + 1

x x

+2 x ⇒ +1 ⇒ x + +3 x

Luego sumamos +1x+2x =+3x esta suma debe ser igual al término central +3x. Los factores se toman horizontalmente.

x2+3x+2=(x+2)(x+1)x2+3x+2=(x+2)(x+1) Factorizado!! 3. Factiruzar

x2+4x+3x2+4x+3 Solución Descomponemos en dos factores x2 = x . x

3=+3×+13=+3×+1 Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa. x 2

x x

+4x

+ 3 + 3 + 1

+3 x ⇒ +1 ⇒ x + +4 x

Luego sumamos +3x+1x =+4x esta suma debe ser igual al término central +4x.Los factores se toman horizontalmente.

x2+4x+3=(x+3)(x+1)x2+4x+3=(x+3)(x+1) Factorizado!! 4. Factorizar

x2−2x+1x2−2x+1 Solución Descomponemos en dos factores x2 = x . x 1=−1×−11=−1×−1 recuerda (-1)(-1)=1 Escribimos los factores debajo de cada término y multiplicamos en aspa. x 2

-2x

+ 1 -1

x x

-1

x ⇒ ⇒ x

+

2 x Luego sumamos -x-x =-2x esta suma debe ser igual al término central -2x. Los factores se toman horizontalmente.

x2−2x+1=(x−1)(x−1)x2−2x+1=(x−1)(x−1) x2−2x+1=(x−1)2x2−2x+1=(x−1)2 Factorizado!! 5. Factorizar

x2−9x+8x2−9x+8 Solución Descomponemos en dos factores x2 = x . x 8=−8×−18=−8×−1 recuerda (-8)(-1)=8 x 2

-9x

+ 8

x x

-8

8 x

-1

⇒ ⇒ -x

+

9 x Luego sumamos -8x-x =-9x esta suma debe ser igual al término central -9x. Los factores se toman horizontalmente.

x2−9x+8=(x−8)(x−1)x2−9x+8=(x−8)(x−1) Factorizado!! 6. Factorizar

m2−5m−14m2−5m−14 Solución Descomponemos en dos factores m2 = m . m −14=−7×2−14=−7×2 recuerda (-7)(2)=-14 m 2

-5m

1 4 -7

m m

+ 2

⇒ 7m +2 ⇒ m

+

-5m Luego sumamos -7m+2m =-5m esta suma debe ser igual al término central -5m. Los factores se toman horizontalmente.

m2−5m−14=(m−7)(m+2)m2−5m−14=(m−7)(m+2) Factorizado!!

7. Factorizar

2x2+5x+22x2+5x+2 Solución Descomponemos en dos factores el término cuadrático y el término i...