Fiszki - metody probabilistyczne i statystyka PDF

Preview

Summary

Fiszki do nauki pojęć z metod probabilistycznych i statystyki...

Description

Przestrzeń probabilistyczna jest matematycznym modelem doświadczenia lub Niech dana będzie przestrzeń (Ω, B, P). zjawiska losowego. Z dowolnym doświadczeniem (zjawiskiem) losowym zostały Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi (independent) wtedy i tylko wtedy, gdy związane trzy pojęcia: zbiór zdarzeń elementarnych Ω, ciało zdarzeń B oraz prawdopodobieństwo P. Dla każdego doświadczenia (zjawiska) losowego istnieje przestrzeń probabilistyczna (Ω, B, P) opisująca jego losowość. Podziałem zbioru zdarzeń elementarnych W, nazywamy rodzinę zdarzeń {Hi}i€ I, o dodatnim Niech dana będzie przestrzeń (Ω, B, P) oraz prawdop., które wzajemnie się wykluczają, zaś niech B € B będzie takim zdarzeniem, że P(B)>0. ich suma jest równa W. Podział nazywamy przeliczalnym, jeśli zbiór wskaźników I jest Prawdopodobieństwem warunkowym pod przeliczalny; skończonym, jeśli jest skończony. warunkiem zdarzenia B nazywamy funkcję PB Jeżeli {H1, H2,…, Hn} jest podziałem zbioru określoną dla dowolnego zdarzenia A€ B W na zdarzenia wzorem: o dodatnim prawdop., to dla dowolnego zdarzenia A

Zmienną losową (ozn. zm. l.) o wartościach rzeczywistych nazywamy funkcję X określoną na zbiorze W i przyjmującą wartości rzeczywiste: X: W -> R, spełniającą dla każdego x€ R warunek:

Dystrybuantą zm. losowej X nazywamy funkcję Fx określoną dla każdego x€ R wzorem:

Jeżeli {Hi}i€ I jest przeliczalnym podziałem zbioru W i P(A)>0, to dla dowolnego j€ I prawdop. warunkowe P(Hj| A), wyraża się wzorem:

Dystrybuantami brzegowymi zm. l. X i Y nazywamy funkcje FX i FY , gdzie:

Dla dwuwymiarowej zm. l. (X, Y) funkcję FX,Y, określoną dla każdej pary liczb rzeczywistych (x, y) wzorem: nazywamy dystrybuantą łączną

Funkcja F(x) jest dystrybuantą zm. l. o wartościach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. jest funkcją niemalejącą: 2.

ma własności graniczne

Funkcją prawdopodobieństwa zm. losowej X nazywamy funkcję fX taką, że:

Zm. l. X nazywamy zm. l. ciągłą, jeśli jej dystrybuanta F jest funkcją absolutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja f ≥0, że dla każdego x zachodzi równość

Gęstością prawd. zm. l. X ciągłej, nazywamy funkcję f(x) występująca pod znakiem całki określającej jej dystrybuantę. Krzywą gęstości nazywamy wykres gęstości prawd. p•Y określone wzorami: Jeżeli gęstość jest różna od zera tylko w przedziale (a, b), to mówimy, że rozkład jest Łączną funkcją prawdopodobieństwa wektora skoncentrowany w tym przedziale. (X, Y) nazywamy funkcję f określoną wzorem P(xi, yk) = pik. Brzegowymi funkcjami prawdop. wektora dyskretnego (X, Y) nazywamy funkcje pX•,

Jeżeli zm. l. X ma gęstość f, to dla każdego Funkcja f(x) jest gęstością pewnej zm. l. wtedy i przedziału (a, b) ⊆ R można obliczyć tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki: prawdop. zdarzeń

Wartością oczekiwaną (wartością średnią, ang. expected value, mean) zm. l. X nazywamy liczbę m = E(X), przy czym

dla zm. Dyskretnej dla ciągłej

własności Wariancją zm. l. X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu scentrowanej zm. l., tj. liczbę określoną wzorem: przy czym Dla dyskretnej dla ciągłej Odchyleniem standardowym jest pierwiastek z wariancji

Wartością modalną lub modą m0(X) (ang. modal value, mode) zm. l. X nazywamy: 1. dla zm. l. dyskretnej - wartość xk, odpowiadająca lokalnemu maksimum funkcji prawdop., tj. wartość różną od min {xi} i max{xi}, dla której prawdop. p(xk) jest większe od wartości prawdop. Odpowiadających punktom skokowym leżącym w bezp. sąsiedztwie punktu xk. 2. dla zm. l. ciągłej - wartość x0, w której gęstość f (x) osiąga maksimum lokalne.

Zm. l. X ma rozkład symetryczny, jeśli istnieje taka liczba a, że: - w przypadku zm. l. dyskretnej każdemu punktowi skokowemu xi ≤ a, odpowiada punkt xj ≥ a taki, że P(X = xi) = P(X = xj) oraz a - xi = xj - a; - w przypadku zm. l. ciągłej o gęstości f(x) dla każdego x w punktach Ciągłości f(a - x) = f(a + x).

Kwantylem (quantile) rzędu p (p (0, 1)) zm. l. X nazywamy każdą liczbę rzeczywistą xp, która spełnia warunek: gdzie

dla dyskr.

dla ciągłej Momentem zwykłym rtego rzędu (r jest liczbą Rozkładem zero-jedynkowym nazywamy naturalną) zm. l. X nazywamy charakterystykę rozkład zmiennej losowej X, która przyjmuje tylko dwie wartości: 1 z liczbową określoną wzorem: prawdopodobieństwem p i 0 z prawdopodobieństwem q = 1 - p, czyli

Dyskretna zmienna losowa X ma rozkład równomierny co oznaczamy X~ R(a,b), a,b∈C jeżeli każdą z wartości x=a,a+1,…,b przyjmuje z tym samym prawdopodobieństwem, tj.

Lotto, kostka, losowanie numeru produktu

Dyskretna zm. l. X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p (n€ N, p€ (0, 1)), co oznaczamy X ~ B(n, p), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

liczba sukcesów (jedynek) w ciągu n niezależnych doświadczeń przeprowadzonych według schematu Bernoulliego.

Jeżeli Xi dla i = 0, 1, 2,…, n są niezależnymi zm. l. o tym samym rozkładzie zerojedynkowym, tj. Xi ~ ZJ(p), to ich suma X = X1 + X2 + …+ Xn ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, tj. X ~ B(n, p). Jeżeli X ~ B(n, p), to E(X) = np., D2(X) = np. (1-p), D(X) =√𝑛𝑛(1−𝑛),

Ciągła zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b] , co oznaczamy X~ J[a, b], jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg n identycznych i niezależnych doświadczeń, w których są możliwe dwa wyniki: sukces albo porażka, o niezmiennym prawdop. sukcesu p w każdym doświadczeniu. Jeżeli ciąg jest skończony, to mówimy o skończonym schemacie Bernoulliego, w przeciwnym przypadku mówimy o nieskończonym schemacie Bernoulliego

Dyskretna zm. l. X ma rozkład Poissona z parametrem λ (λ > 0), co oznaczamy X~PO(λ), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

Ciągła zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ> 0, co oznaczamy X ~EXP(λ), jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa wyraża się wzorem

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(μ,σ), Zmienna losowa X ciągła ma rozkład normalny z parametrami μ i σ (μ€ R, σ> 0), co to zmienna losowa standaryzowana oznaczamy X ~ N(μ, σ), jeśli jej gęstość wyraża się wzorem

E(X)=λ, D2(X)=λ  Zm. l. X o rozkładzie Poissona jest modelem liczby sukcesów wyróżnionego zdarzenia) jakie zajdą w ustalonej jednostce czasu, objętości np. liczba zgłoszeń szkód ubezpieczeniowych w określonym czasie

krzywą gęstości rozkładu normalnego nazywamy krzywą Gaussa. Gęstość osiąga maksimum w punkcie x = μ, natomiast dla x = μ ± σ ma punkty przegięcia

Współczynnikiem korelacji zmiennych Kowariancją wektora losowego (X, Y ) nazywamy liczbę Cov(X, Y ) określona wzorem losowych X i Y nazywamy charakterystykę liczbową ρ określoną wzorem Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)).

ma rozkład N(0, 1), który nazywamy standaryzowanym rozkładem normalnym. Dystrybuanta stand. rozkładu normalnego jest oznaczana Φ i ma postać

Estymatorem Zn nazywamy dowolną statystykę Zn = f (X1, X2,…, Xn) służącą do oszacowania nieznanej wartości parametru populacji generalnej lub nieznanego rozkładu populacji F. Ponieważ każda ze zm. l. Xi ma rozkład identyczny z rozkładem cechy X w populacji generalnej, a rozkład ten zależy od parametru θ, zatem Zn jest zm. l. mającą rozkład również zależny od parametru θ....