Formulas DE Estadística Inferencial-3 PDF

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FORMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL...

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FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL Intervalo de confianza para la media de una población. d. a.

Varianza poblacional conocida

IC: 𝑋 − 𝑍(1−𝛼) 2

b.

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍(1−𝛼) 2

𝜎

IC: 𝑋 − 𝑍(1−𝛼)

√𝑛

IC: 𝑋 − 𝑇(1−𝛼,𝑛−1)

√𝑛

𝑆

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍(1−𝛼) 2

2

(𝑋1 −𝑋2 ) − 𝑇(1−𝛼 ) √

√𝑛

2

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (𝑛 ≥ 30) 2

c.

𝜎

√𝑛

Varianza poblacional desconocida pero diferentes (𝜎1 ≠ 𝜎2 2 )

𝑠1 2 𝑆2 2 𝑆1 2 𝑆2 2 + + ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑇(1−𝛼) √ 𝑛1 𝑛1 𝑛2 𝑛2 2

Donde: 𝑇(1−𝛼 ) es el valor de T con V grados de libertad.

𝑆

2

√𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (𝑛 < 30) 2

𝑆

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑇(1−𝛼,𝑛−1) 2

𝑉=

𝑆

√𝑛

Intervalo de confianza para diferencia de dos medias poblacionales a.

Varianza poblacional conocida

𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 (𝑋1 −𝑋2 ) − 𝑍(1−𝛼 ) √ 1 + 2 ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑍(1−𝛼) √ 1 + 𝑛2 𝑛 𝑛1

2

b.

2

2

2

𝑛1

2

𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0

2

𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0

𝑆1 𝑆1 𝑆2 𝑆2 + + ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑍(1−𝛼) √ 𝑛1 𝑛1 𝑛2 𝑛2 2 2

2

2

Varianza poblacional desconocida pero iguales (𝜎1 = 𝜎2 2 ) 2

1 −𝑋2 ) − 𝑇 𝛼 √𝑆𝑃 2 ( (𝑋 (1− ) 2

2

1 1 1 1 + ) ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑇(1−𝛼) √𝑆𝑃 2 ( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2

Cuya distribución es la T de student con 𝐺𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

𝑆𝑃 2 =

(𝑛1 − 1)𝑆1 2 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2

𝑠1 2 𝑆2 2 +𝑛 ) 𝑛1 2

2

2

2 𝑆2 𝑠2 ( 𝑛2 ) ( 𝑛1 ) 2 1 + 𝑛1 − 1 𝑛2 − 1

Prueba de Hipótesis para la media de una población:

2

Varianzas poblacionales desconocidas y tamaño de muestras grandes (n≥30)

1 −𝑋2 ) − 𝑍 𝛼 √ (𝑋 (1− ) c.

2

2

(

𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0

𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0

Estadísticos de prueba: Varianza poblacional conocida

𝑍=

𝑋 − 𝜇 𝜎 √𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (n≥30)

𝑍=

𝑋 − 𝜇 𝑆 √𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (n 𝜇2

Estadísticos de prueba: Varianzas poblacionales conocidas

𝑍𝑐 =

1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) (𝑋 √

𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2

Varianzas poblacionales desconocidas y tamaño de muestras grandes (n≥30)

𝑍𝑐 =

(𝑋1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆 2 𝑆2 √ 1 + 2 𝑛1 𝑛2

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales y tamaño de muestras pequeñas (n 𝜋2

𝑝 =

𝑋1 + 𝑋2 𝑛1 + 𝑛2

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Intervalo de confianza para la varianza de una población (𝑛 − 1)𝑆 2 𝑋 2 (1−𝛼

Prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado

2 𝑋 2− 𝛼 (𝑛 ,𝑛−1) ( 21)𝑆

≤ 𝜎2 ≤ ,𝑛−1) 2 para el cociente de la varianza de dos poblaciones Intervalos de confianza

Estadístico de prueba 𝑋𝐶 2 =

𝑠1 2 𝜎1 2 𝑠1 2 𝐹(𝛼,𝑛2−1,𝑛1−1) ≤ 2 ≤ 2 𝐹(1−𝛼 ,𝑛2−1,𝑛1−1) 2 𝜎2 𝑠2 𝑠2 2 2

∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝐸𝑖

Fórmula práctica:

𝑠1 2 1 𝑠1 2 𝜎1 2 < 2 < 2 𝐹(𝛼,𝑛2−1,𝑛1−1) 2 𝑠 𝑠2 𝐹(𝛼 ,𝑛1−1,𝑛2−1) 𝜎2 2 2

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒉𝟎

2

1−𝛼

Prueba de hipótesis para una varianza de una distribución normal H0 : 𝜎 2 = 𝜎 2 0 H1 : 𝜎 2 ≠ 𝜎 2 0

H0 : 𝜎 2 ≤ 𝜎 2 0 H1 : 𝜎 2 > 𝜎 2 0

Estadístico de Prueba

𝑋𝐶 2 =

H0 : 𝜎 2 ≥ 𝜎 2 0 H 1: 𝜎2 < 𝜎20

𝑔𝑙 = 𝐾 − 𝑚 − 1

(𝑛 − 1)𝑆 2 𝜎20

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒉𝟎

𝛼

𝑋 2 (1−𝛼;𝑔𝑙)

Dónde: K: cantidad de parámetros de la distribución m: número de parámetros estimados

Prueba de hipótesis para la razón de dos varianzas 𝐻0 : 𝜎1 2 = 𝜎2 2

𝐻1 : 𝜎1 ≠ 𝜎2 2

2

𝐻0 : 𝜎1 2 ≥ 𝜎2 2

𝐻1 : 𝜎1 < 𝜎2 2

Estadístico de prueba

𝐹𝑐𝑎𝑙 =

2

𝑠1 2 𝑠2 2

𝐻0 : 𝜎1 2 ≤ 𝜎2 2 𝐻1 : 𝜎1 > 𝜎2 2

2

Distribución de Poisson

𝒇(𝑿, 𝝀) =

𝒆−𝝀𝝀𝑿 𝑿!

Distribución Binomial

𝒏 𝑷(𝒙) = ( ) 𝒑𝑿 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑿 𝒙

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Prueba de Independencia y Prueba de Homogeneidad Chi-cuadrado Regresión Múltiple: (fórmulas para dos variables independientes)

Estadístico de prueba 𝑋𝐶 2 =

∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝐸𝑖

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎: (𝐸𝑖 ) =

1. Ecuación de la regresión

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑙𝑎 ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

2. Sistema de ecuaciones para hallar los coeficientes de regresión:

𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

1−𝛼

∑ 𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 + 𝛽2 ∑ 𝑋2

∑ 𝑋1 𝑌 = 𝛽0 ∑ 𝑋1 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 2 + 𝛽2 ∑ 𝑋1 𝑋2

∑ 𝑋2 𝑌 = 𝛽0 ∑ 𝑋2 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 𝑋2 + 𝛽2 ∑ 𝑋2 2

𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒉𝟎

𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒉𝟎

𝛼

3. Otra forma de hallar los coeficientes de regresión

𝑋 2 (1−𝛼;𝑔𝑙)

Luego de haber formado nuestra matriz con los datos del problema, debemos estructurar las siguientes matrices:

𝑔𝑙 = (#𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(#𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1)

𝑛

𝛽1 =

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋

𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2

2. Coeficiente de correlación: 𝑟=

𝑛

𝐴 = 𝑋 𝑇 𝑋 = ∑ 𝑋1𝑖

Regresión Simple: 1. Coeficiente de correlación

,

𝛽0 =

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑌 − 𝛽1 ∑ 𝑋 𝑛

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌)

√𝑛(∑ 𝑋 2 )

−

 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 𝑌

(∑ 𝑋)2 √𝑛(∑ 𝑌 2 )

−

(∑ 𝑌)2

∑ 𝑋2𝑖 [𝑖=1

∑ 𝑋1𝑖 𝑖=1 𝑛

∑ 𝑋1𝑖

∑ 𝑌𝑖

∑ 𝑋2𝑖 ∑ 𝑋1𝑖 𝑋2𝑖

∑ 𝑋1𝑖 𝑋2𝑖

∑ 𝑋2𝑖 2

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

𝛽0 B = [ 𝛽1 ] = 𝛽2

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

2

𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝐺 = 𝑋 𝑇 𝑋 = ∑ 𝑋1𝑖 𝑌𝑖 ]

𝑖=1 𝑛

∑ 𝑋2𝑖 𝑌𝑖 [𝑖=1

]

La matriz solución “B” se obtendrá de: B = A-1. G −𝟏

𝑨 𝑮

El cálculo de A-1 se realizara haciendo uso de su calculadora científica....