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Kleine Laborarbeit Messtechnischer Teil - Versuch: Elektrische Filter 29.10.2013

Inhaltsverzeichnis 1.

Versuchsbeschreibung .................................................................................................................... 1

2.

Bestimmung der Systemgleichungen (Übertragungsfunktionen) aus dem Schaltplan .................. 2 2.1. Tiefpass .................................................................................................................................... 2 2.2. Hochpass ................................................................................................................................. 2

3.

Bode-Diagramme............................................................................................................................. 3 3.1. Tiefpass .................................................................................................................................... 3 3.2. Hochpass ................................................................................................................................. 4

4. Systemverhalten nach dem Bode-Diagramm .................................................................................. 5 5. Fehlerrechnung ............................................................................................................................... 5

5.1. Gruppe A.................................................................................................................................. 5 5.2.

Gruppe B ...................................................................................................... ............................ 6

6. Auswertung ..................................................................................................................................... 7 7. Approximation des Amplitudengangs ............................................................................................. 8 8. Anhang............................................................................................................................................. 9

1. Versuchsbeschreibung In diesem Filterversuch sollen die Eigenschaften und die Wirkungsweisen von Hoch- und Tiefpassfiltern (HP und TP) im Frequenzbereich analysiert werden. Dazu werden die jeweiligen Filter über einen Funktionsgenerator mit manuell einstellbarer Frequenz angesteuert und das Ein- und das Ausgangssignal in Form von Ein- und Ausgangspannung auf einem Zweikanaloszilloskop abgebildet. Aus vorliegenden Widerständen und Kondensatoren werden auf einer Schaltplatine der HP und TP zusammengesteckt, wobei die Kapazität des Kondensators notiert und der Widerstand gemessen wird, um daraus später die Grenzfrequenz rechnerisch zu ermitteln. Auf dem Zweikanaloszilloskop können sowohl die Ein- als auch die Ausgangsspannung sowie die vorzeichenbehaftete Zeitdifferenz dieser zwei Signale bestimmt werden, aus denen sich wiederum die Verstärkung in dB und die Phasenverschiebung errechnen lassen. Die Fre-quenz des Generators wird dabei schrittweise im Bereich von wenigen Hertz bis zu mehreren Kilohertz verändert, wobei die zugehörigen Spannungs- und Zeitverschiebungswerte in einer Messwerttabelle notiert werden. Anschließend lassen sich die Messwerte und Asymptoten in einem Bodediagramm darstellen, in welchem sowohl der Amplitudengang als auch der Phasengang enthalten sind. Daraufhin wird aus dem Bodediagramm zeichnerisch die Grenzfrequenz des jeweiligen Filters ermittelt und analysiert, welches Systemverhalten vorliegt. Abschließend werden die Messergebnisse mit den errechneten Ergebnissen verglichen.

1

2. Bestimmung der Systemgleichungen (Übertragungsfunktionen) aus dem Schaltplan

2.1.

Tiefpass

G( jw)  | G |

U a ( j) 1/ jC  U e ( j) R 1/ jC

1  1  jRC

1 ,  arctan(RC) 1 ²R²C²

Die 3 dB-Grenzfrequenz ist die Frequenz, bei der die Spannungs- bzw. Stromverstärkung auf 1

-fachen Wert der maximalen Verstärkung abgesunken ist. Die an einen rein ohm-

den 2

schen Verbraucherwiderstand abgegebene Leistung ist dabei genau die Hälfte der Maximalleistung. Die Spannungsverstärkung, welche in dB ausgedrückt wird, beträgt bei dieser Grenzfrequenz -3 dB (exakt: 20  log

10

(

1 )  3,0103dB ). Zur Bestimmung der 3 dB2

Grenzfrequenz 20  log(| G( j |) wird der Betrag der Systemgleichung | G |

1 1 ²R²C²

2.2.



1 gesetzt und man erhält mit  2f : f 1 1    2 2 g 2RC g

Hochpass

G( jw) 

U a ( j) R  U e ( j) R 1/ jC

1  11/ jRC

1 1 | G |  1 1/ ²R²C² ,  arctan( RC ) 2

Anhand der Systemgleichungen können die theoretischen Amplituden- und Phasengänge der einzelnen Filter für die jeweilig verwendeten Bauteile (Kondensatoren, Widerstände) ermittelt

werden:

3. Bode-Diagramme

3.1.

Tiefpass

Tiefpass Amplitude |G(jω)| *dB+

0 -5 -10 -15

Messreihe A

-20

Messreihe B

-25

theoretischer Verlauf A theoretischer Verlauf B

-30 -35 -40 -45

Phase ϕ [°]

0 -10 -20 -30

Messreihe A

-40

Messreihe B

-50 theoretischer Verlauf A theoretischer Verlauf B

-60 -70 -80 -90 0,1

1

10

100

1000

10000

100000 1000000

Frequenz f [Hz]

3

3.2.

Hochpass

Hochpass Amplitude |G(jω)| *dB+

0 -5 -10 -15 Messreihe A

-20

Messreihe B

-25

theoretischer Verlauf A theoretischer Verlauf B

-30 -35 -40 -45 90

Phase ϕ [°]

80 70 60 Messreihe A

50 40

Messreihe B

30

theoretischer Verlauf A theoretischer Verlauf B

20 10 0 0,1

1

10

100

1000

10000

100000 1000000

Frequenz f [Hz]

4

4. Systemverhalten nach dem Bode-Diagramm

Anhand des Bode-Diagramms des Tiefpassfilters ist zu erkennen, dass es sich bei dem System um ein PT1-System handelt, da im Amplitudengang die Steigung der Asymptote für hohe Frequenzen um 20 dB/Dekade und die Phase um 90° fällt. Man spricht hierbei auch von ei-nem Verzögerungsglied erster Ordnung. Beim Hochpassfilter handelt es sich um ein DT1-System, weil im Amplitudengang die Steigung der Asymptote für niedrige Frequenzen um 20 dB/Dekade steigt sowie die Phase um 90° fällt.

5. Fehlerrechnung Die Bauteilkennwerte des Kondensators und des Widerstandes wurden bei der jeweiligen Versuchsanordnung ermittelt, um daraus die Grenzfrequenz bestimmen zu können. Die Grenzfrequenz lässt sich über f g 

1 berechnen. Betrachtet man eine Fehlertoleranz von 2RC

±20% beim Kondensator und ±1% beim Widerstand, so ergeben sich folgende Minimal- und Maximalwerte für Kapazität, Widerstand und Grenzfrequenz:

5.1.

Gruppe A

Tiefpass: Bauteilkennwerte: C  2,47F und R  67,7  . fg 

1 1 1   951,78 2 RC 267,7 2,4 F s 5

Cmin  1.98F , Rmin  67.02 , Cmax  2.96F , Rmax  68.38  fg

min



1 2R C



1 1  446,66 289,983,96F s

1 2R C



1 1  818,88 2 73,62 2,64F s

max

fg

max



max

min

5.2.

min

Gruppe B

Tiefpass: Bauteilkennwerte: C  2,2F ±20%, R  82,1 ±10% 1 1 1  881,16  2RC 282,1 2,2F s

fg 

Cmin 1,76F , Rmin  73,89 , Cmax  2,64 F , Rmax  90,31 fg

min



1 2R C max

fg



max

1 2R C min



1 1  667,54 290,31 2,64F s



1 1 1223,83 s 2 73,891,76F

max

min

Hochpass: Bauteilkennwerte: C  3,3F ±20%, R  99,7 ±10% fg 

1 1 1  483,74  2 RC 2  99,7 3,3F s

Cmin  2,64 F , Rmin  89,73 , Cmax  3,96 F , Rmax  109,67

fg

min

1  2R C max

fg

max



max

1



2R C min

1 1  2 109,673,96F  366,47 s

min

1

1  671,86

2 89,73  2,64 F

s 6

6. Auswertung

Die Messung beim Tiefpassfilter von Gruppe A bei der Frequenz f  584,1Hz (5,49Hz unter der theoretischen Grenzfrequenz) ergab, dass die AusgangsspannungU a (10,5V) bereits um mehr als das

1 -fache der Eingangsspannung U e (15V) abgefallen ist: 2

U a  10,5V  0,7  1  0,707 . Die Grenzfrequenz weicht hier nur leicht von der berechne U e 15V 2 ten ab. Bei der Messung von Gruppe B ergab eine Messung bei der berechneten Grenzfrequenz  9,88V  f  881,16Hz : U a   0,672  Ue 14,7V 

1 2

 0,707 . Also war auch hier bereits die tatsächliche

Grenzfrequenz überschritten. Auch diese Abweichung ist als recht klein einzustufen. Für das Hochpassfilter von Gruppe A und B liegen die Grenzfrequenzen unter den theoretisch berechneten. Die Abweichung ist jedoch größer als die der Tiefpassfilter.

Diese Unstimmigkeiten sind vor allem durch die vom Digitalmessgerät gerundet ausgegebe-nen Messwerte und die Toleranzen der verwendeten Bauteile zurückzuführen. Letztere zeigen beispielsweise durch Alterung und Temperaturabhängigkeit verschiedene Kennwerte auf.

In der Messwerttabelle beim Tiefpassfilter von Gruppe A fällt auf, dass der letzte errechnete Wert für die Phase bei einer Frequenz von 50 kHz erheblich vom theoretischen Verlauf und den anderen Messwerten abweicht. Dies ist deutlich im Phasendiagramm zu erkennen. Es wäre möglich, dass sich das Systemverhalten bei höheren Frequenzen erheblich geändert hat und somit auch die hochfrequenten Signale durchgelassen worden sind. Viel wahrscheinlicher ist allerdings, dass sich dieser Wert aufgrund mehrerer Messungenauigkeiten eingeschlichen hat. Des Weiteren fällt auf, dass die Messungen beider Gruppen beim Hochpass deutlich näher am erwarteten Verlauf liegen.

7

7. Approximation des Amplitudengangs

Nimmt man sich für den Tiefpass die letzten beiden Messwertpaare und für den Hochpass die ersten beiden, so kann aus diesen eine Geradengleichung ermittelt werden, welche in guter Näherung den Amplitudengang in diesem hochfrequenten, bzw. niederfrequenten Bereich approximiert. Denn für den Tiefpass nähert sich bei hohen Frequenzen und beim Hochpass bei tiefen Frequenzen der Amplitudengang asymptotisch einer Geraden an. Diese Geradengleichung kann folgendermaßen bestimmt werden, wenn die ersten bzw. letz-ten zwei Wertepaare ( f n , G( jwn ) ) und ( f n1 , G( jwn1 ) ) benannt werden: G( jw) dB  G( jw n1) log( f )  log( f n1 ) G( jw n1) G( jw) dB 

dB



G( jw n1 )

 G( jw n )dB , also log( fn1 )  log( f n ) dB

G( jw n1) dB  G( jw n ) dB  G( jw n ) dB G( jw n1 ) dB )  log( f log( f )  log( f n1 )  log( fn 1 ) log( f n 1 )  log( f n ) n dB

Zur Ermittlung der 3 dB-Grenzfrequenz setzt man G( jw) dB 3dB 

G( jwn1 ) dB  G( jw n ) dB

log( f n1 )  log( f n ) formt nach log( f ) um und ermittelt f .

log( f ) 

G( jw n1 )

dB

 G( jw n )

log( f n1 )  log( f n )

dB

log(

Für den Tiefpassfilter der Gruppe A gilt mit ( f n  5841Hz, G( jwn ) dB 18,0757dB)

f n 1 )  G( jwn1 )

dB

und

( f n1 ,  50000Hz, G( jwn 1 ) dB  32,784dB) : G( jw) dB 

 32,784dB  ( 18,0757dB)  32,784dB  ( 18,0757dB) log( f )  log( 50000)  (32,784dB) log( 50000)  log( 5841) log( 50000)  log( 5841)

 3dB 15,77dB  log( f )  41,33dB .

Es ergibt sich also eine Asymptotensteigung von 15,77 Dek eine aus den Messwerten ermittelte Grenzfrequenz von

8

dB

und nach weiterer Umformung

f  647,07Hz .

Wenn man die Steigung der Asymptoten aus den Bode-Diagrammen mit der theoretisch erwarteten Steigung vergleicht, fällt ebenso auf, dass diese voneinander abweichen. Beim Tiefpass von Gruppe A beträgt die Steigung etwa 15,77

Erwartet wurde hingegen eine Steigung von  20

dB dB und bei Gruppe B 14,48 . Dek Dek

dB . Beim Hochpass betragen die SteigunDek

gen 19,45 dB für Gruppe A und 16,81 dB für Gruppe B. Hier wurde eine Steigung von Dek Dek  20

dB erwartet. Die aus den Messwerten ermittelten Grenzfrequenzen betragen beim Tief Dek

pass für Gruppe A f g  647,07Hz und bei Gruppe B f g 1002,23Hz . Beim Hochpass wurde

für Gruppe A eine Grenzfrequenz von fg  422,13Hz und für Gruppe B von fg  437,31Hz ermittelt. Die zugehörigen Phasen können mit Hilfe der aus den Amplitudengängen ermittelten Grenz-frequenzen aus dem Phasendiagramm abgelesen werden. Für Gruppe A beträgt die Phase beim Tiefpass in etwa -35° und für Gruppe B ungefähr -34°. Beim Hochpass ergeben sich Phasen von ca. +44° für Gruppe A und +36° für Gruppe B.

8. Anhang



Messwertetabellen 

9...