FÍSICA II PROBLEMAS RESUELTOS Ley de Coulomb Ley de Coulomb – – Campo Eléctrico PDF

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Universidad Tecnológica Nacional FRSF FÍ SI CA I I Dpto. Materias Básicas - UDB FÍ SI CA PROBLEMAS RESUELTOS L e y d e C o u l o mb – C a mpo E l éc t r ic o L e y d e G a u s s - P o t en c ia l El éc t r ic o Autores: Mg I ng: Carlos Ciliberti - I ng. Carlos J. Suárez - I ng. Susana N. Roldán pági...

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FÍSICA II PROBLEMAS RESUELTOS Ley de Coulomb Ley de Coulomb – – Campo Eléctrico Valeria Lira

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FÍSICA II PROBLEMAS RESUELT OS Andres Quimen 000052 EJERCICIOS RESUELT OS ELECT RICIDAD POT ENCIAL ELECT RICO (1) Anaycar Torres Universidad Tecnológica Nacional FRSF FÍSICA II Mat erias Básicas -UDB FÍSICA PROBLEMAS RESUELT … Luis Tapia

Universidad Tecnológica Nacional FRSF

FÍ SI CA I I Dpto. Materias Básicas - UDB FÍ SI CA

PROBLEMAS RESUELTOS L e y d e C o u l o mb – C a mpo E l éc t r ic o L e y d e G a u s s - P o t en c ia l El éc t r ic o

Autores: Mg I ng: Carlos Ciliberti - I ng. Carlos J. Suárez - I ng. Susana N. Roldán

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CAMPO ELÉCTRI CO

LEY DE COULOMB

1

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ELECTROSTÁTICA Ley de Coulomb – Campo Eléctrico Problemas Resueltos Problema Nº 1. Una persona al caminar sobre una alfombra (en un día seco) adquiere una carga negativa por fricción de 64 µC, al llegar a la puerta de salida siente una descarga. Podría decir ¿Cuántos electrones pasaron de la alfombra a la persona y de la persona a la puerta? e (carga del electrón) = 1,6 .10-19 C N (Nº de electrones) =

64 .10 − 6 C 1,6.10 −19 C

= 4 .10 14

Problema Nº 2. Dos esferas metálicas montadas sobre soportes aislantes están en contacto. ¿Cómo podrían cargarse eléctricamente sin tocarlas? ¿De que signo será la carga que tendrán? Dispongo de una varilla de plástico que he frotado y se encuentra cargada. El primer paso es colocar las esferas de modo tal que estén en contacto, tal como se ve en la figura. El

segundo

paso

será

acercar la varilla cargada a las esferas y por inducción se separarán las cargas.

Seguidamente

manteniendo

la

varilla

quieta

separamos las esferas y posteriormente alejamos la varilla y las cargas se distribuirán uniformemente en cada esfera.

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Problema Nº 3. Una carga punto q1 = +3.10-6 C se coloca a 12 cm de una segunda carga punto q2 = -1,5.10 -6 C. Calcular la magnitud dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada carga. Para calcular la magnitud utilizaremos la ley de Coulomb.

F =K

q1 q2 r2

= 9.10 9

N m 2 3 .10 −6 C 1,5.10 −6 C C2

(0 ,12 ) 2 m 2

= 2 ,8 N

Como los signos de las cargas son distintos la fuerza será de atracción y la dirección será la recta que une ambas cargas.

F

F

Problema Nº 4. Dos esferas de masa m = 10 g cuelgan de hilos de seda de longitud L = 120 cm., poseen cargas idénticas q y por repulsión están separadas x = 5 cm., tal como se muestra en

L

la figura. Diga cuanto vale q. a

qq Fe = K 2 r

Fg = m g 2

x h = L 2 −   = 1,19 m 2 K = 9.10 9 tg φ =

N C2 m2

Fe Fg

Fe

x/2 tg φ = = 0 ,021 h g = 9,8 1

m s2

Fg

2

q=

tg φ m g r = 2,4 .10 −8 C K

Problema Nº 5. Una carga se dividirá en dos partes. ¿Cuál será la relación entre ellas, si separadas a cierta distancia dada, se producirá una máxima repulsión coulombiana?

F=

q1 q 2 r2

dF K q K 2 q1 = − =0 dq1 r 2 r2

q1 + q 2 = q

q 2 = q − q1 q = 2 q1

⇒

q1 =

q ⇒ 2

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F =K q1 = q 2 =

q 2

(q − q1 ) q 1 r2

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Problema Nº 6.

F

Tres carga puntuales se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 10 cm. Calcular la

F2

fuerza resultante sobre la partícula 3.

q3

q1 = 2.10-6 C ; q2 = 2.10-6 C ; q3 = 4.10-6 C

F =K

q1 q 3 a

2

q 2 q3

=K

a

2

F1

= 7 .20 N

q1

a

q2

F R = F 2 cos θ = 12 .5 N

Problema Nº 7. Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positiva. Cuando están separadas 30 cm la fuerza de repulsión es de F = 0,15 N. diga: a) ¿cuál es la carga de cada esfera? y b) ¿cuál sería la carga de cada una si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?

a)

b)

F =K

q2 r2

q1 = 3 q 2

q= F =K

q1 q 2 r

2

=K

F r2 = 1,22 .10 − 6 C K

3 q 22 r

2

F r2 q2 = = 7,0 .10 −7 C 3K

q1 = 2,1 .10 − 6 C

Problema Nº 8. Un objeto pequeño que posee una carga de -4,0 nC experimenta una fuerza hacia abajo de 5,0 10-8 N cuando se la coloca en un lugar donde existe campo eléctrico. a) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en ese punto?, b) ¿Cuál sería la magnitud y la dirección de la fuerza que actuaría sobre un protón colocado en ese punto del campo eléctrico? qp = 1,6 10 -19 C

a)

F 5 .10 −8 N N E= = = 12 ,5 −9 q 4 ,0 .10 C C

b)

F = E . q p = 12 ,5

Hacia arriba

N 1,6 .10 −19 C = 2,0 .10 −18 N C

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Hacia arriba

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Problema Nº 9. Una carga puntual q1 = -6,0 nC está en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual q2 = 4,9 nC está sobre el eje x en x = 0,8 m. Encuentre el campo eléctrico en magnitud y dirección en cada uno de los puntos sobre el eje x: a) x = 0,2 m; b) x = 1,2 m y c) x = -0,2 m.

a) E = K

q q E = E 2 + E1 =K  2 + 1 2 2 r  2 r1

q r2

  = − 1,47 .10 3 N sobre el eje x dirigido a la izquierda  C 

b ) E = E 2 − E1 = 9 .10 9

N m2 C2

 4,9 C 6 ,0 C   0 ,4 2 m 2 − 1,2 2 m 2 

 −9 10 = 0 ,238 10 3 N  C 

c) E = E1 − E 2 = 9 .10 9

N m2 C2

 6,0 C 4,9 C   0,2 2 m 2 − 1,0 2 m 2 

 −9  10 = 1,30 .10 3 N  C 

sobreel eje x dirigido a la derecha

idem b )

Problema Nº 10.

q2 =2q

q 1 = -5q a

x

Dadas dos cargas colocadas como se indica en la figura indicar los punto donde el campo eléctrico es nulo. a = 50 cm Veremos los tres casos posibles: a) A la izquierda de las cargas. No tendremos solución por ser mayor la carga de la izquierda. b) Entre las cargas. El campo producido por cada carga tiene idéntica dirección. c) A la derecha en este caso deberemos encontrar a que distancia x ambos campos son idénticos en magnitud y opuestos en sentido.

E1 = E 2

K

q1

(a + x )

2

=K

q2 x

2

3 x 2 − 2 x − 0,5 = 0

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x = 0 .86 m

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Problema Nº 11. Se dispara un electrón como muestra la figura entre dos placas con una velocidad v = 6.106 m/s y un ángulo È = 45º . El campo eléctrico E = 2.103 N/C, la distancia entre las placas es d = 2 cm y la longitud de las mismas l = 10 cm. Calcule: a) Si el electrón pega en alguna de las placas y

E

b) b) En que punto lo hace.

v

d

L

a) Para decir si el electrón llega a pegar en la placa

superior veremos si la energía cinética que posee es mayor o menor que el trabajo que hace el campo sobre el.

v y = v0 senθ

v x = v0 cos θ

1 K = m v 2y = F y = E e y 2

b) t =

y=

m v 2y 2Ee

= 2,5 cm > d

el electrón pegaráen la placa sup erior

v0 y x 1 E e x 2 1 y = v0 y t + a t 2 = + =d 2 v 0x 2 m v02 x

x v0 x

x = 1,7 cm

Problema Nº 12. Una carga q1 = 16 nC esta en el orígen, una segunda carga desconocida está en x = 3 m y una tercera carga q3 = 12,0 nC está en x = 7 m. ¿Cuál es la magnitud y signo de la carga desconocida si el campo neto en x = 9 m E = 18 N/C en dirección de x +?

q q q  N E = E1 + E 2 + E 3 = K  12 + 2 + 32  = 18 C r3   r1 r

q = − 43 ,0 nC

Problema Nº 13. Una pequeña esfera de masa m = 0,6 g tiene una carga q = 3 . 10-10 C, pende de un hilo de seda de longitud L = 8,0 cm. El otro extremo del hilo está unido a una gran lámina aislante vertical que posee una densidad superficial de cargas ó = 25,0 10-6 C/m2. ¿Cuándo la esfera está en equilibrio que ángulo formará el hilo con la lámina?

E=

σ 2ε 0

tg θ =

F Fg

=

Eq σq = = 0,072 m g 2ε 0 m g

θ = 4,12 º

+ + + + + + + + + + + +

L

Fe

Fg

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Problema Nº 14. Una varilla no conductora de longitud finita L (m) tiene una carga total Q ( c) uniformemente distribuida a lo largo de ella. Calcular el campo eléctrico en un punto P perpendicular a la barra, a una distancia y en el punto medio. P

y

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

l

Cada dq genera en el punto N un dE(vector) →

dE=

1 dq ∧ r k r2

como λ =

Q ⇒ dq = λ .dx L

r 2 = x2 + y 2 senα =

y = r

(x

y 2

+ y2

)

Del análisis de la gráfica se observa que el campo E es:

1 λ.dx dE = 2dE.senα = 2 . 2 . k x + y2

(

E=

2 .λ. y k

∫

(x

dx 2

+y

2

)

3

) (x

y 2

+ y2

)

,aplicando los valores a los extremos de integración obtendremos el 2

valor del campo.

dE dE 1 dE 2 dE 1y

dE 2y

a

(

x

y2. x2 + y2

dE 1x

)

dE 2x

P

a

dq 1

y

r

r

E=

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

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dq 2

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Problema Nº 15. Una barra no conductora de longitud L (m) tiene una carga por unidad de longitud igual ë (C/m) y una carga total Q (C). Calcular el campo eléctrico en un punto N a lo largo del eje de la barra a una distancia d del extremo izquierdo. d + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

N Cada dq genera en el punto N un dE(vector) →

dE=

∫

E = dE =

E=

1 k

1 dq ∧ r k r2

dq

x= L + d

∫ r 2 ∫x =d =

como λ =

λ .dx x

2

λ k

=

Q ⇒ dq = λ .dx L

1   1 λ 1 − x  = k  d − (d + L )     

1 Q k d .(d + L ) d

dE

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

N

dq

Problema Nº 16. Un anillo de radio a (m), tiene una carga positiva uniformemente distribuida, con una carga total Q(C). Calcule el campo eléctrico en un punto p a lo largo del eje “x” a una distancia d del centro del anillo. P

dq 1

+

r + +

+

+

a

+ + + + + + +

+ +

+ +

+

+

+

+ + + + +

x

dq 2

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Cada dq genera dE en P, pero debido a la simetría de carga el campo resultante es el que se observa.

dE=

→

1 dq ∧ .r k r2

dE x =

1 dq . cos φ k r2

dE =

E=

(

como λ =

1 λds k a2 + x 2

(

Q. x

k a2 + x2

)

1

) (a

r=

x 2

+x

2

)

(a

2

+ x2

Q ⇒ dq = λ .ds L

)

y

cos φ =

x = r

, integrando

Que ocurriría en el caso de que “x” sea mucho mayor que “a” 2

a

dq1

r dE2y

x

dE2x 2 dE

dE1yP dE

1x

dq2

d E1

dE

r

Problema Nº 17. Un dipolo eléctrico esta formado de dos cargas eléctricas de magnitud q = 1.20 nC separadas una distancia de 22.0 mm. El dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo E = 1.50 N/C, si el momento del dipolo forma 30º con la dirección del campo. Determinar:

a) ¿Cuál es el momento que ejerce el campo en el dipolo? b) ¿Cuál es el trabajo que debe hacer un agente externo para dar al dipolo un ángulo de 30º a partir de una posición inicial colineal con el campo (es decir á = 0º)

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a)

Τ = p×E

p = 2qa ( momento del dipolo)

Τ = 2.q.a..E.senα Τ = 2 .1,20 .10 −6 .2,20 .10 −2.1,50 .10 −5.sen30 Τ = 3,96 .10 −3 [Nm ]

b)

∫

W = Τ.dφ =

φf

∫φ

i

pEsenφ.dφ = pE

φ=30 º

∫φ=0 º

− cos φ .d φ = pE [− cos 30 + cos 0 ]

W = 5,30 .10 −4 [J ]

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LEY DE GAUSS

2

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ELECTROSTÁTICA Ley de Gauss Problemas Resueltos Problema Nº 18. Dos largos cilindros concéntricos de radios a = 1cm y b = 3 cm, poseen una carga superficial ó = 6.10 -6 C/m2 de signos opuestos. Calcule utilizando Gauss: a) el campo E para r = 0,5 cm b) el campo E para r = 2,0 cm y cual es su dirección c) el campo E para r = 3,5 cm d) ¿Cuál debe ser la energía cinética de un protón para que pueda girar entre lo dos cilindros en forma estable? ¿Cuál es el signo de las cargas en cada cilindro, donde se encuentran las carga y cual es la dirección y sentido del campo? a)

Si trazo una superficie gaussiana cilíndrica con r < a no encerraré cargas y por lo tanto E=0.

r

a

b

b)

En este caso como encierro cargas debo usar Gauss para calcular E

r r q E ∫ . dA = ε 0 c)

E 2π r l =

σ 2π a l ε0

E=

σa N = 3,39 .10 5 rε0 C

En este caso trazo una superficie gaussiana cilíndrica de radio r > b y en ella la carga neta encerrada por la misma es nula y por lo tanto E = 0

d)

Fc = Fe

m

σ aqp v2 =Eqp = r r ε0

σ a qp 1 K = m v2 = = 5,42 .10 − 6 J 2 ε0

El cilindro exterior tendrá cargas positivas y se encuentran en la cara interior del mismo. El cilindro interior tendrá cargas negativas y estarán en la cara exterior del mismo. Por lo tanto el campo será radial y apuntará hacia el centro.

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Problema Nº 19. Tres grandes láminas aislantes paralelas tienen densidades de carga superficiales de +ó1=0,02 C/m2; +ó2=0,01 C/m2 y -ó 3=0,02 C/m2 . Las láminas adyacentes están a 0,3 m entre si. Calcule el campo eléctrico neto (magnitud dirección) debido a las tres láminas en los puntos P, R, S y T acorde con la figura.

0,15

0,15

0,15

P

0,15

0,15

S

R

a ) E P = − E1 − E 2 + E 3 = −

0,15

T

σ1 σ σ N − 2 + 3 = − 5,64 .10 −8 2ε0 2ε0 2ε 0 C

hacia la izquierda

b ) E R = E1 − E 2 + E 3 =

σ1 σ σ N − 2 + 3 = 1,69 .10 9 2ε0 2ε0 2ε0 C

c) E S = E1 + E 2 + E 3 =

σ1 σ σ N + 2 + 3 = 2,82 .10 9 2ε 0 2ε0 2ε 0 C

hacia la derecha

d ) E T = E1 + E 2 − E 3 =

σ1 σ σ N + 2 − 3 = 5,64 .10 8 2ε o 2ε o 2ε o C

hacia la derecha

hacia la derecha

Problema Nº 20. Se tiene un cascaron esférico no conductor con una distribución de cargas no uniforme igual a r = a r (C/m3). Calcular la expresión del campo eléctrico para los puntos situados: a) 0 < r...