Fizyka Wykład 8. Elektrostatyka. Pole elektryczne PDF

Preview

Summary

Wyklad 8 fizyka temat II...

Description

Uczyć się bez myślenia to zmarnowana praca, Myśleć bez uczenia się to pustka. Konfucjusz (właściwie K’ung Ch’iu, 551 – 479 p.n.e.) Dialogi, II/15

Wykład 8. Elektrostatyka. Pole elektryczne 1. Prawo Coulomba Elektromagnetyzm, jedno fundamentalnych 4 z fundamentalnych oddziaływań występujących w przyrodzie

Rys. 1.1 Fundamentalne oddziaływania, przegląd: siła, zasięg, gdzie dominują. Nośniki oddziaływań (cząstki przenoszące oddziaływanie): Tabela. Własności cząstek pośredniczących oddziaływanie teoria

elektromagnetyczne słabe elektrodynamika model kwantowa (QED) standardowy (SM)

symbol

γ

nazwa

foton

masa

0

ładunek

0

W +, W Z bozony pośredniczące 80,40 GeV/c2 91.19 GeV/c2 0 (Z), ±1 (W)

1

silne chromodynamika kwantowa (QCD)

grawitacyjne teoria grawitacji (kwantowej)

g gluony 0a (założone) 0

grawitonb ? 0

rozpad

a b

stabilny

W +, W -  hadrony τ+ντ e+νe μ+νμ Z hadrony, νl νl (all l) τ+ τμ + μe+ e-

stabilny

stabilny

ładunek kolorowy cząstka hipotetyczna

Rys 1.2 Siły działające między dwoma ładunkami. Prawo Coulomba. Weźmy dwa ładunki q1, q2 odległe od siebie o r (patrz rysunek 1.2). Prawo Columba:

 q q q q  F  k 1 2 2 rˆ  k 1 3 2 r , r r

(1.1)

gdzie k, w układzie SI (w próżni):

k

2 2 9 N m  8 . 987 10    C2  4 0  

1

(1.2)

stała Coulomba. Dla porównania przypomnijmy prawo ciążenia:

 Mm F  G 2 rˆ , r

(1.1)

2

Gdzie stała grawitacji G jest równa:

 m2 N  G  6 .67428 10  2   kg  -11

(1.2)

Iloraz tych stałych proporcjonalności w prawie Coulomba i prawie ciążenia wynosi, jednostki pomijamy, by dać pojęcie o skali tych wielkości:

1 4  0

/ G  1.35  10 20

(1.2)

Wniosek: analizując oddziaływanie elektrostatyczne (elektryczne) ładunków, oddziaływanie grawitacyjne mas tych ładunków może być pominięte (patrz wyżej na rysunek o czterech oddziaływaniach). W próżni postać prawo Coulomba przyjmie postać:

 F

q1 q 2  r, 4  0 r3 1

(1.1)

W ośrodku różnym od próżni musimy uwzględnić przenikalność elektryczną ośrodka, stąd:

  0  r

(1.3)

 0 - przenikalność elektryczna próżni  r - względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa) Oddziaływanie elektryczne ładunków zależy od ośrodka, w którym ładunki się znajdują. Ośrodek wpływa na oddziaływanie, ale też pole elektryczne oddziałuje na ośrodek (polaryzacja elektryczna ośrodka) 2. Pole elektryczne Pojęcie pola elektrycznego. Ładunek oddziałuje z polem wytworzonym przez drugi ładunek a nie oddziałują bezpośrednio ze sobą. Pole elektryczne definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku:

  F  qE

  F  E q

(2.1)

3

gdzie E – natężenie pola elektrycznego, F – siła z prawa Coulomba (równanie 1.1), q ładunek próbny (dodatni). Przykład: natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy Q i działającego na ładunek q wynosi:

  F 1 Q E  rˆ q 4  0 r 2 ,

(2.2)

Równanie 2.1 jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy ładunki są nieruchome (elektrostatyka). Jeżeli ładunki się poruszają, zależność między siła a natężeniem pola elektrycznego opisuje prawo Lorentza.



    F  q E  vxB



(2.3).

Pola elektryczne dodają się wektorowo. Jeżeli mamy wiele ładunków, to całkowite pole elektryczne jest równe:

     E  E1  E2  E3     Ei

(2.4).

i

gdzie Ei - natężenie ładunku punktowego dane jest przez równania 2.2: Przykłady pól wektorowych: pole ładunku dodatniego, układu dwóch ładunków i ładunków zgromadzonych na powierzchniach walca, sfery, powierzchni płaskich, prezentuje rysunek poniżej. Pole elektryczne nie jest modelem abstrakcyjnym. Jest to twór fizyczny jak najbardziej realny. Przykładem realnego pola elektrycznego są pioruny (burza). Poniżej przedstawiono kilka przykładów pola elektrycznego.

Rys. Pola elektryczne wytwarzane przez różne układy ładunków Własności pola elektrycznego. Natężenie pola elektrycznego spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości 4

E

1 , patrz rysunek: r2

Rys. 2.3 Pole elektryczne spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości. Inne wielkości spełniające tę zależność: pole grawitacyjne, natężenie promieniowania. Ciekawe prezentacje, link: http://www.falstad.com/mathphysics.html 2. Ładunek elektryczny. Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektronów, protonów i neutronów; dwa ostatnie, zwane nukleonami, tworzą jądro atomowe. Elektrony, protony oraz neutrony posiadają następujące ładunki elektryczne:

qe  (1.602 177 33  0.000 000 49) x10 19 [C ]  q p  (1.602 177 33  0.000 000 49) x 10 19 [C ]

qn  0.4  1.1 x 10

21

(2.1)

x qe

Ładunki protonu i elektronu są sobie równe, w granicy błędu pomiarowego. Dla wygody definiujemy ładunek elementarny (ujemny) e  qe   q p :

e  1.602 x 10 19 [C ]

(2.2)

Każdy ładunek elektryczny, z którym mamy do czynienia jest całkowitą wielokrotnością ładunku elementarnego.

5

Rys. 2.4 Neutron i proton – budowa nukleonów. Masa neutronu jest o około 0.2 % większa od masy protonu. Odpowiada to energii 1.29 MeV. Proton jest „wieczny”. Wolny neutron ma czas życia 10.3 minuty. Ale w jądrze atomu jest stabilny. Kanał rozpadu neutronu pokazano poniżej. Jest to przykład „słabego” oddziaływania

Rys. Rozpad neutronu Rozpad protonu skojarzmy jest z przekształceniem kwarku d w kwark u. Czy proton może zamienić się w neutron? Tak, ale należy dostarczyć energię 1.29 MeV. Bardzo krótko po Wielkim Wybuchu (Big Bang), kiedy energia termiczna była o większa od tej wartości, przejścia n p zachodziły w obu kierunkach, a ilość n i p była jednakowa. Definicja wielkości ładunku w układzie jednostek SI. Ładunki elektryczne mierzymy w Coulombach [C]. Jak to wielkość? W naszych gniazdkach mamy napięcie U = 220 [V], jeżeli podłączymy do niego urządzenie o mocy 220 [W], np. bardzo mocną żarówkę, to przez to urządzenie popłynie prąd 1 [A]. 1 [C] (Coulomb) to ładunek, jakie przepływa przez to urządzenie w ciągu 1 s!

6

3. Potencjał pola elektrostatycznego. Pole elektryczne jest polem wektorowym (rys. 2.1, 2.2) ale również polem skalarnym. Pole elektryczne jest polem zachowawczym – praca wykonana przez pole elektryczne nie zależy od drogi, lecz od położeń punktu początkowego i końcowego. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej jest równa zero.

     F dr  q E dr  0 ,

(3.1)

Równanie 3.1 jest prawdziwe dla każdego pola zachowawczego (np. pola grawitacyjne). Jeżeli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, że dla takiego pola istnieje potencjał i energia potencjalna.   Energię potencjalną w punkcie r , czyli U (r ) definiujemy jako:       r    U( r )   F dr  q  E dr   q  E dr , r



r

(3.2),

jest to praca wykonaną przez siły zewnętrzne przy przenoszeniu ładunku  punktowego q z nieskończoności do punktu r . Przykład: dla dwóch ładunków punktowych odległych o r, energia potencjalna takiego układu ładunków wynosi:        U (r )   F dr  q1  E dr  r r

q1 q2 4  0 r , 1

(3.3),

Praca wykonana przez siły pola przy przesunięciu ładunki z r1 do r2 wynosi: r2   r2        W (r1  r2 )   F dr   F dr   F dr  U (r1 ) U (r2 ) (3.4), r  r 1

1

i jest równa różnicy energii potencjalnej w tych punktach. Ogólna zależność między siłą a energią potencjalną jest następująca:

 F   grad U ( r )  U ( r ) ,

(3.5);

1 Operator różniczkowy  , zwany operatorem Hamiltona albo operatorem nabla , w układzie współrzędnych kartezjańskich [ x, y, z] ma szczególnie prostą postać:

1

nabla z semickiego – harfa, przypomina staroe gipską harfę

7

     , ,    x  y z 

(3.6).

Można go traktować jako wektor. Działanie operatora gradientu na pole skalarne przedstawia rys. 3.1

Rys. 3.1 Pole skalarne zaznaczono przez czerń (wysoka wartość) i biel (niska wartość). Gradient – niebieskie strzałki wskazują wysokie wartości pola skalarnego. Równanie to jest uproszczoną wersją równania 3.5, prawdziwą jedynie dla pól sferycznie symetrycznych, takich jak pole ładunku punktowego. Pozwala ono policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energii potencjalnej U(r). Jeżeli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalną posłużymy się zależnością wynikającą z równania 3.4:

U (r1 )  U (r2 )  

r2

r1

  F dr

(3.9),

Równania 3.4 – 3.8 są słuszne dla każdego pola zachowawczego, np. pola elektrycznego, pola grawitacyjnego.  Potencjał  (r ) jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek. Związek między potencjałem potencjałów energią potencjalną jest oczywisty:

 (r ) 

U (r ) q

(3.10),

8

Różnica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa:

   (r1 )  ( r2 ) 

U ( r1 )  U ( r2 ) W ( r1  r2 )  q q

(3.11),

i jest nazywana napięciem. W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt]. Podstawiając do równania 3.11 definicję energii potencjalnej (równ. 3.4) otrzymamy potencjał będzie określony przez zależność:





 

r

 

 (r )   E dr   E dr ,

(3.12).



r

Równanie 3.12 jest równaniem całkowym. Związek między potencjałem a wektorem natężenia pola elektrycznego można również przedstawić w postaci równania różniczkowego, analogicznego do równ. 3.5:

 E   grad  ( r )   ( r ) ,

(3.4).

Przykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie:





 

 ( r )  r E dr 

q 4  0 r 1

(3.5).

Wielkościami charakteryzującymi pole oraz związki między nim i zebrano w tabeli 1. Związki te są analogiczne dla związków pola grawitacyjnego. Przykład: dla ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne to zbiór współśrodkowych sfer w środku, których znajduje się ładunek punktowy. Przedstawiono to na rys. 3.2.

Rys. 3.2 Pole ładunku punktowego, powierzchnia ekwipotencjalna oraz pole wektorowe.

9

Powierzchnie ekwipotencjalne – powierzchnie stałego potencjału, spełniające  równanie  (r )  const Praca przy przesunięciu ładunku na pow. ekwipotencjalnej = 0! Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między różnymi powierzchniami ekwipotencjalnymi jest różna od zera! Związki między polem a własnościami ładunków, między wielkościami wektorowymi oraz wielkościami skalarnymi ukazuje poniższa tabelka. Tabela 1. Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne.

wielkości wektorowe

własności ładunków siła:  1 q1 q2 F rˆ 4  0 r 2

powiązania

  F  qE

pole elektryczne  1 q1 E rˆ 4  0 r2

 E   (r )



związki między F   U (r ) nimi wielkości skalarne energia potencjalna: 1 q1 q 2 U (r )  4  0 r

własności pola

U (r)  q(r )

2. Prawo Gaussa

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

10

potencjał;  1 q  (r )  4  0 r

Prawo Gaussa podstawowe prawo elektrostatyki. Stosuje się je zarówno dla pola elektrycznego jak i pola grawitacyjnego. Ma ono analogiczną postać w przypadku obu tych pól, jakże przecież różnych, W fizyce (i matematyce) prawo Gaussa definiuje związek strumieniem pola elektrycznego (pola grawitacyjnego) przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą a ładunkiem (odpowiednio masą) zamkniętą wewnątrz tej powierzchni.

Rys 2.1 Strumień pola elektrycznego Przykład: strumień promieniowania Słońca

Przesilenie zimowe - dzień w roku, w którym Słońce góruje w zenicie w najdalej na południe wysuniętej szerokości geograficznej, na której może górować w zenicie – na zwrotniku Koziorożca. Najkrótszy dzień (7 h, 42 min), najdłuższa noc na półkuli północnej. Kąt padania promieni słonecznych (w południe) w dniu przesilenia zimowego (21 lub 22 grudnia) w centrum Warszawy (52° 13' szerokości geograficznej północnej) wynosi 14° 20'. Przesilenie letnie - dzień w roku, w którym Słońce góruje w zenicie w najdalej na północ wysuniętej szerokości geograficznej, na której może górować w zenicie – na zwrotniku Raka. Kąt padania promieni słonecznych (w południe) w dniu przesilenia letniego w centrum Warszawy (52°13' szerokości geograficznej północnej) wynosi 61°14'. Najdłuższy dzień (od 16h 12min do 17h 20 min w Polsce), najkrótsza noc na półkuli północnej (około 22 czerwca).

11

Obliczyć stosunek strumienia promieniowania słonecznego w dniu przesilenia zimowego i letniego. Co to jest równonoc wiosenna i jesienna? Odp. 28 %.

Strumień pola elektrycznego definiujemy następująco:

     E  E  A  E  A cos  ( E , A)

(2.1a).

gdy powierzchnia jest płaska i tworzy stały kąt ze z natężeniem (patrz rys. 2.1). W przypadku dowolnej powierzchni (zakrzywionej) strumień definiujemy jako nieskończoną sumę nieskończenie małych przyczynków (różniczek) strumienia (patrz rys. 2.1):

  1    E   E dA   D dA A



(2.1b).

A

gdzie:  E - strumień pola elektrycznego, D, E – wektory pola elektrycznego, A powierzchnia zamknięta. Teraz prawo Gaussa. Prawo Gaussa: (postać całkowa prawa Gaussa)

  1 Q  E   E dA    (r ) dV  A

V



(2.2).

gdzie: A – powierzchnia obejmująca objętość V. Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do całkowitego ładunku elektrycznego zamkniętego przez tą powierzchnię. Inaczej mówiąc, prawo Gaussa głosi, że pole elektryczne jest polem źródłowym. Istnieją ładunki elektryczne, które wytwarzają pole elektryczne. Jeszcze raz prawo Gaussa, czyli I prawo Maxwella.

   D dA  Q

(2.6).

A

postać całkowa i różniczkowa.

12

Prawo Gaussa stosuje się nie tylko do pola elektrycznego. Jest prawdziwe dla każdego pola, którego natężenie zmienia się jak odwrotność kwadratu odległości ~1/r2. Obowiązuje również np. dla pola grawitacyjnego, dla intensywności promieniowania. Zadanie: wykazać, że prawo Coulomba wynika z prawa Gaussa (patrz rys. 2.2)

Rys. 2.2 Strumień pola elektrycznego dla ładunku punktowego Prawo Gaussa definiuje pole elektryczne jako pole źródłowe. Źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne. Przykłady: korzystając z prawa Gaussa można obliczyć pole elektryczne ładunków rozmieszczonych na: a) jednorodna naładowana płaszczyzna

b) naładowanego cylindra o promieniu R

Odpowiedź:

13

E

r 2 0

E

 R2 2 0 r

dla r  R dla r  R

b) naładowanej kuli o promieniu R Odpowiedź: E

Qr 4 0 R 3

dla r  R

E

Q

dla r  R

4 0 r2

przypadek na zewnątrz kuli jest równoważny polu ładunku punktowego, przypadek wewnątrz kuli pomoże rozwiązać rysunek:

d) dwóch naładowanych, równoległych płaszczyzn

3. II równanie Maxwella Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między dwoma punktami wynosi: r2   r2   W( r1  r2 )   F dl  q1  E dl , r1

r1

14

(3.1),

Pole elektryczne jest polem zachowawczym. Praca wykonana po dowolnej drodze zamkniętej równa się zero.

  dW  E   dl  0 ,

(3.2),

Skorzystamy tutaj z twierdzenia Stokes’a.

   E dl  0

(3.5).

L

znaną jako II równanie Maxwella. II równanie Maxwell stwierdza, że pole elektryczne jest polem zachowawczym. 4. Dipol elektryczny Dipol elektryczny: układ dwóch ładunków: +q i –q odległych o stałą odległość d.

Rys. 3.1 Dipol elektryczny Moment dipolowy cząsteczki jest zdefiniowany jako:

  p  qd ,

(4.1),

Na rys 4.2 przedstawiono powierzchnie ekwipotencjalne, czyli potencjał skalarny dipola elektrycznego. Pole elektryczne dipola elektrycznego konstruuje się jak suma (wektorowa) pól elektrycznych pochodzących od ładunku dodatniego q i ujemnego -q. Łatwiej jednak jest wyznaczyć skalarny potencjał dipola, który jest sumą (algebraiczną) potencjałów skaranych pochodzących od dodatniego i ujemnego ładunku (patrz rys. 4.2).

15

Rys. 4.2 Obliczanie potencjału skalarnego dipola elektrycznego Potencjał w punkcie P wynosi:



q 4 0

(

q r  r 1 1  ) r r 4 0 r r ,

(4.2),

Interesujące wynik otrzymujemy, gdy r >> d wówczas. Stosujemy przybliżenie:

r  r  d cos , rr  r 2 ,

(4.3).

Potencjał dipola elektrycznego zapisujemy następująco:

 d cos 1 p rˆ  (r )   , 4 0 r 2 4 0 r 2 q

(4.4).

Obliczeń dokonano w próżni. W przypadku dipola elektrycznego w ośrodku należy zmodyfikować wzór 4.4, uwzględniając względną przenikalność elektryczną ośrodka. Mając dany potencjał skalarny dipola elektrycznego możemy obliczyć pole elektryczne na podstawie wzoru 1.1.5:

 E (r )    ( r ) 

  1 3( p rˆ) rˆ  p , r3 4 0

(4.4).

Jest to znany wzór na pole elektryczne dipola elektrycznego. W przypadku, gdy oś Z skierowana jest wzdłuż osi dipola elektrycznego, składowa z – owa pola elektrycznego jest równa:

16

Ez

(3(cos) 2  1) , 4 0 r3 p

(4.4).

4.1 Oddziaływanie dipola z polem elektrycznym Umieszczenie dipola elektrycznego o momencie dipolowym p w polu elektrycznym o natężeniu E, powoduje, że na dipol zaczyna działać moment siły:

   M  p E ,

(4.1.1).

Moment siły działający na dipol będzie obracał dipol ustawiając go równolegle do linii natężenia pola elektrycznego, gdyż w takim położeniu dipol elektryczny minimalizuje swoją energię potencjalną równą:

  U   p E ,

(4.1.2).

Dipol elektryczny m maksymalną energię, gdy dipol jest antyrównoległy do E. Pole elektryczne działa porządkująco na zbiór chaotycznie skierowanych dipoli elektrycznych. 1.1 Indukcja pola elektrycznego oraz przenikalność elektryczna ośrodka Jak będzie wyglądało pole elektryczne w ośrodku różnym od próżni: w cieczach, gazach, czy ciałach stałych, czyli ośrodkach charakteryzujących się różną od jedności względną przenikalnością elektryczną? Musimy prowadzić nową wielkość. Pole elektryczne definiujemy w takich ośrodkach poprzez wektor indukcji pola elektrycznego D w sposób następujący:

  DE,

(1.2.1).

gdzie: D – wektor indukcji pola elektrycznego, E – wektor natężenia pola elektrycznego,  - przenikalność elektryczna ośrodka. Przenikalność elektryczna ośrodka  jest skalarem w ośrodku izotropowym, czyli takim, którego własności elektryczne są ta...