Formulas de Estadística Inferencial PDF

Preview

Summary

Download Formulas de Estadística Inferencial PDF

Description

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL Intervalo de confianza para la media de una población. d. a.

Varianza poblacional conocida

IC: 𝑋 − 𝑍(1−𝛼) 2

b.

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍(1−𝛼) 2

𝜎

IC: 𝑋 − 𝑍(1−𝛼)

√𝑛

IC: 𝑋 − 𝑇(1−𝛼,𝑛−1)

√𝑛

𝑆

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍(1−𝛼) 2

2

(𝑋1 −𝑋2 ) − 𝑇(1−𝛼 ) √

√𝑛

2

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (𝑛 ≥ 30) 2

c.

𝜎

√𝑛

Varianza poblacional desconocida pero diferentes (𝜎1 ≠ 𝜎2 2 )

Donde: 𝑇(1−𝛼 ) es el valor de T con V grados de libertad.

𝑆

2

√𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (𝑛 < 30) 2

𝑆

≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑇(1−𝛼,𝑛−1) 2

𝑠1 2 𝑆2 2 𝑆1 2 𝑆2 2 + + ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑇(1−𝛼) √ 𝑛1 𝑛1 𝑛2 𝑛2 2

𝑉=

𝑆

√𝑛

Intervalo de confianza para diferencia de dos medias poblacionales a.

Varianza poblacional conocida

𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 (𝑋1 −𝑋2 ) − 𝑍(1−𝛼 ) √ 1 + 2 ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑍(1−𝛼) √ 1 + 𝑛2 𝑛 𝑛1

2

b.

2

2

2

𝑛1

2

𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0

2

𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0

𝑆1 𝑆1 𝑆2 𝑆2 + + ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑍(1−𝛼) √ 𝑛1 𝑛1 𝑛2 𝑛2 2 2

2

2

Varianza poblacional desconocida pero iguales (𝜎1 = 𝜎2 2 ) 2

1 −𝑋2 ) − 𝑇 𝛼 √𝑆𝑃 2 ( (𝑋 (1− ) 2

2

1 1 1 1 + ) ≤ 𝜇1 −𝜇2 ≤ (𝑋1 −𝑋2 ) + 𝑇(1−𝛼) √𝑆𝑃 2 ( + ) 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 2

Cuya distribución es la T de student con 𝐺𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

𝑆𝑃 2 =

(𝑛1 − 1)𝑆1 2 + (𝑛2 − 1)𝑆2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2

𝑠1 2 𝑆2 2 +𝑛 ) 𝑛1 2

2

2

2 𝑆2 𝑠2 ( 𝑛2 ) ( 𝑛1 ) 2 1 + 𝑛1 − 1 𝑛2 − 1

Prueba de Hipótesis para la media de una población:

2

Varianzas poblacionales desconocidas y tamaño de muestras grandes (n≥30)

1 −𝑋2 ) − 𝑍 𝛼 √ (𝑋 (1− ) c.

2

2

(

𝐻0 : 𝜇 ≥ 𝜇0

𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0

𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0

Estadísticos de prueba: Varianza poblacional conocida

𝑍=

𝑋 − 𝜇 𝜎 √𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (n≥30)

𝑍=

𝑋 − 𝜇 𝑆 √𝑛

Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (n 𝜇2

Estadísticos de prueba: Varianzas poblacionales conocidas

1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) (𝑋

𝑍𝑐 =

√

𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2

Varianzas poblacionales desconocidas y tamaño de muestras grandes (n≥30)

𝑍𝑐 =

(𝑋1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆 2 𝑆2 √ 1 + 2 𝑛1 𝑛2

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales y tamaño de muestras pequeñas (n 𝜋2

𝑝 =

𝑋1 + 𝑋2 𝑛1 + 𝑛2

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL Intervalo de confianza para la varianza de una población (𝑛 − 1)𝑆2 𝑋 2 (1−∝ 2

,𝑛−1)

≤ 𝜎2 ≤

2 (𝑛 𝑋 2− ∝ 1)𝑆 ( ,𝑛−1) 2

Intervalos de confianza para el cociente de la varianza de dos poblaciones

1 𝑆1 2 2 ∗ 𝐹 ∝ 𝑆2 (1− ,𝑛 −1,𝑛 2 1

2 −1)

≤

2 𝜎1 2 𝑆1 ≤ ∗ 𝐹(1−∝,𝑛 −1,𝑛 −1) 1 𝜎2 2 𝑆2 2 2 2

Prueba de hipótesis para una varianza de una distribución normal 𝐻0 : 𝜎 2 = 𝜎0 2

𝐻0 : 𝜎 2 ≤ 𝜎0 2

𝐻0 : 𝜎 2 ≠ 𝜎0 2

𝐻0 : 𝜎 2 > 𝜎0 2

Estadístico de Prueba 𝑋𝑐

2

(𝑛 − 1)𝑆2 = 𝜎0 2

𝐻0 : 𝜎 2 ≥ 𝜎0 2

𝐻0 : 𝜎 2 < 𝜎0 2

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎: 𝑛 − 1

Prueba de hipótesis para la razón de dos varianzas 𝐻0 : 𝜎1 2 = 𝜎2 2

𝐻0 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2

𝐻0 : 𝜎1 2 ≤ 𝜎2 2

𝐻0 : 𝜎1 2 > 𝜎2 2

Estadístico de prueba

𝐹𝑐𝑎𝑙 =

𝑆1

2

𝐻0 : 𝜎1 2 ≥ 𝜎2 2

𝐻0 : 𝜎1 2 < 𝜎2 2

𝐹𝑡𝑎𝑏 = 𝐹(____,𝑛1 −1,𝑛2 −1)

𝑆2 2

𝑔𝑙 = 𝐾 − 𝑚 − 1

K: N° de parámetros de la distribución, N° categorías finales o N° 𝑋𝐶 2 calculadas m: N° de parámetros estimados (calculados en el ejercicio, si no, es 0) 𝑆𝑖 ∑𝑃𝑖 ≠ 1 → 1 − ∑𝑃𝑖 = 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑎 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒

𝑆𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑖 < 5 → 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑠 𝑂𝑖 𝑦 𝐸𝑖 𝐸𝑖 = 𝑁 ∗ 𝑃𝑖

= 𝑃𝑖 ∗ ∑𝑂𝑖

Distribución de Poisson (V.A.D)

𝒇(𝑿, 𝝀) =

𝒆 −𝝀∗𝝀 𝑿

Media

Estadístico de prueba

Varianza

𝐸(𝑋) = 𝜇 =

∑ 𝑋𝑖 𝑂𝑖 = 𝑛∗𝑃 𝑁 ó ∑ 𝑂𝑖

𝑉(𝑋) = 𝜎 2 = 𝑛 ∗ 𝑃 ∗ 𝑞 = 𝐸(𝑋) ∗ 𝑞

Desviación Típica 𝜎 = √𝑉(𝑋)

𝒏!

(𝑿𝒏) = 𝑿!(𝒏−𝑿)!

X: N° de éxitos en la muestra o población

∑ 𝑋𝑖 𝑂𝑖 𝑁 ó ∑ 𝑂𝑖

𝑉(𝑋) = 𝜎 2 = 𝜇

Distribución Binomial (V.A.D)

𝑷(𝑿) = (𝑿𝒏) ∗ 𝑷𝑿 ∗ 𝒒𝒏−𝑿

𝑿!

Donde: 𝜆: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝐸(𝑋) = 𝜇 =

∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝐸𝑖

∑𝑃𝑖 = 1

∑𝑂𝑖 = ∑𝐸𝑖

Prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado

𝑋𝐶 2 =

Donde:

𝜎 = √𝑉(𝑋)

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL Prueba de Independencia y Prueba de Homogeneidad Chi-cuadrado Estadístico de prueba

Frecuencia esperada (𝐸𝑖 ) =

𝑋𝐶 2 =

∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 ) 𝐸𝑖

4. Hipótesis

𝐻0 : 𝛽1 = 0 (𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑒 𝑌) 𝐻1 : 𝛽1 ≠ 0 (𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑒 𝑌)

2

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑙𝑎 ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

Regresión Múltiple (formular para dos variables independientes) 1. Ecuación de regresión

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2

2. Sistema de ecuaciones para hallar los coeficientes de regresión ∑ 𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 + 𝛽2 ∑ 𝑋2

∑ 𝑋1 𝑌 = 𝛽0 ∑ 𝑋1 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 2 + 𝛽2 ∑ 𝑋1 𝑋2

∑ 𝑋2 𝑌 = 𝛽0 ∑ 𝑋2 + 𝛽1 ∑ 𝑋1 𝑋2 + 𝛽2 ∑ 𝑋2 2

Regresión Simple

𝑔𝑙 = (#𝐹𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(#𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1)

1. Ecuación de regresión

 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 𝑌

𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 𝛽1 = 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 2. Coeficiente de correlación 𝑟=

𝑅2 =

𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = 0 (𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

𝐻1 : 𝐴𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝛽𝑖 ≠ 0 (𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

Análisis de Varianza de Regresión (ANOVA) ∑ 𝑌 − 𝛽1 ∑ 𝑋 𝛽0 = 𝑛

𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌

√𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2 √𝑛 ∑ 𝑌 2 − (∑ 𝑌)2

3. Coeficiente de determinación

3. Hipótesis

 )2 𝑆𝐶𝑅 ∑(𝑌 − 𝑌 = ∑(𝑌 − 𝑌 )2 𝑆𝐶𝑇

1. Método de mínimos cuadrados 𝑆𝐶𝑇 = ∑(𝑌 − 𝑌  )2

→

𝑆𝐶𝐸 = ∑(𝑌 − 𝑌  )2

→

𝑆𝐶𝑅 = ∑(𝑌  − 𝑌 )2

𝐶𝑀𝑅 = 𝐹𝐶 =

𝑆𝐶𝑅 𝐾

𝐶𝑀𝑅 𝐶𝑀𝑅

→

𝐶𝑀𝐸 =

𝑆𝐶𝑇 = 𝑆𝐶𝑅 + 𝑆𝐶𝐸 𝐺. 𝐿 = 𝐾

𝐺. 𝐿 = 𝑛 − 𝐾 − 1

𝐺. 𝐿 = 𝑛 − 1

𝑆𝐶𝐸 𝑛−𝐾−1

𝐹𝑇𝑎𝑏 → 𝐹(1−𝛼 ; 𝑘 ; 𝑛−𝐾−1)

FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL Estadística básica Distribución Normal Media 𝜇 ó 𝑋 =

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖

=

𝑛

Varianza 𝜎 2 ó 𝑆2 =

𝑋1 + 𝑋2 +. . +𝑋𝑛 𝑛

∑ 𝑛𝑖=1(𝑋𝑛 − 𝑋 )2 (𝑋1 − 𝑋 )2 +. . +(𝑋𝑛 − 𝑋 )2 = 𝑛−1 𝑛−1

Desviación Estándar 𝜎 ó 𝑆 = √𝑆 2 Error (ɛ) |𝑋 − 𝜇| = ɛ = (

𝑍(1−∝

2

)∗ 𝜎

√𝑛

)

2

Tamaño de la muestra 𝑛=(

𝑍(1−∝ )∗ 2

ɛ

𝜎

)

2

Población Infinita y mayor a 10,000: 𝑛=

𝑍∝2 ⁄2 ∗ 𝑃 ∗ 𝑄 𝜀2

Error Estándar 𝜎𝑋 =

𝜎

√𝑛

Número de Intervalos de clase 𝐾 = 1 + 3.32 ∗ log 𝑛

Rango: 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

Amplitud: 𝐴 =

𝑅

𝐾...