Ficha 4 - Matéria Análise Matemática II PDF

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Matéria Análise Matemática II...

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Instituto Superior de Contabilidade e Administração de Coimbra Informática de Gestão

Análise Matemática II Ano Letivo 2017/2018

Ficha 4

FUNÇÕES REAIS DE 2 VARIÁVEIS REAIS - Domínio. Limites. Continuidade

1. Considere as funções reais de duas variáveis reais tais que:

a (x, y) =

y x

b (x, y) =

;

x2 − y 2 x2 + y 2

p4 − x − y e (x, y) = ln (xy) p p g (x, y) = 1 + x + y + 1 − x − y 2

d (x, y) =

2 ;

2

2

√ 1 2 i (x, y) = + e 1−x xy − 1

(a) Calcule:

i. v.

;

c (x, y) =

;

√ 1 − ey2 −2x

h (x, y) =

⎧ ⎪ ⎨

1 2 (x + 1) + y 2 j (x, y) = ⎪ ⎩ −3

b (2, −2);

ii.

e (1, e);

vi.

;

f (x, y) = ln (x − y)

;

;

x2 + y 2 x2 − y 2

c (0, 1);

iii.

d (0, 0);

se

;

(x, y) = (−1, 0) 6

. se

(x, y) = (−1, 0)

i (1, 2);

iv.

j (0, 0);

vii.

;

g (0, 0);

viii.

j (−1, 0).

(b) Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: i.

(1, 1, 0) ∈ graf (b);

iv.

d (0, 2) = 0;

ii. v.

(−2, 2) ∈ De ;

iii.

(0, 2, 7) ∈ graf (d);

vi.

(−3, −1) ∈ graf (e);

(1, −1, 0.5) ∈ Di .

(c) Defina por compreensão o domínio de cada uma das funções e represente-o geometricamente. (d) Determine o conjunto dos zeros da função

e (x, y).

2. Calcule, caso existam, os seguintes limites: (a)

(d)

lim

(x,y)→(2,1)

lim

(b)

ln(xy)

;

(e)

x2 − y 2 (x,y)→(2,−2) x + y

(h)

x2 y − 2xy (x,y )→(2,0) x−2

(g)

arcsen (x/y) (x,y)→(0,1) 1 + xy

(j)

x2 y 2 (x,y)→(1,2) x + 2y 2

lim

(m)

;

3x2 sen (y ) (x,y)→(0,0) x2 + 2y 2 lim

2 −2x

;

(x,y)→(−1,−e)

lim

ey

(x + 3y 2 )

;

(k) ;

(n)

Análise Matemática II - 2017/2018 - 1º Ano/2º Sem

lim

(x,y )→(2,2)

;

(c)

lim

;

lim

x2 y 2 (x,y)→(0,0) x + 2y 2 lim

lim

2xy

(x,y )→(1,−1) (x

1

(f) ;

(i)

;

(l)

2 ;

(o)

+ y)

x cos(xy)

;

lim

x4 − 4y 4 (x,y)→(0,0) 2x2 + 4y 2

;

lim

(y − 1) cos(

lim

(x2 + 2y2 ) sen

lim

(x,y)→( π4 ,2)

(x,y)→(0,1)

(x,y)→(0,0)

x √ x+y (x,y)→(1,1) lim

.

x+1 ) y−1

;

³ ´ 1 xy

;

3. Para cada uma das seguintes funções estude a continuidade nos pontos indicados:

(a)

(b)

(c)

(d)

2 ⎪ ⎧ ⎨ x − xy se x 6= y x−y ; (1, 1); ⎪ f (x, y) = ⎩ 1 se x = y ⎧ x−1 ⎪ ⎨ se (x, y) 6= (0, 1) x2 + (y − 1)4 g (x, y) = ; (0, 1); ⎪ ⎩ 0 se (x, y) = (0, 1) ⎧ 5 ⎪ ⎨ xy se (x, y) 6= (0, 0) x4 + y 4 h (x, y) = ; (0, 0); ⎪ ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ⎧ ⎨ x2 y cos (x − 1) + 2e2−2x se (x, y) 6= (1, 2) i (x, y) = ⎩ ln (y − x) + 3xy − 2 se (x, y) = (1, 2)

4. Estude a continuidade das seguintes funções: (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

⎧ ⎨ y sen (x) f (x, y) = ⎩ 1 ⎧ 3 ⎨ e x2x+y2 g (x, y) = ⎩ 1

⎧ ⎨ x + y2 h (x, y) = ⎩ 2 i (x, y) =

¡

¢

¡

¢ ;

se

(x, y) 6= 0, π2

se

(x, y) = 0, π2

se

(x, y) 6= (0, 0)

se

(x, y) = (0, 0)

se

(x, y) 6= (2, 1)

se

(x, y) = (2, 1)

⎧ ³ ´ ⎨ x2 sen 1 y

se

;

;

(x, y) 6= (0, 0)

;

⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ⎧ 2 ⎪ ⎨ 3x y se (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 ; j (x, y) = ⎪ ⎩ 0 se (x, y) = (0, 0) ⎧ 4 ⎨ x y − 16y se (x, y) 6= (±2, 1) x2 − 4 k (x, y) = ⎩ 2 se (x, y) = (±2, 1)

Análise Matemática II - 2017/2018 - 1º Ano/2º Sem

2

.

;

(1, 2)....